Ancora sulle probabilità

[Zebra75]

Originariamente inviato da _fred_

Mi pare che ci siano delle contradizioni nella frase.
L'espressione che riporti, che poi è il concetto di probabilità condizionata, la si usa per eventi dipendenti (o disgiunti) e non per eventi indipendenti (o congiunti).

è qui che ho il forte dubbio!
Se nella P(B|A)=P(A intersecato B) / P(A) ho che P(A intersecato B) = 0 dovrebbe risultare zero; e non significa che siamo in presenza di evento disgiunti ?

Per questo ho pensato che il teorema ha valore per eventi congiunti e cioè con un qualche elemento in comune.

Difatti in due estrazione senza reimbussolamento gli eventi sarebbero indipendenti, se con reimbussolamento sarebbero dipendenti in quanto si altera lo spazio campionario.

Spero di non aver detto castronerie

Per stabilire se due eventi sono o meno indipendenti, è condizione sufficiente sapere che viene alterato lo spazio campionario ?



p.s.
nell'esercizio le palline vengono estratte assieme, quindi non viene alterato lo spazio campionario

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

è qui che ho il forte dubbio!
Se nella P(B|A)=P(A intersecato B) / P(A) ho che P(A intersecato B) = 0 dovrebbe risultare zero; e non significa che siamo in presenza di evento disgiunti ?

Per questo ho pensato che il teorema ha valore per eventi congiunti e cioè con un qualche elemento in comune.

Dire P(A intersecato B) = 0 in questo caso ha un errore di fondo perchè in questo caso si sta facendo un operazione che comprende 2 estrazioni. Mi spiego meglio:

P(N|B)=P(N intersecato B) / P(B) dove N sono le nere e B le bianche.

Eseguendo questa operazione ti stai chiedendo quale sia la probabilità di estrarre una pallina nera condizionato al fatto che alla prima estrazione sia stata estratta una pallina bianca.

P(N intersecato B) = 6/22 = 5/10*6/11

P(B) = 6/11

Quindi

P(N|B)=P(N intersecato B) / P(B) = 5/10

E allora:

P (N intersecato B) è proprio uguale a 6/22

Però in questo caso non è esatto utilizzare questa formula, perchè il problema non ti chiede quali siano le probabilità di estrarre una pallina nera dopo averne estratta una bianca, ma l'intersezione degli eventi: Estrazione bianca ed estrazione nera.

La formula da usare è sempre quella, ma invertita:

P (B intersecato N) = P (N|B) * P(B)

Con:

P (N|B) = 5/10 (ovvero la probabilità di estrarre una pallina nera dopo averne estratta una bianca)

P(B) = 6/11 ovvero la probabilità che si ha alla prima estrazione di estrarre un a pallina bianca

L'intersezione dei 2 eventi: P (B intersecato N) da proprio 6/22.

Bisogna quindi prestare attenzione a quello che il problema chiede, infatti il ragionamento che hai fatto non è sbagliato, solo che non si può applicare a questo problema. Dire: P (N intersecato B) ha un valore diverso da zero perchè lo si sta chiedendo nell'arco di 2 estrazioni.

Difatti in due estrazione senza reimbussolamento gli eventi sarebbero indipendenti, se con reimbussolamento sarebbero dipendenti in quanto si altera lo spazio campionario.

E' il contrario. Se hai reimbussolamento le estrazioni sono indipendenti perchè lo spazio campionario viene ripristinato alle condizioni iniziali ogni volta che reimmetti le palline. Nell'esercizio ad ogni estrazione il numero di palline cambia. Pensa al caso in cui hai già estratto tutte e 6 le palline biache: alla prossima estrazione hai probabilità 1 (evento certo) di estrarre la pallina nera.

p.s.
nell'esercizio le palline vengono estratte assieme, quindi non viene alterato lo spazio campionario

Occhio perchè quando si dice che vengono estratte insieme (o in blocco) si intende dire estrazione senza reimbussolamento e quindi eventi dipendenti

[Zebra75]

sarà perchè continuo a ragionare sullo spazio campionario che mi porta fuori strada

Difatti se faccio l'intersezione tra le palline bianche e quelle nere ottengo l'insieme vuoto e ciò mi porta a dire che la probabilità è zero

Allora quando si effettua una estrazione in blocco, è come se fosse una intersezione di eventi ?

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

sarà perchè continuo a ragionare sullo spazio campionario che mi porta fuori strada

Difatti se faccio l'intersezione tra le palline bianche e quelle nere ottengo l'insieme vuoto e ciò mi porta a dire che la probabilità è zero

Allora quando si effettua una estrazione in blocco, è come se fosse una intersezione di eventi ?

Se il problema ti chiede la probabilità che si avveri un certo fatto (estrazione di nere e bianche) devi utilizzare la formula:

P (B intersecato N) = P (N|B) * P(B)

perchè effettivamente stai intersecando eventi che sono dipendenti tra loro perchè portano a ridefinire lo spazio campione.

[np2k]

ho capito qual è il tuo problema. tu dici: l'intersezione tra "alla prima esce bianco" ed "alla seconda esce nero" è nulla. Questo in senso insiemistico.
Ma devi vederla anche come la probabilita' che alla prima estrazione esca bianco E alla seconda estrazione esca nero.

