Ancora sulle probabilità

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

a leggerla fortunatamente non ho problemi, casomai interpretare le domande del Mood si.
Se leggo: calcolare la probabilità che escano due teste sapendo che dalla prima moneta è uscito testa.

E imposti i conti in un certo modo ma:

calcolare la probabilità che escano due teste data almeno una testa, diventa problematico in quanto si capisce poco cosa si intende

"calcolare la probabilità che escano due teste data almeno una testa" significa quello che ti ho detto e che hai detto, ovvero:
"calcolare la probabilita' che escano due teste (in due lanci diversi ovviamente) SAPENDO CHE è USCITA (in uno dei due lanci, non ti interessa quale) ALMENO (o nel primo, o nel secondo, o in entrambi => l'OR logico, l'UNIONE insiemistica) UNA TESTA.

[Zebra75]

grazie, credo di avere capito

un'ultima questione anzi, tre

(1)
il teorema della probabilità condizionata, si applica solo su eventi congiunti ?
Cioè, la si può calcolare solo su eventi congiunti?

(2)
il teorema delle probabilità totali lo si applica solo su eventi disgiunti ?
Cioè, lo si può calcolare solo su eventi disgiunti ?

(3) il teorema di bayes dove lo si applica, su evento congiunti o disgiunti ?

grazie 1000

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

grazie, credo di avere capito

un'ultima questione anzi, tre

(1)
il teorema della probabilità condizionata, si applica solo su eventi congiunti ?
Cioè, la si può calcolare solo su eventi congiunti?

(2)
il teorema delle probabilità totali lo si applica solo su eventi disgiunti ?
Cioè, lo si può calcolare solo su eventi disgiunti ?

(3) il teorema di bayes dove lo si applica, su evento congiunti o disgiunti ?

grazie 1000

-1) Nelle formule dei post precedenti ho sbagliato a scrivere la probabilita' condizionata facendo, cmq sia, i calcoli giusti (la formula e' sotto, punto1: i post incrimati sono stati correti )

0) Due eventi si dicono disgiunti quando la loro intersezione è l'insieme vuoto. Altrimenti sono "congiunti" (non so se esiste sto termine), pero' diciamo congiunti quando hanno almeno un elemento in comune.

1) La probabilita' condizionata dice P(A|B) = P(A intersecato B) / P(B). Ma essendo la probabilità dell'insieme vuoto pari a zero allora avresti che P(A|B) = 0. Quindi puoi vedere che se gli eventi A e B sono disgiunti la probabilita' condizionata è pari a zero. Quindi la puoi calcolare anche su eventi disgiunti, solo che avrai sempre zero.

2) il teorema delle probabilita' totali dice che
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersecato B)
(questo nel caso piu' semplice...basta generalizzare con l'unione di piu' di due eventi: esempio
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A int B) - P(A int C) - P(B int C) - P(A int B int C))
quindi, come vedi, il teorema delle probabilita' totali lo puoi usare sempre...solo che se gli eventi sono disgiunti allora tutte le probabilita' relative all'intersezione di eventi disgiunti saranno pari a zero e quindi la formula viene semplificata

3) Per quanto riguarda il calcolo della probabilita' condizionata tramite bayes devi considerare un evento B che è partizione di più eventi A1,A2,...An. Ora se vuoi calcolare la probabilità la probabilità che si verifichi uno dei sottoeventi (Ai) sapendo che se n'è verificato ALMENO uno di questi sottoeventi, allora usi la formula di bayes:
P(A1 | B) = P(B|A1) * P(A1) / P(B).
Ma la probabilita' di B significa calcolare la probabilita' di A1 U A2 U A3... U An.
Allora usi la formula della probabilita' assoluta che dice:
P(B) = sommatoria_per_i_che_va_da_1_a_n[P(Ai)*P(B|Ai)].
Si vede subito che non ha molto senso dire "utilizzo il teorema di bayes su eventi disgiunti o meno".Quello che fai è prendere un sottoevento (che per definizione di partizione DEVE ESSERE DISGIUNTO dagli ALTRI sottoeventi) Ai e sapere la probabilita' che questo si verifichi sapendo che si è verificato almeno uno di tutti gli altri sottoeventi (al limite anche Ai stesso), cioè B che è l'unione (=or logico) di tutti i sottoeventi in questione

[Zebra75]

edit

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

edit

?

