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#1 |
Senior Member
Iscritto dal: Dec 2001
Città: Lecce
Messaggi: 3936
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Analisi Infinitesimi
visto che ci sono tanti ing in giro, magari qlc è così clemente da darmi una mano e risolvere questo limite..
Dire se la seguente funzione è un infinitesimo in x=0: (tan^3*sqrt(x)+sqrt(x^5))/( (e^x^2)-1+sqrt(sin(sqrt(x))) ) |
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#2 |
Senior Member
Iscritto dal: Feb 2004
Città: Molfetta (BA) Squadra:BARI
Messaggi: 1081
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risolvendo il limite per x-->0, ottieni appunto 0.
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#3 |
Bannato
Iscritto dal: Apr 2003
Città: Bari
Messaggi: 764
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mamma mia...
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#4 |
Senior Member
Iscritto dal: Apr 2002
Città: milano
Messaggi: 4274
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sì è 0, lo sai risolvere il limite?
tan^3(sqrt(x)) è asintotica a x^(3/2) (perchè sin(x) è asintotico a x) se x->0 e^(x^2)-1 è asintotico a x^2 perchè (a^x-1)/x con x->0 tende a ln(a). quindi (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^(2) + x^(1/4)) essendo il numeratore asintotico a x^(3/2) e il denominatore asintotico a x^(1/4) tende a 0 in quanto x^(3/2-1/4)= x^(5/4) ->0 spero di non aver scritto cazzate per la troppa birra bevuta ![]() comunque che venga zero l'ho controllato in partenza ![]()
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Non bisogna mai contraddire una donna. Basta aspettare, lo farà da sola ![]() La statistica è quella scienza che dice che se hai i piedi nel congelatore e la testa nel forno, mediamente stai bene ![]() Ultima modifica di ciriccio : 19-05-2004 alle 00:15. |
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#5 |
Senior Member
Iscritto dal: May 2001
Città: Polesine
Messaggi: 1236
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scusate l'OT ma ... devo dirlo
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#6 | |
Senior Member
Iscritto dal: Dec 2001
Città: Lecce
Messaggi: 3936
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Quote:
![]() ma nn ho ben capito come l'hai risolto, ti sei calcolato l'ordine che sapevo già,ma nn dovrei dimostrare che è n infinitesimo con x-->0 e che quindi il limite tende a 0? grazie ![]() |
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#7 |
Senior Member
Iscritto dal: Apr 2002
Città: milano
Messaggi: 4274
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sì, ma forse non ti è chiaro il concetto di asintoticità
![]() Il limite non è zero perchè sostituendo viene zero (infatti non viene zero me viene zero su zero che è una forma indeterminata ![]() ok, andiamo per gradi: cominciamo da tan^3(sqrt(x)). Tu sai che sin(x)/x ->1 se x->0 no? Beh, tanx = sinx/cosx moltiplico e divido per x e ottengo: (sinx/x) *(x/cosx) ok? ora sinx/x è 1 per il limite notevole che ti ho ricordato no? Quindi (sinx/x)*(x/cosx) -> 1*(x/cosx)->x no? ok solo che qui abbiamo tan(sqrt(x)) che a sua volta è elevata al cubo e succede esattamente lo stesso solo che invece di x hai sqrt(x).-Potevi anche avere pippo e se pippo->0 allora era lo stesso ![]() tan^3(sqrt(x)) per semplicità scomponilo in tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x))*tan(sqrt(x)) e moltipcila e dividi per sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt (x). Cosa ottieni? I coseni dei denominatori non si considerano perchè son tutti 1 (in quanto tan(sqrt(x) = sin(sqrt(x))/cos(sqrt(x)) e per x->0vien fuori che tan(sqrt(x))->sin(sqrt(x)) che come abbiam detto prima ->sqrt(x)). Ma qui ne abbiamo tre quindi il prodotto dei tre limiti viene sqrt(x)*sqrt(x)*sqrt(x)=x^(3/2). Chiaro adesso? Il secondo termine del numeratore è x^(5/2). Al denominatore si tratta sempre di capire a cosa è asintotico il termine qualora "ricordi" un limite notevole. Qui ci si ricorda che (a^x-1)/x->ln(a) se x->0 no? Qui la x è x^2 (nel senso che ci deve essere un pippo ->0 e che sia x o x^2 non cambia nulla) La a del limite è e nel nostro caso e viene che (e^(x^2)-1) moltiplicato e diviso per quello che manca affinchè diventi un limite notevole (cioè x^2) diventa ((e^(x^2)-1)*(x^2)/(x^2) -> ln(e) *(x^2) = 1*(x^2) = x^2 no? Ok quindi il primo termine del denominatore abbiamo visto che "è asintotico" cioè "tende" a x^2 (lo so che è sempre zero... ma questo serve per calcolare il limite in quanto è diverso dire che tende a zero invece che tende a x^2) Infine il secondo termine del denominatore è sqrt(sin(sqrt(x))) e torniamo al primo caso in quanto sin(sqrt(x)) -> sqrt(x) e quindi sqrt(sqrt(x)) = (x^1/4). ok? Quindi alla fine rimane da calcolare il limite di (x^(3/2) + x^(5/2)) / ((x^2) + x^(1/4)) ok? Ok allora al numeratore x^(3/2) non è confrontabile con x^(5/2) perchè quest'ultimo è molto più piccolo del primo e quindi abbiamo un'asintoticità -> x^(3/2) Al denominatore succede lo stesso per x^(1/4) rispetto a x^2 e quindi si arriva a calcolare lim x^(3/2) / x^(1/4) con x->0 che fa x^(5/4) ->0. Anche questa volta spero di non aver sparato ... perchè per scrivere tutto ci ho messo così tanto tempo che mi rompe troppo rileggere ![]() ciauz p.s. il teorema di de l'hopital è scomodo per via della mancanza di esponenti interi ma si poteva invece anche vedere così: metti in evidenza al numeratore x^(3/2) e al denominatore x^(1/4) e viene (x^(3/2) * (1+x)) / (x^(1/4) * (1 + x^(7/4)) che viene x^(3^2 - 1/4) * ((1+x) / (1+x^7/4)) e quindi x^(5/4) * 1 che ->0 in quanto numeratore e denominatore del secondo fattore tendono a 1 ![]()
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Non bisogna mai contraddire una donna. Basta aspettare, lo farà da sola ![]() La statistica è quella scienza che dice che se hai i piedi nel congelatore e la testa nel forno, mediamente stai bene ![]() Ultima modifica di ciriccio : 20-05-2004 alle 19:03. |
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