[Zebra75]

Originariamente inviato da np2k

ho capito qual è il tuo problema. tu dici: l'intersezione tra "alla prima esce bianco" ed "alla seconda esce nero" è nulla. Questo in senso insiemistico.
Ma devi vederla anche come la probabilita' che alla prima estrazione esca bianco E alla seconda estrazione esca nero.

esattissimo!
Infatti continuo a cogliere solo il lato insiemistico e non quello probabilistico


mi sono accorto che faccio casino tra i vari eventi.

- eventi disgiunti/congiunti
questi possono essere: dipendenti/indipendenti

Nel caso di eventi disgiunti sia ha sempre dipendenza, nel caso di eventi congiunti la dipendenza va verificata caso per caso.


- eventi condizionati/non condizionati
e anche questi possono essere: dipendenti/indipendenti

[Zebra75]

riporto il testo dell'esercizio per esigenze di chiarezza


Paolo sta completando due album di figurine. La casa editrice assicura che la probabilità di trovare una particolare figurina è pari a 0.02.
Al suo compleanno i nonni gli regalano 10 euro con cui compra 15 figurine, domande:
1. qual è la probabilità di trovare la sua figurina preferita ?
2. per finire la seconda collezione a cui manca una sola figurina, sua madre si chiede invece quante altre figurine dovrà acquistare: sapreste aiutarla ?

p=0.02
n=15

la probabilità che Paolo trovi 1 figurina giusta su 15, si traduce scrivendo P(X >= 1) lo si calcola attraverso una binomiale:
P(X >= 1) = 1–P(X = 0) = ...... bla bla bla


la mia domanda è:
perchè questo P(X >= 1) lo si può scrivere così ? 1–P(X = 0)

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

riporto il testo dell'esercizio per esigenze di chiarezza


Paolo sta completando due album di figurine. La casa editrice assicura che la probabilità di trovare una particolare figurina è pari a 0.02.
Al suo compleanno i nonni gli regalano 10 euro con cui compra 15 figurine, domande:
1. qual è la probabilità di trovare la sua figurina preferita ?
2. per finire la seconda collezione a cui manca una sola figurina, sua madre si chiede invece quante altre figurine dovrà acquistare: sapreste aiutarla ?

p=0.02
n=15

la probabilità che Paolo trovi 1 figurina giusta su 15, si traduce scrivendo P(X >= 1) lo si calcola attraverso una binomiale:
P(X >= 1) = 1–P(X = 0) = ...... bla bla bla


la mia domanda è:
perchè questo P(X >= 1) lo si può scrivere così ? 1–P(X = 0)

non so perche' puoi scrivere quello che hai detto con P(X>=1), ma ammesso che si giusto
P(X>=1) = 1-P(X=0)
poichè X=0 è l'evento COMPLEMENTARE a X>=1 (supponendo la variabile aletoria X discreta positiva)

Infatti vale: P(A) = 1-P(not(A))
cioe' a 1 (la certezza) togli la probabilita' di NON si verifichi A, e quindi trovi la probabilita' che si verifichi A.

[Zebra75]

grazie np2k

avrei una domanda leggermente differente



studiando la gaussiana(normale) apprendo che una statistica sufficiente per tale distribuzione è definita come:

S=sommatoria(i=1 a m) Xi

mi chiedevo se in questo la Xi che è una variabile aleatoria, rappresenta un singolo esito di un esperimento o l'esito di più esperimenti(campione), mi spiego con un esempio;

se misuro l'altezza delle persone ho:
x1=1.70
x2=1.80
x3=...

quindi
X1=x1+x2+x3

x4=1.90
x5=1.60
x6=...

X2=x4+x5+x6

e così via

quindi penso che la

S=sommatoria(i=1 a m) Xi

sia la sommatoria delle X1+X2+...+Xn variabili aleatorie: ma è così ?

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

grazie np2k

avrei una domanda leggermente differente



studiando la gaussiana(normale) apprendo che una statistica sufficiente per tale distribuzione è definita come:

S=sommatoria(i=1 a m) Xi

mi chiedevo se in questo la Xi che è una variabile aleatoria, rappresenta un singolo esito di un esperimento o l'esito di più esperimenti(campione), mi spiego con un esempio;

se misuro l'altezza delle persone ho:
x1=1.70
x2=1.80
x3=...

quindi
X1=x1+x2+x3

x4=1.90
x5=1.60
x6=...

X2=x4+x5+x6

e così via

quindi penso che la

S=sommatoria(i=1 a m) Xi

sia la sommatoria delle X1+X2+...+Xn variabili aleatorie: ma è così ?

E' come dici tu, ogni singolo campione viene sommato agli altri; d'altra parte ogni X ha un indice che rappresenta la numerazione (la sommatoria riporta per l'appunto: i che va da 1 a n)

[Zebra75]

Originariamente inviato da _fred_

E' come dici tu, ogni singolo campione viene sommato agli altri; d'altra parte ogni X ha un indice che rappresenta la numerazione (la sommatoria riporta per l'appunto: i che va da 1 a n)

grazie 1000

[Zebra75]

ok, le domande banali non vengono considerate

[Zebra75]

ho il seguente dubbio:

Y=F(X) dove la X passata come argomento è la variabile aleatoria e tale scrittura la si può scrivere anche come Y=g(x)

Di solito ho sempre visto la cumulata fatta così F(x)=P(X <= x)

Mi chiedo cosa significa passare una variabile aleatoria ad una funzione: è forse una ricerca inversa e cioè, data una variabile aleatoria andiamo a ricercare la sua distribuzione ?