[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[D4rkAng3l]

Per un esame di ricerca operativa devo rispolverare un bel po' di concetti di algebra lineare caduti nel dimenticatoio

concetto di SPAN: Se ho uno spazio vettoriale V su di un campo K allora un sistema SPAN di V è un insieme di vettori u appartenenti a V se ogni generico vettore v di V può essere espresso come bombinazione lineare dei vettori u --> se esistono degli opportuni scalari per cui valga:



DOMANDA: quindi questi vettori u devono esseretutti linearmente indipendenti tra di loro oppure non è richiesta come cosa?

Praticamente uno SPAN mi genera uno spazio vettoriale che è composto da vettori esprimibili tutti come cobinazione lineare di questi vettori u con degli opportuni coefficienti a....giusto il concetto?

CONCETTO DI BASE: E' un insieme di vettori: è una base di V se valgono le seguenti due condizioni:
1) Tutti i vettori di S sono linearmente indipendenti (ma non era così anche per lo SPAN?!?!)
2) S è un sistema SPAN per V

DUBBIO: quindi 2 vettori di un sistema SPAN potrebbero anche non essere linearmente indipendenti tra di loro?

L'altra definizione di base è che data una base di V ogni vettore v appartenente a V può essere scritto come combinazione lineare di vettori della base in modo univoco.

Allora qual'è la differenza tra SPAN e BASE? che con uno span potrei scrivere uno stesso vettore v come diverse combinazioni lineari dei vettori u appartenenti al sistema span mentre usando le basi ciò è univoco?

Sbaglio o il concetto di sistema span e di base è abbastanza simile...nel senso che entrambi sono modi per generare tutti i vettori di uno spazio vettoriale?

Per fare un esepio di base di R^3 avrei i 3 vettori:
v1=(1,0,0); v2=(0,1,0); v3=(0,0,1) da cui posso ricavare tutti i vettori di R^3 come ad esempio

v = (3,2,0) =3*v1 + 1*v2 + 0*v3

ed usando una base questo è univoco...mentre forse se avessi usato un sistema span di vettori che non erano linearmente indipendenti tra di loro avrei avutopiù possibili rappresentazioni.

Altra domanda che mi afflige.

Se ho una matrice (ad esempio una 4X4)...se prendo diciamo 2 colone linearmente indipendenti di tale matrice queste colonne sono una base...si ma di che? a quale spazio vettoriale si stà riferendo?!?!

Mi sento molto stupido...anche perchè questi sono dei concetti base che devo rivedere per altri argomenti teorici di ricerca operativa sui quali mi sono bloccato di brutto (e come ultima soluzione ho pensato di rispolverare un po' il libro di algebra lineare...prima del suicidio...)

Grazie
Andrea

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

concetto di SPAN: Se ho uno spazio vettoriale V su di un campo K allora un sistema SPAN di V è un insieme di vettori u appartenenti a V se ogni generico vettore v di V può essere espresso come bombinazione lineare dei vettori u --> se esistono degli opportuni scalari per cui valga:



DOMANDA: quindi questi vettori u devono esseretutti linearmente indipendenti tra di loro oppure non è richiesta come cosa?

No, non è richiesta.
Per esempio, in IR^3, span(e1,e2,e1+e2) è il piano z=0.

Originariamente inviato da D4rkAng3l

Praticamente uno SPAN mi genera uno spazio vettoriale che è composto da vettori esprimibili tutti come cobinazione lineare di questi vettori u con degli opportuni coefficienti a....giusto il concetto?

Giusto.

Originariamente inviato da D4rkAng3l

CONCETTO DI BASE: E' un insieme di vettori: è una base di V se valgono le seguenti due condizioni:
1) Tutti i vettori di S sono linearmente indipendenti (ma non era così anche per lo SPAN?!?!)
2) S è un sistema SPAN per V

DUBBIO: quindi 2 vettori di un sistema SPAN potrebbero anche non essere linearmente indipendenti tra di loro?

Due vettori dello span di un sistema possono senza difficoltà
Due vettori di un sistema di cui si cerca lo span possono, come già detto, esserlo.

Originariamente inviato da D4rkAng3l

L'altra definizione di base è che data una base di V ogni vettore v appartenente a V può essere scritto come combinazione lineare di vettori della base in modo univoco.

Allora qual'è la differenza tra SPAN e BASE? che con uno span potrei scrivere uno stesso vettore v come diverse combinazioni lineari dei vettori u appartenenti al sistema span mentre usando le basi ciò è univoco?

Uno span è il sottospazio delle combinazioni lineari dei vettori in un certo insieme.
Una base è un insieme di vettori linearmente indipendenti il cui span è l'intero spazio.

