[mat]Un problema legato alla periodicità in Q

[lowenz]

Allora: 'sto problema era uno dei tanti crucci di una mia amica dell'università (Banus, shhhhhhhhhhhhh ) e francamente ogni volta che ci penso mi stupisco di non trovarci una soluzione che stia in piedi bene.
Probabilmente è un problema conosciuto però non ho ancora fatto esaustive ricerche in rete quindi lo propongo a voi.

Tutti voi conoscete la regolina per passare dal numero decimale periodico alla frazione corrispondente.....però quella regola ha un problemino con i numeri che hanno come periodo la cifra "9".

esempio: 0,999... -> 9-0/9 -> 1
E appunto si ottiene che 0,9 periodico E' 1.

Ora sta cosa si dimostra anche così con
http://www.vialattea.net/esperti/mat/09p/

E io mi domando.....è proprio necessario tirare in ballo per un problemino in Q la matematica infinitesimale o lo si può affrontare con altri strumenti?
Come è possibile che ci siano 2 rappresentazioni simboliche per lo STESSO numero, domanda fatta prescindendo dall'analisi infinitesimale (che gli antici non conoscevano)?

[ygnoto]

Oggi siamo in vena di problemi...

Comuqnue io non me lo spiego questo fatto... anche se si può dimostrare con un artifizio che non sono ancora in grado di comprendere...

0,9 periodico è 0,9 periodico non potrà mai essere 1 per quanto sia il numero che più lo avvicini...

Ai più preparati l'ardua sentenza...

[gtr84]

In fisica questo problema non esiste

0.9 periodico è praticamente uguale a 1 senza troppi problemi

del link che hai postato sinceramente mi convince di più
la prima dimostrazione

[lowenz]

Originariamente inviato da gtr84

In fisica questo problema non esiste

Ma qui parliamo di matematica
Il problema fondamentale sta nella ciclicità del meccanismo della divisione che porta appunto ad avere un periodo.
L'analisi infinitesimale si pappa il problema

[ygnoto]

Si convince... ma non mi sta bene... è una cosa irrazionale... che un numero possa essere uguale ad un altro!!!... questi sono i problemi di chi si caccia a pansare con le cose infinite... coem infatti 0,3 periodico per tre mi dovrebbe dare sia 1 che 0,9 periodico... mi fa oensare che i numeri periodici siano una approssimazione sbagliata...

Perchè poi... banus shhhhh??? Non ci fate stare sulle spine...

In fisica soprattutto quella quantistica...

[Banus]

Originariamente inviato da lowenz

Come è possibile che ci siano 2 rappresentazioni simboliche per lo STESSO numero, domanda fatta prescindendo dall'analisi infinitesimale (che gli antici non conoscevano)?

Il problema si incontra dovendo fare il passaggio notazione periodica -> frazionaria e non viceversa, perchè con tutta la fantasia non riesco a immaginare un procedimento di divisione che porti a un risultato di periodo 9.
Ma non basta la dimostrazione dell'autore della domanda su vialattea.net? Non è il massimo dell'eleganza ma si ottiene 0.9... = 1 senza tanti problemi e senza infinitesimi

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

Il problema si incontra dovendo fare il passaggio notazione periodica -> frazionaria e non viceversa, perchè con tutta la fantasia non riesco a immaginare un procedimento di divisione che porti a un risultato di periodo 9.

Dicevo che in notazione decimale abbiamo che 0,9999999 e 1 sono la stessa cosa.....e guarda caso il problema è proprio legato alla rappresentazione posizionale pesata che diamo dei numeri (vedi dimostrazione che la sfrutta).

Ma non basta la dimostrazione dell'autore della domanda su vialattea.net? Non è il massimo dell'eleganza ma si ottiene 0.9... = 1 senza tanti problemi e senza infinitesimi

Beh ma c'è il calcolo di un limite.....non va bene!

[ygnoto]

Una domanda che adesso non è molto legata al problema...

Ma 1/0=0??? Ho le to in giro che non c'è soluzione da altre parti che è uguale a infinito...

Qual è l'esatta risposta, sempre se esiste...



Grazie

[Banus]

Originariamente inviato da lowenz

Beh ma c'è il calcolo di un limite.....non va bene!