[Zebra75]

Originariamente inviato da np2k

?

no niente, era una supposizione nata troppo in fretta.

Stavo facendo degli esempi con la probabilità condizionata e ho notato che se ho due eventi, esempio A e B e più questi si discostano tra loro minore è la probabilità che si verifichi nonostante il condizionamento.

Se però B è un sottoinsieme di A, la probabilità diventa 1, mi chiedevo se è corretto!

Esempio

spazio campionario={1,2,3,4,5,6}

A={1,2,3}
B={2}

supponendo che B si sia verificato

P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/6 = 1 ????

Se B inizia ad essere ad esempio

B={2,5}

la P(A|B) si allontana dall'1 perchè:
P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/3 = 1/2 ????

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

no niente, era una supposizione nata troppo in fretta.

Stavo facendo degli esempi con la probabilità condizionata e ho notato che se ho due eventi, esempio A e B e più questi si discostano tra loro minore è la probabilità che si verifichi nonostante il condizionamento.

Se però B è un sottoinsieme di A, la probabilità diventa 1, mi chiedevo se è corretto!

Esempio

spazio campionario={1,2,3,4,5,6}

A={1,2,3}
B={2}

supponendo che B si sia verificato

P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/6 = 1 ????

Se B inizia ad essere ad esempio

B={2,5}

la P(A|B) si allontana dall'1 perchè:
P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/3 = 1/2 ????

Mmm, mi dispiace, ma proprio non ho proprio capito. Cosa intendi nel dire che A e B si discostano tra loro?

[Zebra75]

Originariamente inviato da _fred_

Mmm, mi dispiace, ma proprio non ho proprio capito. Cosa intendi nel dire che A e B si discostano tra loro?

pardon, ho usato un termine completamente errato!

intendo dire che se B è fatto di un solo elemento che appartiene ad A, B e sottoinsieme di A e applicando l aformula la probabilità che mi esce vale 1, ma ho dei dubbi che sia così.

Se B inizia ad avere valore non contenuti in A (quindi io in questo caso avevo scritto erroneamente che B si discosta da A), la probabilità all'aumentare di elementi in B che non sono in A diminuisce.

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

pardon, ho usato un termine completamente errato!

intendo dire che se B è fatto di un solo elemento che appartiene ad A, B e sottoinsieme di A e applicando la formula, la probabilità che mi esce vale 1, ma ho dei dubbi che sia così.

Allora: se A è l'evento che comprende i valori 1;2;3 e B è l'evento che comprende il valore 3 e se per dire che l'evento A si realizza mi basta che esca almeno uno dei tre valori di A, allora la probabilità è 1, poichè la prob. condizionata mi dice di ricavare la probabilità di A condizionata al fatto che B sia verificata, ma se A contiente anche il valore di B allora sicuramente l'evento A si è realizzato.
Spero che sia questo che tu intendevi.
E' più complicato da scriverlo che da capirlo.

Se B inizia ad avere valore non contenuti in A (quindi io in questo caso avevo scritto erroneamente che B si discosta da A), la probabilità all'aumentare di elementi in B che non sono in A diminuisce.

Se B non comprende valori di A, è ininfluente ai fini della prob. condizionata.

[Zebra75]

Originariamente inviato da _fred_

Allora: se A è l'evento che comprende i valori 1;2;3 e B è l'evento che comprende il valore 3 e se per dire che l'evento A si realizza mi basta che esca almeno uno dei tre valori di A, allora la probabilità è 1, poichè la prob. condizionata mi dice di ricavare la probabilità di A condizionata al fatto che B sia verificata, ma se A contiente anche il valore di B allora sicuramente l'evento A si è realizzato.

scusa ma non mi è ancora chiaro perchè dovrebbe uscire 1.
Ho in mente lo spazio campionario fatto da 1,2,3,4,5,6 e se escludo l'evento B=2 ho ancora 1,3,4,5,6

Originariamente inviato da _fred_

Se B non comprende valori di A, è ininfluente ai fini della prob. condizionata.

e l'intersezione non sarebbe l'insieme vuoto in questo caso ?

