Calcolo differenziale creatura di Newton e Leibniz?!

[Matrixbob]

Anzi tutto il CALCOLO INFINITESIMALE è la stessa cosa del calcolo differenziale?!

Perchè, sempre studiando l'ormai amatissima fisica, appresi che:

"Le conquiste scientifiche di Newton sono enormi, e spaziano su un campo molto vasto: sua è l’elaborazione del “calcolo delle flussioni”, oggi conosciuto come calcolo infinitesimale, che sta alla base dell’analisi moderna e delle equazioni della dinamica".

Da questa asserzione immagino propio che siano la stassa cosa.

Infatti fino a Galilei il tutto era rappresentato geometricamente mi pare.

... ma una domana ormai mi perquote la mente da un sacco di tempo, una domanda a cui i Prof non sono mai riusciti a schiarirmi completamente le idee: ma che interpretazione geometrica (io intendo alla lavagna su piano cartesiano) bisogna dare alla derivata di una funzione?!

[Ma Sara]

La derivata di una funzione rappresenta la tangente della funzione in quel punto.

Il calcolo infinitesimale è stato inventato da Newton e contemporaneamente da Leibniz (l'uno vi arrivò "fisicamente", l'altro matematicamente), anche se la notazione che utilizziamo noi è quella leibniziana con qualche correzione.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Ma Sara
La derivata di una funzione rappresenta la tangente della funzione in quel punto.

Il calcolo infinitesimale è stato inventato da Newton e contemporaneamente da Leibniz (l'uno vi arrivò "fisicamente", l'altro matematicamente), anche se la notazione che utilizziamo noi è quella leibniziana con qualche correzione.

Quella scritta con dx/dt ?!

[ChristinaAemiliana]

Non sono proprio la stessa cosa, almeno stando a quello che mi avevano spiegato e che mi ricordo...

Il calcolo differenziale e il calcolo integrale, coerentemente con i miei ricordi, dovrebbero essere le risposte a due problemi del calcolo infinitesimale, rispettivamente il problema di trovare la tangente a una curva e quello di trovare l'area sottesa da una curva. Naturalmente la curva non è altro che il grafico di una funzione.

QUESTO LINK di Encarta illustra, anche se in modo non troppo rigoroso, ciò che intendo dire.

[Ma Sara]

Originariamente inviato da Matrixbob
Quella scritta con dx/dt ?!

Sì, e la simbologia di integrale. Tra l'altro anche i nomi, dato che Newton li chiamava flussioni...

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Ma Sara
La derivata di una funzione rappresenta la tangente della funzione in quel punto.

... e la derivata seconda?!
Vedoche in fisica l'eq cinematiche ne fanno uso a gogo di queste tecniche.

Inoltre come hanno fatto a capire come fare le derivate e le derivate composte?!

Per l'integrale ne deduco che essedo l'operazione inversa della derivata, ci sia arrivati per questo motivo.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Matrixbob
... e la derivata seconda?!

Allora: il valore della derivata prima di una funzione f in un punto x0, è la pendenza della retta tangente alla curva y=f(x) nel punto (x0,f(x0)).
Se f è derivabile in tutti i punti di un intervallo I (per adesso rimaniamo sul reale), allora la legge che ad ogni punto di I associa la pendenza della retta tangente ecc. ecc., è una funzione, detta funzione derivata.
Di questa funzione, puoi vedere se ha derivata, e così via.

come hanno fatto a capire come fare le derivate e le derivate composte?!

Applicando le definizioni

Per l'integrale ne deduco che essedo l'operazione inversa della derivata, ci sia arrivati per questo motivo.

Non proprio.
Come ha detto ChristinaAemiliana, l'operazione di integrazione nasce dal problema di calcolare l'area sottesa da una curva.
Che l'integrazione sia grosso modo l'inversa della derivazione, è un risultato che è venuto dopo.
Dico "grosso modo", perché la generalizzazione del Teorema di Torricelli-Barrow è in realtà il Teorema di Stokes, secondo cui "in un gran numero di casi" si può scambiare un operatore di bordo applicato al dominio di integrazione con un differenziale applicato all'integrando.

[Matrixbob]

Zio hai sempre delle buone argomentazioni, ma usi un linguaggio a me distante, mi ricordi un mio ex compagno di università giunto dal liceo scientifico con 60/60.
Laureato in Informatica 2 anni fa inserendo nel suo percorso anche altri esami di Fisica che ha dato al CERN.
Io purtroppo ravano ancora nell'ignoranza, ma non perdo la speranza!
Sei uno scienziato teorico?!
Io sono molto + vicino agli ingegneri purtroppo.
CMQ cerco d'interfacciarmi con pazienza e dedizione al tuo dotto linguaggio.

Barcollo, ma non mollo.

[plutus]

Originariamente inviato da Matrixbob

Io sono molto + vicino agli ingegneri purtroppo.

uè uè calmino con certe affermazioni eh?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Matrixbob
Sei uno scienziato teorico?!

Dipende, in sostanza, dal fatto che nel tuo concetto di Scienza rientri o meno anche la Matematica

Io sono molto + vicino agli ingegneri purtroppo.

Perché purtroppo?
Sono abilità di tipo diverso. E servono tutte.

CMQ cerco d'interfacciarmi con pazienza e dedizione al tuo dotto linguaggio.

E se invece fossi io a dover evitare di pavoneggiarmi con la geometria delle varietà?