Originariamente inviato da D4rkAng3l

Sbaglio o il concetto di sistema span e di base è abbastanza simile...nel senso che entrambi sono modi per generare tutti i vettori di uno spazio vettoriale?

No.
Lo span di un insieme di vettori può anche essere un sottospazio proprio.

Originariamente inviato da D4rkAng3l

Per fare un esepio di base di R^3 avrei i 3 vettori:
v1=(1,0,0); v2=(0,1,0); v3=(0,0,1) da cui posso ricavare tutti i vettori di R^3 come ad esempio

v = (3,2,0) =3*v1 + 1*v2 + 0*v3

ed usando una base questo è univoco...mentre forse se avessi usato un sistema span di vettori che non erano linearmente indipendenti tra di loro avrei avutopiù possibili rappresentazioni.

Sì.
Per esempio, se hai S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)}, allora span(S)=IR^3 ma (1,1,1)=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,0)+(0,0,1).

Originariamente inviato da D4rkAng3l

Altra domanda che mi afflige.

Se ho una matrice (ad esempio una 4X4)...se prendo diciamo 2 colone linearmente indipendenti di tale matrice queste colonne sono una base...si ma di che? a quale spazio vettoriale si stà riferendo?!?!

Due vettori linearmente indipendenti v1, v2 a d componenti sono sempre una base di span(v1,v2) come sottospazio di IR^d.

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Sì.
Per esempio, se hai S={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0)}, allora span(S)=IR^3 ma (1,1,1)=(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,0)+(0,0,1).

Due vettori linearmente indipendenti v1, v2 a d componenti sono sempre una base di span(v1,v2) come sottospazio di IR^d.

Ti ringrazio molto anche se non ho capito bene l'ultima cosa che mi hai detto...il resto credo di averlo capito...

Tanto per raccordarmi al mio effettivo problema con ricerca operativa...vediamo se sto ragionamento funziona o se stò a dire cappellate...

Un problema di programmazione lineare è un problema dove devo minimizzare una certa funzione obbiettivo e dove ho una serie di vincoli imposti dalla modellizzazione del problema stesso sotto forma di disequazioni.

Queste disequazioni mi rappresentano un poliedro n-dimensionale (dove il numero di dimensioni è dato dal numero di variabili di decisione che entrano in gioco nel mio modello del problema che ho creato), c'è un teorema che mi assicura che le soluzioni del mio sistema sono sempre sui vertici di tale politopo.

Passando alla forma standard del problema aggiungo nuove variabili di surplus e di slack...quindi per esempio se avessi avuto un problema con 2 variabili di decisione x1, x2 e due disequazioni come vincoli avrò un problema espresso in forma standard con 4 variabili (perchè ho aggiunto 2 variabili tra surplus e slack in base al tipo di disequazione).

Quindi ad esempio ora sono passato da un politopo P bidimensionale ad un politopo P' quadridimensionale (basandosi sul caso detto prima)...a questo punto da quello che ho capito i vertici del politopo P sono (sicuramente)anche vertici del politopo P' perchè P può essere visto come una proiezione bidimensionale di P', l'inverso non è vero perchè su P' potrei avere dei vertici "nascosti" che non vengono proiettati nel sistema bidimensionale.

A questo punto devo raccordare l'algebra lineare a questi concetti di ricerca operativa...

A che mi rappresenta i miei vincoli del problema ed il vettore b che mi rappresenta i termini noti delle equazioni definite in A

Tipo ho 2 vincoli del modello che ho creato per il problema:

x1 + 3*x2 + s1 = 4
4*x1 + x2 + s2 = 3

--> A = [1, 3, 1, 0 | 4, 2, 0, 1] e b = [4, 3]

A questo punto sta matrice che mi rappresenta? Lo spazio vettoriale del poliedro? Cioè tutti i punti che appartengono al poliedro P' ?!?! booo mi pare di si...

A questo punto posso scegliere varie basi di tale matrice come colonne linearmente indipendenti tra di loro...ok...di nuovo...la base cosa mi significa in questo caso?...con una base posso generare sempre tutti i punti del poliedro in maniera univoca (identificare un punto del poliedro con delle coordinate in maniera univoca)? E' giusto o non ho capito una mazza?