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

scusa ma non mi è ancora chiaro perchè dovrebbe uscire 1.
Ho in mente lo spazio campionario fatto da 1,2,3,4,5,6 e se escludo l'evento B=2 ho ancora 1,3,4,5,6

Momento, se mi dici che escludi l'evento B, allora stiamo parlando d'altro.
Se calcoli P (A|B) significa che B lo prendi come evento certo che si è avverato.

e l'intersezione non sarebbe l'insieme vuoto in questo caso ?

Appunto, non ti servirebbe calcolare la prob. condizionata di due eventi disgiunti. Calcoli direttamente la probabilità di A.

[Zebra75]

Originariamente inviato da _fred_

Momento, se mi dici che escludi l'evento B, allora stiamo parlando d'altro.
Se calcoli P (A|B) significa che B lo prendi come evento certo che si è avverato.

e quindi se B si è avverato, non si riduce lo spazio campionario ?

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

e quindi se B si è avverato, non si riduce lo spazio campionario ?

Riduci lo spazio perchè l'avverarsi di B ti dice che andrai a cercare su di una porzione dello spazio campione iniziale.

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

no niente, era una supposizione nata troppo in fretta.

Stavo facendo degli esempi con la probabilità condizionata e ho notato che se ho due eventi, esempio A e B e più questi si discostano tra loro minore è la probabilità che si verifichi nonostante il condizionamento.

Se però B è un sottoinsieme di A, la probabilità diventa 1, mi chiedevo se è corretto!

Esempio

spazio campionario={1,2,3,4,5,6}

A={1,2,3}
B={2}

supponendo che B si sia verificato

P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/6 = 1 ????

Se B inizia ad essere ad esempio

B={2,5}

la P(A|B) si allontana dall'1 perchè:
P(A|B)=P(A int B)/P(B)=1/6/1/3 = 1/2 ????

quello che hai scritto è tutto giusto.
Devi essere solo piu' preciso per capire meglio le cose.
Dire che l'evento A e' uguale a {1,2,3} non e' molto preciso, anzi non lo è affatto.
L'evento A (supponendo il lancio di un dado numerato) è:
A = {esce il numero 1, esce il numero 2, esce il numero 3}
l'evento B = {esce il numero 2, esce il numero 5}.
Ancora l'evento A non è un evento "atomico" poichè è composto da 3 eventi atomici. Quindi A lo posso scrivere come
A = {esce il numero 1} U {esce il numero 2} U {esce il numero 3}
e quando calcolo la probabilita' che si verifichi A, cioe' P(A) significa che voglio sapere qual è la probabilità che si verifichi l'evento "esce il num 1" oppure l'evento "esce il num 2" oppure "esce l'evento 3" (OR NON ESCLUSIVO).
Quindi
Se A = {esce il num1, esce il num2, esce il num3}
e B = {esce il num2}
allora
P(A|B) = la probabilita' che si verifichi A SAPENDO CHE SI E' VERIFICATO B.
Scomponiamo ancora la frase, perche' sappiamo che A non e' un evento atomico. Diciamo quindi
P(A|B) = la probabilita' che si verifichi ALMENO UNO degli EVENTI in A sapendo che si e' verificato B. Ma B è un evento in A, allora la probabilita' e' del 100%.
Con lo stesso ragionamento fai il caso di B = {esce 2, esce 5}.

[Zebra75]

Originariamente inviato da np2k

quello che hai scritto è tutto giusto.
Devi essere solo piu' preciso per capire meglio le cose.
Dire che l'evento A e' uguale a {1,2,3} non e' molto preciso, anzi non lo è affatto.
L'evento A (supponendo il lancio di un dado numerato) è:
A = {esce il numero 1, esce il numero 2, esce il numero 3}
l'evento B = {esce il numero 2, esce il numero 5}.
Ancora l'evento A non è un evento "atomico" poichè è composto da 3 eventi atomici. Quindi A lo posso scrivere come
A = {esce il numero 1} U {esce il numero 2} U {esce il numero 3}
e quando calcolo la probabilita' che si verifichi A, cioe' P(A) significa che voglio sapere qual è la probabilità che si verifichi l'evento "esce il num 1" oppure l'evento "esce il num 2" oppure "esce l'evento 3" (OR NON ESCLUSIVO).
Quindi
Se A = {esce il num1, esce il num2, esce il num3}
e B = {esce il num2}
allora
P(A|B) = la probabilita' che si verifichi A SAPENDO CHE SI E' VERIFICATO B.
Scomponiamo ancora la frase, perche' sappiamo che A non e' un evento atomico. Diciamo quindi
P(A|B) = la probabilita' che si verifichi ALMENO UNO degli EVENTI in A sapendo che si e' verificato B. Ma B è un evento in A, allora la probabilita' e' del 100%.
Con lo stesso ragionamento fai il caso di B = {esce 2, esce 5}.

