teoria cambio di variabile? da film "21"

[cicquetto]

ieri durante la visione del film "21" sono rimasto incuriosito dall'esempio proposto:

un professore invita lo studente a scegliere tra tre lavagne, lo studente sceglie (avendo un 33,3% di indovinare) e il professore invece di scoprire quella scelta va a scoprire una delle altre due che egli sa di essere quella sbagliata.

a questo punto in professore chiede se lo studente vuole cambiare la sua scelta o insistere su quella fatta all'inizio e lo studente accetta il cambio avendo cosi una possibilità di indovinare pari al 66,6%


è corretto quanto riportato nel film?

[_fred_]

Originariamente inviato da cicquetto

ieri durante la visione del film "21" sono rimasto incuriosito dall'esempio proposto:

un professore invita lo studente a scegliere tra tre lavagne, lo studente sceglie (avendo un 33,3% di indovinare) e il professore invece di scoprire quella scelta va a scoprire una delle altre due che egli sa di essere quella sbagliata.

a questo punto in professore chiede se lo studente vuole cambiare la sua scelta o insistere su quella fatta all'inizio e lo studente accetta il cambio avendo cosi una possibilità di indovinare pari al 66,6%


è corretto quanto riportato nel film?

Si, è corretto, cambiando aumenti le probabilità di vincere a 2/3.

Per la cronaca è una delle tante varianti del problema di Monty Hall.

[cicquetto]

Originariamente inviato da _fred_

Si, è corretto, cambiando aumenti le probabilità di vincere a 2/3.

Originariamente inviato da _fred_

Per la cronaca è una delle tante varianti del problema di Monty Hall.

si è proprio l'esempio proposto nel film

[VeeJ]

Originariamente inviato da cicquetto

Beh... non risulta così strano se la pensi un po' diversamente... è più probabile che alla prima occasione venga scelta la lavagna giusta o una sbagliata?
Visto che ci sono 2 lavagne sbagliate e 1 giusta, è più probabile che tu abbia scelto una di quelle sbagliate, quindi cambiando otterrai quella giusta.

Prova a pensare la stessa cosa fatta con 1000 lavagne, considerando che il prof scoprirà 998 lavagne sbagliate, lasciandoti di fronte quella da te scelta e un'altra. Qual è la probabilità che alla tua prima scelta tu abbia beccato l'unica lavagna giusta in mezzo a 1000? Il problema è esattamente lo stesso

[wanblee]

E' un vecchio classico.
Però ha sempre il suo fascino se presentato bene

[cicquetto]

Originariamente inviato da VeeJ

Prova a pensare la stessa cosa fatta con 1000 lavagne, considerando che il prof scoprirà 998 lavagne sbagliate, lasciandoti di fronte quella da te scelta e un'altra. Qual è la probabilità che alla tua prima scelta tu abbia beccato l'unica lavagna giusta in mezzo a 1000? Il problema è esattamente lo stesso

in effetti l'esempio delle 1000 lavagne da immediatamente il senso del gioco

[gianly1985]

A me è piaciuta questa frase che ho trovato su Wikipedia:

Una strategia di soluzione alternativa è considerare che se si suppone di cambiare, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile e quindi la domanda del conduttore può essere considerata un invito a invertire le probabilità di successo con quelle di insuccesso.

Così me l'ha fatto capire bene....praticamente tu se parti dal presupposto che dopo CAMBIERAI SCELTA, INVERTI le probabilità!! Cioè alla PRIMA scelta devi SPERARE DI NON PRENDERE IL PREMIO! Quindi invece che 1/3 hai 2/3 di possibilità di fare la scelta "giusta" (cioè le capre)...perchè 2 sono le porte sbagliate....perciò la cosa si risolve in questo: all'inizio è più facile sbagliare (2 su 3) che fare giusto (1 su 3)! Perciò facciamo in modo che il nostro obiettivo iniziale sia SBAGLIARE.....tanto poi dopo "correggeremo" cambiando porta....

