Serie a numeri complessi (help!)

[*nicola*]

Sto seguendo Analisi2 e mi sto imbattendo nelle serie a numeri complessi, alcune mi vengono ma altre (ovviamente quelle prese da vecchi esami...la solita sfortuna...) non so veramente da dove cominciare per risolverle. Una di queste è la seguente:
Si determini l'insieme degli x appartenenti ad R tali che la serie (vedi allegato)
è convergente.

Non saprei proprio da dove cominciare, l'unica cosa che vedo è che se x=0 la serie non converge.

Grazie

[wacko]

Ho lo stesso problema anch'io non le ho capite proprio. Al massimo mi sono riuscite quelle di potenza a termini negativi. Ma queste semplici no.

[*nicola*]

Solitamente si usano gli stessi criteri delle serie normali se possibile. Con l'aggiunta di quello che dice che la serie converge sse convergono la parte reale e la parte immaginaria. Qui (e in altre che non ho postato) però non ho idea di come si proceda.

Non vedo l'ora di togliermi dalle scatole gli esami del primo anno e studiare qualcosa di più caratterizzante il mio CdL.

[Banus]

Originariamente inviato da *nicola*

Qui (e in altre che non ho postato) però non ho idea di come si proceda.

Non basta controllare la convergenza in modulo? Per definizione implica la convergenza di parte reale e complessa. Nel tuo caso per x != 0 hai una quantità che va come sqrt(n/xn!) e quindi converge. Solo per x=0 la serie non converge.

[*nicola*]

Scusa ma non ho capito. Faccio il modulo del numeratore e del denominatore (con la formula della radice quadrata della somma delle componenti del numero complesso) e ottengo il modulo del numeratore fratto il modulo del denominatore, poi faccio un'unica radice e ottengo radice quadrata di (x^2+n^2)/((n!x)^2+1) ma arrivato qui cosa ho risolto?

Grazie cmq...

[Banus]

Originariamente inviato da *nicola*

poi faccio un'unica radice e ottengo radice quadrata di (x^2+n^2)/((n!x)^2+1) ma arrivato qui cosa ho risolto?

Adesso hai una serie non complessa e ne puoi valutare la convergenza. Dal momento che la somma dei moduli è maggiore del modulo della somma, se questa serie converge converge anche la serie complessa iniziale.
Hai x costante e n! al denominatore... è praticamente risolto

[*nicola*]

Scusa ma stasera sono proprio rimbambito:
Quando arrivo a radice quadrata di (x^2+n^2)/((n!x)^2+1) so che se converge quella (convergenza assoluta) converge anche la serie di partenza ma come faccio a sapere quando converge la serie radice quadrata di (x^2+n^2)/((n!x)^2+1)

Uso il criterio dell'odine di infinitesimo?

[Banus]

Originariamente inviato da *nicola*

Uso il criterio dell'odine di infinitesimo?

Sì, è sufficiente.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da *nicola*

Solitamente si usano gli stessi criteri delle serie normali se possibile. Con l'aggiunta di quello che dice che la serie converge sse convergono la parte reale e la parte immaginaria. Qui (e in altre che non ho postato) però non ho idea di come si proceda.

OK, hai già visto che per x=0 la serie non converge.
Per x<>0, te la puoi cavare così: per ogni n e per ogni x tale che i+n!x<>0 hai:

|a[n]| = |(x+in)/(i+n!x)| <= (|x|+n)/(n!|x|-1) = p[n]/q[n]

Per n-->oo, p[n] diverge come n e q[n] come n!: per il Criterio dell'ordine di infinitesimo, la serie degli |a[n]| converge, e la serie degli a[n] converge assolutamente: questo se x non ha la forma x=-i/k! per qualche k, nel qual caso a[k] avrebbe denominatore nullo.

[*nicola*]

Ora ho capito, grazie a tutti.

[wacko]

Non ho ben capito cosa si fa in quelle fratte (Come quella scritta da nicola). Si eliminano le i e poi si studia come una serie normale ? Ma le i come spariscono ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da wacko

Non ho ben capito cosa si fa in quelle fratte (Come quella scritta da nicola). Si eliminano le i e poi si studia come una serie normale ? Ma le i come spariscono ?

Si cerca di dimostrare che, se x non è zero e non ha la forma x=-i/k!, la serie converge assolutamente.
A numeratore si usa la prima disuguaglianza triangolare, |a+b| <= |a| + |b|; a denominatore, si usa la seconda, ||a|-|b|| <= |a-b|.
Per n abbastanza grande risulta |n!x|>1 e quindi |n!|x|-|-i||=n!|x|-1.

[*nicola*]

Oggi ho fatto ancora un po' di esercizi e le tecniche più "di moda" sono o dividere il numero in parte reale e parte immaginaria e studiare la convergenza di ognuna della parti oppure calcolare il modulo con la formula |z|=radice quadrata di (a^2)+(b^2) (con z=a+ib), in questo modo ti ritrovi con una serie a termini positivi (quindi puoi calcolare la convergenza assoluta) e senza le i che rompono quindi una serie a numeri reali. Detto così sembra facile ma ogni esercizio nasconde qualche tranello.