Analisi Infinitesimi

[DarkSiDE]

visto che ci sono tanti ing in giro, magari qlc è così clemente da darmi una mano e risolvere questo limite..

Dire se la seguente funzione è un infinitesimo in x=0:

(tan^3*sqrt(x)+sqrt(x^5))/( (e^x^2)-1+sqrt(sin(sqrt(x))) )

[motogpdesmo16]

risolvendo il limite per x-->0, ottieni appunto 0.

[Dr. Death]

mamma mia...

[ciriccio]

sì è 0, lo sai risolvere il limite?

tan^3(sqrt(x)) è asintotica a x^(3/2) (perchè sin(x) è asintotico a x) se x->0

e^(x^2)-1 è asintotico a x^2 perchè (a^x-1)/x con x->0 tende a ln(a).

quindi (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^(2) + x^(1/4)) essendo il numeratore asintotico a x^(3/2) e il denominatore asintotico a x^(1/4) tende a 0 in quanto x^(3/2-1/4)= x^(5/4) ->0

spero di non aver scritto cazzate per la troppa birra bevuta


comunque che venga zero l'ho controllato in partenza

[RiccardoS]

scusate l'OT ma ... devo dirlo ... avevo letto come titolo del thread "anali infinitesimi"

[DarkSiDE]

Originariamente inviato da ciriccio
sì è 0, lo sai risolvere il limite?

tan^3(sqrt(x)) è asintotica a x^(3/2) (perchè sin(x) è asintotico a x) se x->0

e^(x^2)-1 è asintotico a x^2 perchè (a^x-1)/x con x->0 tende a ln(a).

quindi (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^(2) + x^(1/4)) essendo il numeratore asintotico a x^(3/2) e il denominatore asintotico a x^(1/4) tende a 0 in quanto x^(3/2-1/4)= x^(5/4) ->0

spero di non aver scritto cazzate per la troppa birra bevuta


comunque che venga zero l'ho controllato in partenza

ovviamente che usciva 0 lo sapevo
ma nn ho ben capito come l'hai risolto, ti sei calcolato l'ordine che sapevo già,ma nn dovrei dimostrare che è n infinitesimo con x-->0 e che quindi il limite tende a 0?

grazie

[ciriccio]

sì, ma forse non ti è chiaro il concetto di asintoticità
Il limite non è zero perchè sostituendo viene zero (infatti non viene zero me viene zero su zero che è una forma indeterminata )

ok, andiamo per gradi:

cominciamo da tan^3(sqrt(x)).

Tu sai che sin(x)/x ->1 se x->0 no?

Beh, tanx = sinx/cosx moltiplico e divido per x e ottengo:

(sinx/x) *(x/cosx) ok?

ora sinx/x è 1 per il limite notevole che ti ho ricordato no?

Quindi (sinx/x)*(x/cosx) -> 1*(x/cosx)->x no?

ok solo che qui abbiamo tan(sqrt(x)) che a sua volta è elevata al cubo e succede esattamente lo stesso solo che invece di x hai sqrt(x).-Potevi anche avere pippo e se pippo->0 allora era lo stesso

tan^3(sqrt(x)) per semplicità scomponilo in tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x)) e moltipcila e dividi per sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt (x).
Cosa ottieni?

I coseni dei denominatori non si considerano perchè son tutti 1 (in quanto tan(sqrt(x) = sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) e per x->0vien fuori che tan(sqrt(x))->sin(sqrt(x)) che come abbiam detto prima ->sqrt(x)).

Ma qui ne abbiamo tre quindi il prodotto dei tre limiti viene sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt(x)=x^(3/2).
Chiaro adesso?
Il secondo termine del numeratore è x^(5/2).

Al denominatore si tratta sempre di capire a cosa è asintotico il termine qualora "ricordi" un limite notevole.
Qui ci si ricorda che (a^x-1)/x->ln(a) se x->0 no?

Qui la x è x^2 (nel senso che ci deve essere un pippo ->0 e che sia x o x^2 non cambia nulla)

La a del limite è e nel nostro caso e viene che

(e^(x^2)-1) moltiplicato e diviso per quello che manca affinchè diventi un limite notevole (cioè x^2) diventa ((e^(x^2)-1)*(x^2)/(x^2) -> ln(e) *(x^2) = 1*(x^2) = x^2 no?

Ok quindi il primo termine del denominatore abbiamo visto che "è asintotico" cioè "tende" a x^2 (lo so che è sempre zero... ma questo serve per calcolare il limite in quanto è diverso dire che tende a zero invece che tende a x^2)

Infine il secondo termine del denominatore è sqrt(sin(sqrt(x))) e torniamo al primo caso in quanto sin(sqrt(x)) -> sqrt(x) e quindi sqrt(sqrt(x)) = (x^1/4).
ok?

Quindi alla fine rimane da calcolare il limite di (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^2) + x^(1/4)) ok?

Ok allora al numeratore x^(3/2) non è confrontabile con x^(5/2) perchè quest'ultimo è molto più piccolo del primo e quindi abbiamo un'asintoticità -> x^(3/2)

Al denominatore succede lo stesso per x^(1/4) rispetto a x^2 e quindi si arriva a calcolare lim x^(3/2) / x^(1/4) con x->0 che fa x^(5/4) ->0.

Anche questa volta spero di non aver sparato ... perchè per scrivere tutto ci ho messo così tanto tempo che mi rompe troppo rileggere

ciauz

p.s.

il teorema di de l'hopital è scomodo per via della mancanza di esponenti interi ma si poteva invece anche vedere così:

metti in evidenza al numeratore x^(3/2) e al denominatore x^(1/4) e viene (x^(3/2) * (1+x)) / (x^(1/4) * (1 + x^(7/4)) che viene x^(3^2 - 1/4) * ((1+x) / (1+x^7/4)) e quindi x^(5/4) * 1 che ->0 in quanto numeratore e denominatore del secondo fattore tendono a 1

[DarkSiDE]

ti ringrazio, stampo tutto e leggo con calma