[FICINS]

Non ha senso il vostro ragionamento!!!

Poniamo il caso che delle 100 lavagne il professore vi dia la possibilità di sceglierne 2!
Solo una delle 100 è quella esatta...
Scartate tutte le lavagne...si rimane con le 2 che si erano scelte all'inizio e un'altra ancora da scoprire!
Che fate cambiate???
La lavagna da scoprire rappresenta il 98%...ma arrivati a questo punto si hanno più probabilità che la lavagna giusta sia tra le 2 che si è scelto all'inizio!
2a1...non più 2% su 98%!!!
Stesso discorso su 1 sola...voi dite quante probabilità ho di scegliere quella esatta su 1000?
Allora ti dico pure quante probabilità hai che sulle 999 restanti nn becchi mai quella giusta?
Le percentuali cambiano via via che si scarta una lavagna(poichè la si scarta una alla volta), non rimangono invariate come questo teorema sostiene!!!

[gabi.2437]

Teoricamente anche riscegliere la porta già scelta andrebbe bene, non per forza l'altra

[gianly1985]

Originariamente inviato da FICINS

Non ha senso il vostro ragionamento!!!

Poniamo il caso che delle 100 lavagne il professore vi dia la possibilità di sceglierne 2!
Solo una delle 100 è quella esatta...
Scartate tutte le lavagne...si rimane con le 2 che si erano scelte all'inizio e un'altra ancora da scoprire!
Che fate cambiate???

Tu devi guardare alla "prova" nel suo insieme, non puoi ridurla ai singoli tentativi! Considerando l'economia globale della "prova", tranquillo che è PIU' PROBABILE (= pochissimo o moltissimo a seconda dei casi) fare come diciamo noi....perchè col nostro metodo devi pregare di NON PRENDERE QUELLA GIUSTA al primo colpo....certo non ti garantisci assolutamente di vincere, anzi magari perdi, ma probabilisticamente è la cosa più corretta....perchè è meglio sperare di sbagliare che sperare di fare bene in questo caso. Perchè SBAGLIARE (prendere quella sbagliata al primo colpo) é più facile.

Proviamo con 100 lavagne.
Metodo SENZA CAMBIO
1) prendo la prima e SPERO SIA GIUSTA (1/100)
2) guardo il professore mentre ne scarta 98
3) non cambio, mantengo la lavagna che aveva 1/100

Metodo CON CAMBIO
1) prendo la prima e SPERO SIA SBAGLIATA (99/100)
2) guardo il professore mentre ne scarta 98
3) cambio, sperando di aver sbagliato al punto 1

E' chiaro che se partiamo direttamente dal punto 3 la probabilità è 1/2 per entrambe le lavagne, ma se partiamo dal punto 1...mi pare che il discorso fili...

[Perry_Rhodan]

direi che l'inghippo sta nel fatto che il professore sa come sono le lavagne e qualunque sia la scelta effettuata scopre tutte le lavagne sbagliate (e che sa essere sbagliate) meno due (quella scelta dallo studente + un'altra) tra cui sicuramente vi è quella giusta.

A chi ne capsce più di me l'onere di tirare giù un paio di formule

[Mat-ita]

non vedo il bisogno di complicarsi la vita con formule ecc ecc



- con x intendo la scelta del concorrente.

- con 0 intendo la porta che il conduttore del quiz apre per mostrare il fatto che li ci sia una capra..

- con # intendo la porta che si va a scegliere cambiando!


....................(1a porta).....(2a porta).....(3a porta).............
....................macchina.......capra.............capra................
1 tentativo......... x .............. 0 ................. # .....................CAMBIANDO PERDO

2 tentativo......... # .............. x ................. 0 .....................CAMBIANDO VINCO

3 tentativo......... #............... 0 ................. x......................CAMBIANDO VINCO


2 VOLTE SU TRE VINCO =66.7%

se non cambiassi una volta solo vincerei.. = 33.3%

mi sembra logico no?