Intendevo la domanda, non la risposta
2/3 = 0.6...
1/3 = 0.3...
1 = 1/3 + 2/3 = 0.6... + 0.3... = 0.9...
1 = 0.9...

Nella somma non c'è mai riporto, e quindi è possibile sommare i periodi posizione per posizione per ogni indice k. Non basta come dimostrazione senza limiti? Va bene qualsiasi scomposizione con denominatore 9 e somma numeratori 9 (esempio 2/9 e 7/9).

[ygnoto]

Da quanto ho capito... non esiste nessuna frazione che mi possa dare 0.9 periodico... ma moltiplicando per 3 0.3 periodico lo posso ottenere... ma come è ovvio 0,3=1/3 1/3 per 3 è 1 e sono di nuovo punto e accapo...
Quindi giungo a dire che la somma tra numeri periodici o qualsiasi altra operazione non è attuabile...

[lowenz]

Originariamente inviato da ygnoto

Una domanda che adesso non è molto legata al problema...

Ma 1/0=0??? Ho le to in giro che non c'è soluzione da altre parti che è uguale a infinito...

Qual è l'esatta risposta, sempre se esiste...



Grazie

Non esiste dato che nessun numero moltiplicato per 0 dà 1 (la divisione devi sempre concepirla come operazione inversa della moltiplicazione).
Tuttavia si osserva che il rapporto tra una quantità finita diversa da 0 (1,2,3,...) e un numero che SI AVVICINI a zero dà origine a numeri mooooolto grandi (così grandi che è sempre possibile trovare un altro numero grande a piacere minore di loro).

E' da qui che nasce il concetto di infinito

"Infinito" è un simbolo col quale si indica un intervallo numerico comprendente i numeri reali maggiori di un numero k (grande a piacere).

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

...

OK, ma mi inquadri le due rappresentazioni decimali di 1 (1 e 0.9...) nel modo in cui è definito attualmente Q, cioè come insieme di classi di equivalenza rappresentate poi da un UNICO elemento?

[Banus]

Originariamente inviato da lowenz

OK, ma me lo inquadri nel modo in cui è definito attualmente Q, cioè come insieme di classi di equivalenza rappresentate poi da un UNICO elemento?

Le classi di equivalenza sono definite sulle frazioni, quindi il problema non si pone.
La relazione fra decimali periodici e Q non è biunivoca come mostrano i numeri con periodo 9, quindi al massimo si ridefinisce l'insieme dei decimali periodici in modo che 0.9999.. e 1 appartengano alla stessa classe di equivalenza, e si risolve il problema

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

Le classi di equivalenza sono definite sulle frazioni, quindi il problema non si pone.

Ma la frazione è una divisione....che dà UN risultato: o 1 o 0.9.....

La relazione fra decimali periodici e Q non è biunivoca come mostrano i numeri con periodo 9, quindi al massimo si ridefinisce l'insieme dei decimali periodici in modo che 0.9999.. e 1 appartengano alla stessa classe di equivalenza, e si risolve il problema

Ahhhhhhhhhh, ecco l'inghippo, io pensavo fosse biunivoca!

[jumpermax]

Il problema come hai detto tu è nella rappresentazione del numero, il numero chiaramente è sempre lo stesso. E' facile capirlo considerando la definizione di numero reale

prendo la definizione "provvisoria" che trovate qua
http://www.chihapauradellamatematica...Colorato18.htm

Siano D, E due insiemi non vuoti di numeri razionali con le seguenti caratteristiche:

1) ciascun numero dell'insieme D è minore di ciascun numero dell'insieme E;

2) i numeri di D sono "indefinitamente ravvicinati" rispetto ai numeri di E, nel senso che possiamo trovare coppie di numeri, uno preso da D e l'altro preso da E, "vicini quanto noi vogliamo":

Si dice "numero reale" una coppia (D, E) di classi contigue in Q
ossia il numero reale è l'elemento separatore delle due classi, quel valore x>= ad ogni elemento di D e =<ad ogni elemento di e

Ora prendiamo queste 2 classi
D={0.9;0.99;0.999;..}
E={1}
sono una coppia di classi contigue in cui è evidente che 1 rappresenta l'elemento separatore esattamente come 0.(9)p
Ergo 1 e 0.9 sono 2 rappresentazioni differenti dello stesso numero reale. Il problema della periodicità è un concetto esclusivamente legato alla rappresentazione e non al valore del numero. Se esprimessimo i numeri in base ternaria la frazione (1/3)b10 si scriverebbe (1/10)b3 ossia 0.1b3

[jumpermax]

Originariamente inviato da lowenz

Ma la frazione è una divisione....che dà UN risultato: o 1 o 0.9.....