A questo punto...data una base posso riscrivere la mia matrice A come:

A=[B*F] dove semplicemente B sono le colonne che fanno parte della base ed F le colonne che non fanno parte della base.
Allora posso riscrivere il mio sistema di vincoli:

A*x = b dove A è la matrice dei coefficienti, x è il vettore delle variabili e b è il vettore dei termini noti come:

[B*F]*[x_b,x_f]^t = b dove x_b ed x_f sono i vettori delle variabili in base e fuori base.

facendosi un po' di calcoli risulta che:

x_b = B^-1 *b -B^-1 * F * x_f (ma perchè l'editor latex da ieri non mi funziona più? :-( )

Praticamente ora x_b che mi rappresenta? E' un vettore che mi contiene le coordinate di un punto del poliedro quadridimensionale P' o sbaglio?

Poi mi dice che una SOLUZIONE DI BASE AMMISSIBILE del sistema Ax=b è una soluzione del tipo:

x_b = B^-1 * b
x_f = 0

insomma tutte le variabili fuori base sono 0.

La soluzione di base ammissibile cosa mi rappresenta invece all'atto pratico? Stò azzerando le variabili fuori base...quindi stò riducendo le dimensioni, quindi è un punto del poliedro P proiezione bidimensionale di P' (sempre considerando l'esampio di prima)...è giusto o stò delirando?

Poi vabbè mi pare ci sia un teorema che mi assicura che i vertici del poliedro P siano proprio le soluzioni di base ammissibile e che visto che le soluzioni del mio sistema sono proprio sui vertici per trovare la soluzione ottima basta che analizzo tutte le possibili SBA valutando di volta in volta la funzione obbiettivo.

Altro dubbio: se io ad esempio prendo come base la prima e la seconda colonna e calcolo la soluzione di base ammissibile avrò un certo vettore x_b che mi darà le coordinate di un vertice...se poi io prendo un altra base formata da un'altra coppia di colonne linearmente indipendenti tra loro e calcolo la soluzione di base ammissibile...trovo un altro vertice di P giusto? (o di P'?)

Grazie
Andrea

[Wilcomir]

caro zio, dopo tutta sta matematica propongo una piccola sfida di geometria.

è dato un ellisse con centro nell'origine, semiassi a e b. si prenda un punto P tale che le tangenti all'ellisse condotte per P siano perpendicolari tra loro. dimostrare che il luogo geometrico dei punti P è una circonferenza.

non so davvero dove sbattere la testa...

ciao!

[Xalexalex]

Originariamente inviato da Wilcomir

caro zio, dopo tutta sta matematica propongo una piccola sfida di geometria.

è dato un ellisse con centro nell'origine, semiassi a e b. si prenda un punto P tale che le tangenti all'ellisse condotte per P siano perpendicolari tra loro. dimostrare che il luogo geometrico dei punti P è una circonferenza.

non so davvero dove sbattere la testa...

ciao!

Non è difficile questo, lo faccio a scuola nei buchi di tempo, stamattina, e poi te lo posto a pranzo
Byez

[-kekko91-]

Salve a tutti,
sono ore che sto provando a risolvere questo problema di trigonometria senza venirne a capo, qualcuno mi può aiutare?

Vi copio il testo:

"Sull'arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio R, considera un punto P in modo che dette Q ed R le proiezioni ortogonali di P sui due raggi OA ed OB l'area del rettangolo OQPR sia 1/4r^2".
Sinceramente io non capisco neppure cosa voglia sapere di preciso... comunque se io, ad esempio, volessi calcolarmi il raggio e la superfice del rettangolo sarebbe possibile? Sennò cosa chiede in realtà questo problema secondo voi?

E potreste darmi una mano anche per questo:
"In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele ABC di base AB. Calcola la misura dell'angolo al vertice sapendo che, detto H il piede dell'altezza relativa alla base AB, sia 1/2AB+CH = r(1+radicequadra2)"

Se, cortesemente, potreste spiegarmi analiticamente i passaggi e indicarmi il risultato finale ve ne sarei molto grato!

[-kekko91-]

Salve a tutti,
sono ore che sto provando a risolvere questo problema di trigonometria senza venirne a capo, qualcuno mi può aiutare?

Vi copio il testo:

"Sull'arco AB, quarta parte di una circonferenza di centro O e raggio R, considera un punto P in modo che dette Q ed R le proiezioni ortogonali di P sui due raggi OA ed OB l'area del rettangolo OQPR sia 1/4r^2".
Sinceramente io non capisco neppure cosa voglia sapere di preciso... comunque se io, ad esempio, volessi calcolarmi il raggio e la superfice del rettangolo sarebbe possibile? Sennò cosa chiede in realtà questo problema secondo voi?

E potreste darmi una mano anche per questo:
"In una circonferenza di raggio r è inscritto un triangolo isoscele ABC di base AB. Calcola la misura dell'angolo al vertice sapendo che, detto H il piede dell'altezza relativa alla base AB, sia 1/2AB+CH = r(1+radicequadra2)"

Se, cortesemente, potreste spiegarmi analiticamente i passaggi e indicarmi il risultato finale ve ne sarei molto grato!