ed hai perfettamente ragione!

Difatti ho letto e riletto un diamine di esempio fino a quando l'occhio non mi è caduto sul punto giusto, allora qualcosa l'ho iniziato a capire.

Ho un dado col solito spazio campionario e due eventi

A={"esce un numero dispari"} quindi A{1, 3, 5}
B={"esce un numero minore di 4"} quindi B={1,2,3}

io continuavo a fossilizzarmi sulla parte numerica e questa mi depistava in quanto poi, meditavo sull'effettivo lancio del dado e mi dicevo:

Se A si è già verificato e cioè, è uscito 1 o 3 o 5, come diamine fa a dire che è uscito un numero minore di 4 ?

Ho iniziato a ragionare sulla frase: supponiamo che l'evento A si sia già verificato e giustamente, nell'esempio che ho trovato, non cita assolutamente il numero che è uscito ma semplicemente che è uscito un numero dispari, che testone.

Ora, se è uscito un numero dispari quindi si è verificato l'evento A, se voglio calcolare la probabilità che esca un numero minore di 4 devo semplicemente considerare i numeri consoderati nell'evento B, evitando di considerare ovviamente i numeri pari.
Il nuovo B diventa quindi costituito dai numeri 1 e 3.

Quindi ora si può fare i conti.

P(A int B) = 1/3
e B nella nuova configurazione considerando che lo spazio campione si è ridotto a soli 3 elementi vale:
P(B) = 2/3

quindi:
P(A|B)=P(A int B)/P(A) = 1/2

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

ed hai perfettamente ragione!
P(A|B)=P(A int B)/P(A) = 1/2

calcolo giusto ovviamente, attenzione pero' alla distrazione...

P(A|B) = P(A int B) / P(B)

[Zebra75]

Originariamente inviato da np2k

calcolo giusto ovviamente, attenzione pero' alla distrazione...

P(A|B) = P(A int B) / P(B)

grazie np2k!

Secondo te, data la seguente affermazione che io reputo poco intuitiva:
si ha un dado ed i seguenti eventi:

A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6}

Se nel lancio del dado esce il numero 3 ad esempio, significa che entrambi gli eventi si sono verificati ?
Ad occhio direi di si ma subito dopo tale esempio ho la seguente affermazione che mi depista: "quindi incompatibili vuol dire che o accade l'uno o l'altro e quindi non si hanno elementi elementari nella loro intersezione".
Ma non è il caso dell'esempio sopra in quanto si hanno 2 elementi che intersecano, giusto ?

[np2k]

Originariamente inviato da Zebra75

grazie np2k!

Secondo te, data la seguente affermazione che io reputo poco intuitiva:
si ha un dado ed i seguenti eventi:

A={1,2,3,4}
B={3,4,5,6}

Se nel lancio del dado esce il numero 3 ad esempio, significa che entrambi gli eventi si sono verificati ?
Ad occhio direi di si ma subito dopo tale esempio ho la seguente affermazione che mi depista: "quindi incompatibili vuol dire che o accade l'uno o l'altro e quindi non si hanno elementi elementari nella loro intersezione".
Ma non è il caso dell'esempio sopra in quanto si hanno 2 elementi che intersecano, giusto ?

Se esce il numero 3 allora dici che si è verificato sia A che B. Perchè questi eventi spaziano su una casistica più ampia di quella semplice. A te basta che esca 3...e l'uscita del 3 è contemplata dall'evento A e dall'evento B (ricordo ancora che l'evento A non è un insieme di numeri interi ma è = {esce #1, esce #2....}, cosi' come l'evento B)...
Due eventi si dicono incompatibili sono quegli eventi tali per cui il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro, cioè quegli eventi CHE NON SI POSSONO VERIFICARE IN MODO CONTEMPORANEO.

