Infinito all'infinito

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Ilbaama

potresti spiegarmi perché la base deve essere positiva?

Tu hai un'espressione della forma a^b con a e b entrambi reali.
Se a è positivo, allora a^b si può definire senza problemi così:
- è 1, se a=1;
- è l'estremo superiore degli a^t con t razionale e <=b, se a>1;
- è 1/((1/a)^b), se a<1.
Se a è negativo, questo trucchetto non lo puoi più fare, perché allora non sono definite le radici pari di a.

Se a è 0... la regola sarebbe che a^b è 1 se b=0, ed è 0 altrimenti.
Quindi... sì, ripensandoci, puoi porre 1+ln(x)>=0, perché corrisponde a x >= una quantità il cui logaritmo è definito.

poi ponendo y=ln(x)
otteniamo:
lim y--> +oo (y+1)^ (1/y)
e non è uguale ad e perché dovrebbe essere lim y -->0

E' vero, chiedo scusa.
Ripensandoci: per x-->+oo hai una cosa della forma oo^0, che si risolve passando agli esponenziali: a^b = e^(b ln a).
E a questo punto...

[Ilbaama]

penso di aver risolto:

lim x-->oo e^( ln(ln(x)+1) / ln(x) );
ora possiamo scrivere:

e^( lim x-->oo ln( ln(x)+1 ) / ln(x) );
ora risolvo solo l'esponente tralasciando per il momento la base e ;
poiché è nella forma oo/oo applichiamo il Teorema di l'Hopital e otteniamo:
( 1/(ln(x) +1) * 1/x )/ (1/x) = 0;

quindi e^0 = 1

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Ilbaama

penso di aver risolto:

lim x-->oo e^( ln(ln(x)+1) / ln(x) );
ora possiamo scrivere:

e^( lim x-->oo ln( ln(x)+1 ) / ln(x) );
ora risolvo solo l'esponente tralasciando per il momento la base e ;
poiché è nella forma oo/oo applichiamo il Teorema di l'Hopital e otteniamo:
( 1/(ln(x) +1) * 1/x )/ (1/x) = 0;

quindi e^0 = 1

Giusto!

Un solo appunto: non hai bisogno di de l'Hopital per calcolare questo secondo limite.
Basta che poni y = ln x e hai:

        ln (1 + ln x)           ln(1+y)
lim     ------------- = lim     ------- = 0
x-->+oo     ln x        y-->+oo    y

[Ilbaama]

non proprio, cioé non esce 0 ma 1 :

             ln (1 + ln x)                   ln(1+y)
lim           -------------  = lim            -------    ;
x-->+oo           ln x               y-->+oo       y

ora ln(1+y) asintotico a 1+y;
y asintotico a se stesso;
otteniamo:

              1+y                       1        
lim          ------- = lim           ----- + 1 =   1
y-->+oo         y     y-->+oo           y

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Ilbaama

non proprio, cioé non esce 0 ma 1 :

             ln (1 + ln x)                   ln(1+y)
lim           -------------  = lim            -------    ;
x-->+oo           ln x               y-->+oo       y

ora ln(1+y) asintotico a 1+y;

Cosacosacosacosacosa???
Da quando in qua il logaritmo ha lo stesso ordine di infinito del proprio argomento?

y asintotico a se stesso;
otteniamo:

              1+y                       1        
lim          ------- = lim           ----- + 1 =   1
y-->+oo         y     y-->+oo           y

Invece no: log(1+y)/y = (log(1+y)/(1+y)) * ((1+y)/y), e per y-->+oo il primo fattore converge a 0 e il secondo a 1. Quindi il limite è 0, non 1.

[Ilbaama]

Ops scusa, hai ragione, il limite notevole era

               ln( x +1 )
lim           --------- = 1
x-->0             x

era il sen che è asintotico al suo argomento...