[Wilcomir]

Originariamente inviato da Alessandro::Xalexalex

Non è difficile questo, lo faccio a scuola nei buchi di tempo, stamattina, e poi te lo posto a pranzo
Byez

dì la verità, ti ci sei rotto le corna e non hai il coraggio di dirlo aggiungo che tale circonferenza ha equazione x² + y² = a² + b², se l'ellisse ha centro nell'origine e semiassi a e b. naturalmente questa equazione si desume dalla dimostrazione...

ciao!

[Ziosilvio]

Sposto nel thread in rilievo

[Xalexalex]

Originariamente inviato da Wilcomir

dì la verità, ti ci sei rotto le corna e non hai il coraggio di dirlo aggiungo che tale circonferenza ha equazione x² + y² = a² + b², se l'ellisse ha centro nell'origine e semiassi a e b. naturalmente questa equazione si desume dalla dimostrazione...

ciao!

Me lo sono dimenticato
Oggi lo faccio

[Lucuzzu]

ciao ziosilivio, ho risolto il prob della serie, c'ero vicino

Ti volevo chiedere una cosa.
La prof ha introdotto il concetto di derivata distribuzionale.



ho provato a farla e mi viene questo:



è giusto?
scusami ma non ho il latex, sto su un altro pc.
ciao e grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucuzzu

La prof ha introdotto il concetto di derivata distribuzionale.



ho provato a farla e mi viene questo:



è giusto?

Prendi T come la distribuzione associata alla funzione caratteristica dell'intervallo (1,2). Allora per ogni funzione fondamentale hai



Quindi,



(Dopotutto, se ci fai caso, fai un salto in su quando passi per t=1 e un salto in giù quando passi per t=2.)
Di conseguenza, la derivata distribuzionale della tua funzione è

[rdv_90]

Originariamente inviato da Wilcomir

dì la verità, ti ci sei rotto le corna e non hai il coraggio di dirlo aggiungo che tale circonferenza ha equazione x² + y² = a² + b², se l'ellisse ha centro nell'origine e semiassi a e b. naturalmente questa equazione si desume dalla dimostrazione...

ciao!

http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/020ogg.htm

[Wilcomir]

Originariamente inviato da rdv_90

http://www.museo.unimo.it/Theatrum/macchine/020ogg.htm

sei un genietto, un caffè virtuale per te!

ciao!

[Lucuzzu]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Prendi T come la distribuzione associata alla funzione caratteristica dell'intervallo (1,2). Allora per ogni funzione fondamentale hai



Quindi,



(Dopotutto, se ci fai caso, fai un salto in su quando passi per t=1 e un salto in giù quando passi per t=2.)
Di conseguenza, la derivata distribuzionale della tua funzione è

ottimo. Sempre grande.
Ho sbagliato i coefficienti della Dirac non so per quale motivo.
Ma il risultato lo hai fatto te o tramite qualche software tipo maple o mathematica?
Se si: che comando hai usato?
Se no:

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucuzzu

il risultato lo hai fatto te o tramite qualche software tipo maple o mathematica?

A mano, in LaTeX che adopero ormai da una decina d'anni.
Se osservi i quote dei miei post vedi che c'è un link a un sito, seguìto da un'espressione LaTeX. Il sito genera una figura a partire dall'espressione.

[Lucuzzu]

Rieccomi
Ho un problema su questo esercizietto che recita:
dopo aver determinato il valore di su una circonferenza di centro l'origine e raggio 1, percorsa in senso antiorario (che quindi banalmente dovrebbe essere 2pi(I)), utilizzarlo per determinare il valore di

Non riesco proprio a pensare a nessuna sostituzione...in aula per alcuni ex faceva la sostituzione z= exp(ix) e veniva facile facile, ma qui?!

[Lucuzzu]

zio un aiutino!
grazie
ciao!

[Ziosilvio]

Credo si debba considerare un integrale di f(z)dz con z = cos x + i sin x.
Quale sia f(z), però, non mi viene in mente

[elect]

Salve a tutti

Avrei bisogno di un aiuto in "Fundament of mathematics", sostanzialmente matematica discreta

Più precisamente:



con

In classe però non abbiamo mai visto esempi dove compariva la



Perchè se così non fosse stato (cioè non avrei avuto la ) avrei fatto così



poi avrei applicato a

la condizione iniziale, cioè


Ed il gioco era fatto

come mi comporto però con la ?