Es
A = { esce #1, esce#3, esce #5}
B = {esce #2, esce #4}

il verificarsi di B esclude a-priori il verificarsi di A, ma se B fosse
B = {esce#1,esce#2,esce#4}

allora il verificarsi di B NON ESCLUDE il fatto che si possa verificare A; infatti, puo' essere che esca #1 e quindi A è verificato. Certo puo' essere anche che esca 2 o 4 e in questo caso A non si verifica. Ma c'è il caso "esce#1" che da una speranza del verificarsi di A.

Quindi in formule dici che due eventi sono incompatibili (o esclusi mutualmente) se la loro intersezione è il vuoto (cioè se non hanno elementi in comune ovvero se non hanno EVENTI (atomici o composti) in comune)

[Zebra75]

ho un altro esempio del quale non riesco a capire la dipendenza!

Un urna contiene 6 palline bianche e 5 nere. Vengono pescate due palline insieme e si chiede la probabilità che la prima sia bianca e la seconda sia nera.
Ovviamente pescandole insieme uno deve immaginarsi che quella ad esempio nella mano sinistra sia la prima e quella ovviamente nella mano destra sia la seconda.

Siccome anzichè concentrarmi sulla domanda che è poi l'evento io ragiono sullo spazio campionario e cioè sulle 6 palline bianche e le 5 nere, non riesco a capire se è un evento dipendente o meno.

Se provo ad intersecare l'insieme delle palline bianche con quello delle palline nere ottengo l'insieme vuoto e ciò mi porterebbe a stabilire che l'evento è dipendente ma siccome ho scritto che:

P(B|A)=P(A intersecato B) / P(B) la si usa per eventi dipendenti, credo che questo dipendenti non sia corretto in quanto va usato questo teorema per eventi congiunti, dove avevamo detto in questo caso specifico che, per eventi congiutni la dipendenza va verificata caso per caso

[_fred_]

Originariamente inviato da Zebra75

ho un altro esempio del quale non riesco a capire la dipendenza!

Un urna contiene 6 palline bianche e 5 nere. Vengono pescate due palline insieme e si chiede la probabilità che la prima sia bianca e la seconda sia nera.
Ovviamente pescandole insieme uno deve immaginarsi che quella ad esempio nella mano sinistra sia la prima e quella ovviamente nella mano destra sia la seconda.

Siccome anzichè concentrarmi sulla domanda che è poi l'evento io ragiono sullo spazio campionario e cioè sulle 6 palline bianche e le 5 nere, non riesco a capire se è un evento dipendente o meno.

Se provo ad intersecare l'insieme delle palline bianche con quello delle palline nere ottengo l'insieme vuoto e ciò mi porterebbe a stabilire che l'evento è dipendente ma siccome ho scritto che:

Dunque, l'esercizio di per se si risolve nella seguente maniera.

Ci sono 6 palline bianche e 5 nere.

Alla prima estrazione si estrae una bianca e quindi le probabilità sono di 6/11 (6 sono le palline bianche e 11 sono la somma delle palline bianche più le nere, ovvero lo spazio campione.)

Alla seconda estrazione si estrae una nera e quindi le probabilità sono di 5/10 (5 sono le palline nere e 10 sono la somma delle palline nere più quelle bianche superstiti)

La probablità dunque di estrarre prima una pallina bianca e poi una nera sono di:

6/11*5/10=6/22


I due eventi sono dipendenti perchè l'estrazione avviene in blocco (o senza reimbussolamento) per cui lo spazio campionario viene alterato (dalla prima estrazione e da tutte quelle successive).

P(B|A)=P(A intersecato B) / P(B) la si usa per eventi dipendenti, credo che questo dipendenti non sia corretto in quanto va usato questo teorema per eventi congiunti, dove avevamo detto in questo caso specifico che, per eventi congiutni la dipendenza va verificata caso per caso

Mi pare che ci siano delle contradizioni nella frase.
L'espressione che riporti, che poi è il concetto di probabilità condizionata, la si usa per eventi dipendenti (o disgiunti) e non per eventi indipendenti (o congiunti).