[Jackdaniels]

Originariamente inviato da gabi.2437

Teoricamente anche riscegliere la porta già scelta andrebbe bene, non per forza l'altra

Non è questione di "andar bene" ma di probabilità, e il problema di Monty Hall è fortemente controintuitivo da questo punto di vista.
Se non cambi la porta quando te ne viene data la possibilità riduci la probabilità di scegliere la porta giusta del 33,3 %.

[gabi.2437]

Ma te puoi cambiarla riscegliendo la stessa!

Idem come sopra.

Non sono un esperto e quindi chiedo di essere illuminato ma così come raccontata mi pare una vaccata colossale.

Originariamente inviato da gabi.2437

Teoricamente anche riscegliere la porta già scelta andrebbe bene, non per forza l'altra

Si esatto, è la facoltà stessa che ci viene nuovamente data nella scelta il vantaggio e non il cambiamento in se della scelta.

[VeeJ]

Originariamente inviato da Sgurbat

Si esatto, è la facoltà stessa che ci viene nuovamente data nella scelta il vantaggio e non il cambiamento in se della scelta.

No... non ci siete. Il fatto è che la probabilità che la macchina sia dietro la porta da te scelta era di 1/3 alla prima scelta e continua a essere 1/3 alla fine .
La domanda "vuoi cambiare porta?" è del tutto equivalente alla domanda "pensi che la tua prima scelta sia giusta?", in quanto se decidi di cambiare vuol dire che pensi di non aver scelto la porta giusta all'inizio... ora: è più probabile che la tua scelta iniziale sia giusta o sbagliata?
Non so come altro spiegartelo, comunque fidati che per il calcolo delle probabilità è più probabile la vittoria cambiando porta

[Jackdaniels]

Originariamente inviato da VeeJ

No... non ci siete. Il fatto è che la probabilità che la macchina sia dietro la porta da te scelta era di 1/3 alla prima scelta e continua a essere 1/3 alla fine .
La domanda "vuoi cambiare porta?" è del tutto equivalente alla domanda "pensi che la tua prima scelta sia giusta?", in quanto se decidi di cambiare vuol dire che pensi di non aver scelto la porta giusta all'inizio... ora: è più probabile che la tua scelta iniziale sia giusta o sbagliata?
Non so come altro spiegartelo, comunque fidati che per il calcolo delle probabilità è più probabile la vittoria cambiando porta

E' meglio che capiscano, se dici soltanto "c'è da fidarsi per il calcolo della probabilità" sembra quasi una cosa complicata quando invece è una grandissima stupidata.
Provo a spiegarlo nel modo più immediato possibile.
Ci sono un conduttore, un giocatore e tre porte chiuse, dietro UNA sola di queste porte c'è una macchina nuova fiammante, dietro le altre DUE c'è una capra.
IMPORTANTE: Il conduttore sa cosa c'è dietro OGNUNA delle porte.
Ora, il gioco inizia e il partecipante sceglie una porta, mettiamo che scelga la porta 1, è intuitivo che la possibilità di aver scelto la macchina è di 1/3 contro una possibilità di 2/3 di aver scelto una porta con la capra.
Dopo qualche minuto il conduttore apre una delle porte:
se aprisse la porta con la macchina il gioco sarebbe finito e il nostro problema non sussisterebbe ma il conduttore NON può aprire la porta con dietro la macchina perché deve dare un'ulteriore possibilità di scelta al giocatore ed è quindi OBBLIGATO ad aprire una delle porte con la capra, eliminandola dal gioco.
A questo punto esistono tre casi:
1) Il giocatore ha scelto all'inizio la porta con la capra numero 1, il conduttore ha dovuto aprire la porta con la capra numero 2 quindi, se il giocatore cambia la sua porta (dietro la quale c'era la capra 1) con l'altra rimasta VINCE
2) Il giocatore ha scelto all'inizio la porta con la capra numero 2, il conduttore ha dovuto aprire la porta con la capra numero 1 quindi, se il giocatore cambia la sua porta (dietro la quale c'era la capra 2) con l'altra rimasta VINCE.
3) Il giocatore ha scelto la porta con la macchina, il conduttore apre una qualsiasi delle due capre, se il giocatore cambia la sua porta con quella rimasta PERDE