[Matrixbob]

Originariamente inviato da plutus
uè uè calmino con certe affermazioni eh?

Era un purtroppo relativo, non assoluto.
Purtroppo nel senso che spesso mi trovo incapace a capirlo.
Non purtroppo gli ingegneri sono fagiani.
Ok?!

Non facciamo i permalosi suvvia

[ironmanu]

Originariamente inviato da Ziosilvio
Dipende, in sostanza, dal fatto che nel tuo concetto di Scienza rientri o meno anche la Matematica

Perché purtroppo?
Sono abilità di tipo diverso. E servono tutte.

E se invece fossi io a dover evitare di pavoneggiarmi con la geometria delle varietà?

infatti e nn metterti a sboroneggiare con le k-forme!!!!

[Matrixbob]

Scusate e la derivata seconda di una funzione cosa indica?!

[Banus]

Originariamente inviato da Matrixbob
Scusate e la derivata seconda di una funzione cosa indica?!

Geometricamente, la concavità della funzione.
f''(x0) > 0 convessa
f''(x0) < 0 concava

(sempre che non abba invertito le definizioni, mi capita a volte )

[negator136]

allora io faccio il liceo scientifico e ho da poco finito lo studio delle funzioni...

la derivataprima è la funzione dei coefficienti angolari (tangenti goniometriche...) delle tangenti alla curva... le soluzioni della derivata prima danno luogo a massimi, minimi e flessi (questi ultimi si riconoscono perchè non fanno cambiare il segno della funzione e inoltre li troveremo sicuramente anche nello studio della derivata seconda)... lo studio di segno della derivata prima ci dice se la curva è crescente (f'(x)>0) o decrescente (f'(x)<0)

la derivata seconda serve a determinare la concavità... facendo lo studio del segno di questa funzione si trovano delle soluzioni (flessi)... nel grafico del segno della funzione derivata seconda scopriamo che: se il segno è positivo, la curva è concava verso l'alto, viceversa, se il segno è negativo, la curva è concava verso il basso.

spero di esservi stato utile in qualche modo

[Matrixbob]

A me mi interessa in termini di Fisica, ed in particolare in Meccanica e Termodinamica.

In Meccanica derivando ed integrando si passa da Dinamica a Cinematica.

Invece in Termodinamica (I PRINCIPIO DELLE TERMODINAMICA) mi sfugge l'utilizzo dei differenziali, forse perchè non so che differenza c'è tra differenziale e derivata.

Allora ve lo chiedo a voi: che differenza c'è tra differenziale e derivata?!

(PS: Anche io di Analisi mi ricordo quello che hai detto Negator, mi ricordo anche altra derivate per asintoti obliqui o qualcosa di simile.)

[Banus]

Originariamente inviato da Matrixbob
A me mi interessa in termini di Fisica, ed in particolare in Meccanica e Termodinamica.

Se ti riferisci alla formula:
dU = dL + dQ
A rigore non sono differenziali perchè in genere non sappiamo nemmeno se L,Q sono funzioni differenziabili (a meno che il processo non sia quasistatico). Prendile come variazioni infinitesime (= molto piccole).

Allora ve lo chiedo a voi: che differenza c'è tra differenziale e derivata?!

Derivata:
f'(x0) = Lim (x -> x0) (f(x) - f(x0))/(x-x0)

cioè "pendenza" della tangente nel punto.

Differenziale:
(y - y0) = f'(x0)(x-x0) + o( |x-x0|^2)

cioè stima della variazione della funzione approssimata localmente come una retta. Nota: è una funzione. o(..) indica termini che vanno a 0 più velocemente di (x-x0) per x -> x0 e che quindi possiamo dimenticare. In genere si scrive inn maniera più compatta con:

dy = f'(x0)dx

E si fanno tutte le porcate possibili con questa forma
Esempio:

d(g(f(x0)) = g'(f(x0))df(x0) = g'(f(x0))f'(x0)dx

[negator136]

Originariamente inviato da Matrixbob
A me mi interessa in termini di Fisica, ed in particolare in Meccanica e Termodinamica.

In Meccanica derivando ed integrando si passa da Dinamica a Cinematica.

Invece in Termodinamica (I PRINCIPIO DELLE TERMODINAMICA) mi sfugge l'utilizzo dei differenziali, forse perchè non so che differenza c'è tra differenziale e derivata.

Allora ve lo chiedo a voi: che differenza c'è tra differenziale e derivata?!

(PS: Anche io di Analisi mi ricordo quello che hai detto Negator, mi ricordo anche altra derivate per asintoti obliqui o qualcosa di simile.)

ecco mi sembrava di aver detto una cosa banale per voi geniacci

di più non so dirti... se vuoi però posso spiegarti come trovare gli asintoti obliqui

[Matrixbob]

Originariamente inviato da negator136
ecco mi sembrava di aver detto una cosa banale per voi geniacci

di più non so dirti... se vuoi però posso spiegarti come trovare gli asintoti obliqui

Si spara pure che al max prepariamo un prontuario per chi deva fare "studio di funzione".

[negator136]

Originariamente inviato da Matrixbob
Si spara pure che al max prepariamo un prontuario per chi deva fare "studio di funzione".

eheh

eccoti le formule:


data una funzione y=f(x)

l'asintoto obliquo ha funzione: y=mx+q

dove:

m=lim per x che tende a +infinito di f(x)/x

q=lim per x che tende a +infinito di [f(x)-mx]