[Analisi] Esercizi Vari

[cagnaluia]

Ciao!
Torno sempre a fare qualche buon esercizio di Analisi I e II.




Ex1.
Qual'è il valore dell'integrale della funzione f(x,y)=e^(-x+1) * y^2, sull'insieme {(x,y): 0<=x<=1, 0<=y<=2}

Allora, qui si tratta di risolvere un integrale doppio, piuttosto semplice:

integrale da 0 ad 2 ( integrale da 0 ad 1 (e^(-x+1) * y^2)dx )dy

risolvendo si ha: 8/3(e-1)

[cagnaluia]

Ex2.
Per quali valori del parametro "a" il limite lim per x-->0 di (x^2 * cosx -2x)/(e^ax -1 - x^2) vale 1/2 ??

1.per a=0 ?
2.per ogni valore di a?
3.per a = -4?
4.per nessun valore di a?

Io credo la 4. per nessun valore di a...
Intanto il limite così com'è, è nella forma indeterminata 0/0.
Applicando l'Hopital e derivando sopra e sotto il risultato, per qualsiasi valore assunto da "a" sarà 2.

[cagnaluia]

Ex3.
Qual'è il massimo della funzione f(x)=e^|x| * x^2 nell'intervallo [-1,1] ?

1. 0,
2. non esiste perchè f(x) non è derivabile
3. e
4. 4e^2

Mah.. eviterei 0 perchè ad occhio sembra una parabola... eviterei non esiste, perchè è derivabile... direi "e" perchè 4e^2 non mi piace....

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Ex2.
Per quali valori del parametro "a" il limite lim per x-->0 di (x^2 * cosx -2x)/(e^ax -1 - x^2) vale 1/2 ??

1.per a=0 ?
2.per ogni valore di a?
3.per a = -4?
4.per nessun valore di a?

Io credo la 4. per nessun valore di a...
Intanto il limite così com'è, è nella forma indeterminata 0/0.
Applicando l'Hopital e derivando sopra e sotto il risultato, per qualsiasi valore assunto da "a" sarà 2.

Poichè il risultato del limite non dipende da "a" la risposta corretta è la 2 (per ogni valore di a)

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Ex3.
Qual'è il massimo della funzione f(x)=e^|x| * x^2 nell'intervallo [-1,1] ?

1. 0,
2. non esiste perchè f(x) non è derivabile
3. e
4. 4e^2

Mah.. eviterei 0 perchè ad occhio sembra una parabola... eviterei non esiste, perchè è derivabile... direi "e" perchè 4e^2 non mi piace....

la funzione incognita è simmetrica rispetto all'origine, essendo il prodotto di una potenza pari per l'esponenziale del modulo di x.

Quindi basta studiarla nell intervallo tra zero e 1

f (x) = e^x * x^2

f' (x) = e^x (x^2 + 2x)

f' (x) = 0 per x = 0 ed x = -2

quindi la funzione presenta un minimo relativo per x = 0

Occorre inoltre verificare i valori agli estremi dell'intervallo.

f(-1) = f(1) = e^1 * (1)^2 = e

f(0) = e^0 + (o)^2 = 0

Pertanto la risposta esatta è la numero 3.

PS: "qual è" si scrive senza apostrofo...

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

Poichè il risultato del limite non dipende da "a" la risposta corretta è la 2 (per ogni valore di a)

Ciao Picard!



hmm... ma... il limite nn vale mai 1/2.....

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Ciao Picard!



hmm... ma... il limite nn vale mai 1/2.....

scusami, avevo capito che applicando de l'Hopital, venisse 2 al denominatore, per cui la frazione diventava un mezzo.

hai ragione tu

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

PS: "qual è" si scrive senza apostrofo...

è hai ragione... vallo a spiegare al dito che l'ha pigiato....

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

scusami, avevo capito che applicando de l'Hopital, venisse 2 al denominatore, per cui la frazione diventava un mezzo.

hai ragione tu

yuppi

[cagnaluia]

Ex.4
Qual è il valore dellla somma della serie: sommatoria da n=2 ad infinito di 1/(5^n) ?

1. +infinito
2. 1/20
3. 1+1/5
4. 4/5


direi la 2... 1/20.. nel modo piu brutale: provando sommatoria per sommatoria...
PS: come si fa per trovarlo usando qualche trick?

[cagnaluia]

Ex5.
Determinare la soluzione dell'equazione differenziale y' = (sinx+1)/y^2, tale che y(0)=1.

Esiste il limite per x tendente a +infinito della soluzione ed in caso affermativo quanto vale?

[cagnaluia]

Ex6.
Determinare esplicitamente la soluzione dell'equazione differenziale y'=e^2y * (x+3), tale che y(1)=0.

Per quali valori di x è definita la soluzione?

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Ex.4
Qual è il valore dellla somma della serie: sommatoria da n=2 ad infinito di 1/(5^n) ?

1. +infinito
2. 1/20
3. 1+1/5
4. 4/5


direi la 2... 1/20.. nel modo piu brutale: provando sommatoria per sommatoria...
PS: come si fa per trovarlo usando qualche trick?

poni q= (1/5)

la sommatoria diventa quella di q^n con q>1

la sommatoria da 0 a n di q^n è nota ed è uguale a (1-q^n)/(1-q)

il cui limite per n infinito è uguale a 1 / (1-q) = 5/4

poichè ti serve il limite della sommatoria da n = 2, ti basterà sottrarre i primi due termini della sommatoria, per cui avrai

5/4 - 1 - 1/5 = 1/20...

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Ex5.
Determinare la soluzione dell'equazione differenziale y' = (sinx+1)/y^2, tale che y(0)=1.

Esiste il limite per x tendente a +infinito della soluzione ed in caso affermativo quanto vale?

y= 1 / (cosx - x)

lim = 0

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

y= 1 / (cosx - x)

lim = 0

allora.. ero a pranzo..

vediamo come si sviluppa..

Comincio con il portare y^2 via dal denominatore, moltiplicando a dx e a sx della funzione differrenziale.

y^2 * y' = sinx + 1

...poi...

mettiamo dx e sx sotto integrale

integrale di (y^2 * y')dx = integrale di (sinx + 1)dx

quindi, dovrei trovare una primitiva per y^2 * y'...
quella di sinx+1 è uguale a -cosx + x



un aiutino per proseguire....

[cagnaluia]

...continua...ex5.

allora abbiamo che la primitiva a sx è y^3/3

perciò:

y^3/3 = -cosx + x + C


Ora passo a ricavare C.

ho che y(0)=1 perciò x=0 e y=1, li sostituisco alla primitiva appena trovata.

1^3/3 = -cos 0 + 0 + C

da cui

C = 1/3 + 1 = 4/3



ok... torniamo quindi ad estrarre la y(x) dalla primitiva: y^3/3=-cosx+x+C

applicando una radice cubica a dx e a sx, ne esce:

y/3 = radcubica(-cosx+x+C)

quindi: spostando il 3 da denominatore e sostituento C=4/3

y(x) = 3 * radcubica(-cosx+x+4/3)

!!!???

[cagnaluia]

butto dentro anche un esercizio:
Ex7.
Calcolare l'integrale della funzione f(x,y)=2x/y sul triangolo di vertici (0,0), (0,1), (1,1).
Nota: svolgere l'integrale in un ordine è molto più semplice che nell'altro....