Ma poi, che cos’è un nome?…Forse che quella che chiamiamo rosa cesserebbe d’avere il suo profumo se la chiamassimo con altro nome?

[Banus]

Originariamente inviato da jumpermax

prendo la definizione "provvisoria" che trovate qua

La definizione dei reali come classi contigue

Se esprimessimo i numeri in base ternaria la frazione (1/3)b10 si scriverebbe (1/10)b3 ossia 0.1b3

Ma in ogni caso in tutte le basi si trovano periodi "patologici" se il periodo è b-1. Ad esempio (0.(3))b3 = 1. E' proprio un problema della notazione posizionale.

Domanda per incasinare lowenz: nella dimostrazione di non numerabilità dei reali si usa una relazione biunivoca fra decimali con unità 0 e reali fra 0 e 1. Come è possibile dal momento che numeri con periodo 9 sarebbero contati due volte?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da ygnoto

Oggi siamo in vena di problemi...

Comuqnue io non me lo spiego questo fatto... anche se si può dimostrare con un artifizio che non sono ancora in grado di comprendere...

0,9 periodico è 0,9 periodico non potrà mai essere 1 per quanto sia il numero che più lo avvicini...

Ai più preparati l'ardua sentenza...

è una cosa che mi ha messo a durissima prova...
Per farla breve e semplice (un po' meno incasinata di quela di jumper ):
I numeri reali sono continui, ovvero
- due classi contigue ammettono elemento separatore
- tutte le successione di Cauchy convergono
- l'intersezione di intervalli inscatolati non è vuota
e così via... diciamo che è proprio un insieme continuo

Ora essendo R un insieme continuo presi due qualsiasi numeri distinti ne deve esistere un terzo compreso fra questi due, per quanto essi siano vicini.
Poiché non esiste nessun numero reale compreso fra 0,9999 periodico e 1, questi due numeri non possono che coincidere (ovvero sono lo stesso numero reale!)

[lowenz]

Originariamente inviato da jumpermax

Il problema come hai detto tu è nella rappresentazione del numero, il numero chiaramente è sempre lo stesso. E' facile capirlo considerando la definizione di numero reale

prendo la definizione "provvisoria" che trovate qua
http://www.chihapauradellamatematica...Colorato18.htm

Siano D, E due insiemi non vuoti di numeri razionali con le seguenti caratteristiche:

1) ciascun numero dell'insieme D è minore di ciascun numero dell'insieme E;

2) i numeri di D sono "indefinitamente ravvicinati" rispetto ai numeri di E, nel senso che possiamo trovare coppie di numeri, uno preso da D e l'altro preso da E, "vicini quanto noi vogliamo":

Si dice "numero reale" una coppia (D, E) di classi contigue in Q
ossia il numero reale è l'elemento separatore delle due classi, quel valore x>= ad ogni elemento di D e =<ad ogni elemento di e

Ora prendiamo queste 2 classi
D={0.9;0.99;0.999;..}
E={1}
sono una coppia di classi contigue in cui è evidente che 1 rappresenta l'elemento separatore esattamente come 0.(9)p
Ergo 1 e 0.9 sono 2 rappresentazioni differenti dello stesso numero reale. Il problema della periodicità è un concetto esclusivamente legato alla rappresentazione e non al valore del numero. Se esprimessimo i numeri in base ternaria la frazione (1/3)b10 si scriverebbe (1/10)b3 ossia 0.1b3

Ok, ma io ho chiesto in Q, non in R

[lowenz]

Originariamente inviato da jumpermax

Ma poi, che cos’è un nome?…Forse che quella che chiamiamo rosa cesserebbe d’avere il suo profumo se la chiamassimo con altro nome?

I nomi non sono solo etichette, contengono il logos