E' allora chiaro che, se il giocatore cambia alla seconda possibilità di scelta ha 2/3 di possibilità di andarsene con una macchina nuova.
Se il giocatore non applicasse questo sistema e rimanesse con la sua prima scelta i casi sarebbero questi:
1) Ha scelto la capra 1, il conduttore apre la porta con la capra 2 e poi apre la 1 comunicando al giocatore che ha PERSO
2) Ha scelto la capra 2, il conduttore apre la porta con la capra 1 e poi apre la 2 comunicando al giocatore che ha PERSO
3) Ha scelto la macchina, il conduttore apre una capra qualsiasi e poi l'altra, il giocatore ha VINTO

La probabilità di vincere restando sulla propria scelta è quindi 1/3

[drBat]

il fatto è che ci sono 100 lavagne e una sola giusta. io ne scelgo una (quindi la probabilità di aver preso quella giusta è bassa, 1 su 100). A questo punto il professore (che sa come sono le lavagne) ne toglie 98, lasciandone una sbagliata e quella giusta. Ora le probabilità di avere quella giusta (che ho scelto tra 100) è sempre di 1 su 100, mentre cambiando ho 99 possibilità si 100 di prendere quella giusta... infatti su quella sono ricadute le possibilità di tutte le altre 98 lavagne.
Per capirla meglio si potrebbe mettere così: io scelgo una lavagna (1 su cento è giusta, 99 su 100 è sbagliata) e il professore mi chiede se voglio cambiarla con le altre 99 in un unico colpo... sicuramente mi conviene!! Questo perchè al 99% quella giusta si trova nel gruppone delle 99. Ed è esattamente la stessa cosa di prima, solo che prima invece di offrirmi 99 lavagne me ne offre una sola, però togliendo le 98 sicuramente sbagliate. Certo, potrei aver scelto quella giusta al primo colpo (ma è molto improbabile 1% di possibilità) e adesso il prof me ne sta offrendo una sbagliata... ma è molto più probabile che io prima avessi scelto quella sbagliata, quindi cambiare conviene di certo!!

[Cfranco]

Originariamente inviato da FICINS

Non ha senso il vostro ragionamento!!!

Poniamo il caso che delle 100 lavagne il professore vi dia la possibilità di sceglierne 2!
Solo una delle 100 è quella esatta...
Scartate tutte le lavagne...si rimane con le 2 che si erano scelte all'inizio e un'altra ancora da scoprire!
Che fate cambiate???
La lavagna da scoprire rappresenta il 98%...ma arrivati a questo punto si hanno più probabilità che la lavagna giusta sia tra le 2 che si è scelto all'inizio!
2a1...non più 2% su 98%!!!
Stesso discorso su 1 sola...voi dite quante probabilità ho di scegliere quella esatta su 1000?
Allora ti dico pure quante probabilità hai che sulle 999 restanti nn becchi mai quella giusta?
Le percentuali cambiano via via che si scarta una lavagna(poichè la si scarta una alla volta), non rimangono invariate come questo teorema sostiene!!!

No
Sbagli l' applicazione della teoria delle probabilità .
Il fatto è che l' aver scoperto la lavagna sbagliata NON è un evento indipendente dalla scelta fatta e , soprattutto , NON è un evento casuale , quindi le due lavagne non hanno uguale probabilità di essere quella giusta , questo sarebbe giusto solo nel caso in cui dopo aver scelto un' opzione se ne scoprisse un' altra in modo assolutamente casuale e dopo aver scoperto che è quella sbagliata restassero due sole scelte .