[Elettromagnetismo] Creiamo il "filo d'Arianna"! OK?

[Matrixbob]

Non mi è chiara la definizione di resistenza.

La strada che dice R = V / I mi pare troppo vincolata alla legge di OHM e specifica, mentre quella che fa riferimento alla resistività mi pareva quella corretta, ma poi nel calcolo della resistenza si fa ritorno alla formula R = V / I.

Qualcuno può illuminarmi?!

Sul Halliday non è spiegato benissimo, essendo un libro tecnico americano mi pare badare poco a questa definizione e la prende 1 po' supericialmente IMHO.

[pietro84]

Originariamente inviato da Matrixbob

Non mi è chiara la definizione di resistenza.

La strada che dice R = V / I mi pare troppo vincolata alla legge di OHM e specifica, mentre quella che fa riferimento alla resistività mi pareva quella corretta, ma poi nel calcolo della resistenza si fa ritorno alla formula R = V / I.

Qualcuno può illuminarmi?!

Sul Halliday non è spiegato benissimo, essendo un libro tecnico americano mi pare badare poco a questa definizione e la prende 1 po' supericialmente IMHO.

la resistenza elettrica è vincolata alla legge di ohm,la stessa resistività è una resistenza normalizzata.
ps:quella della resistività è la seconda legge di ohm. R=V/I è la prima legge di ohm

[Matrixbob]

Ho finito la << PRIMA PARTE >>,
che dite può andare?!

[Matrixbob]

<< INIZIO SECONDA PARTE >>

Il campo magnetico B lo si trova generato da magneti permanenti, meglio conosciuti come materiali ferromagnetici, e da fili percorsi da corrente.

Se spezzo 1 magnete permanente ottengo 2 magneti permanenti più piccoli e così via fino a livello atomico, ma finchè avrò correnti allora avrò B.
Il monopolo magnetico non esiste.
L'elemento base è il dipolo megnetico.

MAGNETOSTATICA: quando il B non cambia in funzione del tempo

RAGIONAMENTO DI SIMMETRIA INTUITIVA PER ANALOGIA COI FENOMENI DI TIPO ELETTRICO:
E è generato da q.
E esercita l'effetto Fe su q in moto od in quiete che siano.
B esercita l'effetto Fm su q in moto rispetto al sistema di riferimento solidale con B.

[Domanda]
Se B ha effetto su I allora I sono sorgenti di B?!

[Risposta]
Si, mentre la relazione tra E & q è del tipo:
q <-> E <-> q
Quella del magnetismo è:
I <-> B <-> I

Nel 1820 Hans scopre che 1 filo percorso da corrente si comporta come 1 magnete permanente.

Nel 1821 Ampere scopre che che fili percorsi da corrente interagiscono tra loro: stesso verso s'attraggono, verso opposto respingono.
L'esperimento evidenziò inoltre:
1] q in movimento son soggette a forze, avvertono B.
2] q in movimento generano B anch'esse.
3] q in quiete non son soggette a forze, non avvertono e non generano B.

FORZA MAGNETICA O FORZA DI LORENTZ COME EFFETTO DI "B" SU "q" IN MOTO
La Fm è l'effetto di B sulla q in moto.
Fm è sempre perpedicolare alla q in moto, ed una conseguenza a questa situazione sarà la traiettoria che acquisirà 1 q in moto dentro 1 B uniforme.
Fm è nulla nella direzione di B e massima perpendicolarmente a B.
Fm è direttamente proporzionale a q & v, se la q è ferma o nulla la Fm=0.
Il verso della Fm dipende dal segno della q.

Direzione e verso è dato dal prodotto vettoriale:
Fm = q*v vettor B,
mentre il modulo è ovviamente:
|Fm| = q*v*B*sen(teta), dove teta è l'angolo tra v & B.

CAMPO MAGNETICO "B":
B è 1 campo vettoriale, come lo era il campo elettrico E.
Vale a dire che B è 1 distribuzione di vettori; 1 per ogni punto del campo.

B è definito in funzione della forza magnetica Fm agente sulla carica q che si muove nel campo magnetico B con la velocità v.



Più specificatamente B è un campo di forze che associa ad ogni punto dello spazio una Fm direttamente proporzionale alla I & inversamente proporzionale al quadrato della distanza dalla I.



B è 1 campo solenoidale, NON è 1 campo conservativo
E invece è 1 campo conservativo e quindi gli si può attribuire 1 potenziale.

B cambia la direzione della velocità (mentre E ne cambiava il modulo) e questo indica 1 accelerazione centripeda.

U.M. DI "B": Tesla
Rifacendoci a
|Fm| = q*v*B*sen(teta)
possiamo ricavare algebricamente
|B| = Fm/(q*v*sen(teta))


[Tesla] = [N]/([C][m/s]), ma C/s=A allora
[Tesla] = [N]/([A]*[m])

1T = 10^4 Gauss


EFFETTO DELLA FORZA DI LORENTZ VISUALIZZATO NEL MOTO DI "q" IN "B" UNIFORME
Il lavoro compiuto dalla Fm durante lo spostamento della q a cui è applicata è nullo perchè:
dW = F scalar dr, ma
dr = v*dt, allora
dW = F scalar v*dt, ma il prodotto scalare di vettori perpendicolari è notoriamente nullo e quindi dW = 0.

Se (dW = 0) allora K della q non varia in modulo.

Stiamo praticamente considerando 1 MCU.

Considerando la II Legge di Newton per la dinamica (le forze causano accelerazioni)
F = m*a
ed integrando 2 volte si ottiene
q*v*B = (m*v^2)/R e con qualche passaggio algebrico R = (m*v)/(q*B)
che in poche parole significa "+ grosso è il campo magnetico B, + piccolo è il raggio di curvatura R".

Se la v della q non è perpedicolare o parallela a B, allora stiamo considerando 1 Moto Elicoidale (MCU+MRU).

EFFETTO DELLE FORZE MAGNETICHE SULLE CORRENTI ELETTRICHE: tutto nasce dal livello atomico
Considerando Fm = q*v vettor B e rifacendomi ad una singola forza fm1 applicata al singolo elettrone e1, ottengo fm1 = -e1*v vettor B.
Ora rifacendomi al concetto di "forza per unità di volume" o "densità di forza", e vale a dire Fvol = Ne*fm, scrivo:

fvol = -Ne*e*v vettor B, ma
-Ne*e = ro, ma
ro*v = J, quindi sostituendo a catena
fvol = J vettor B.

A questo punto consideriamo 1 pezzo di filo infinitesimo con volume dV = S*dl.

La forza elementare su questo infinitesimo pezzo di filo sarà:
dF = J vettor B*dV = J vettor B*S*dl, ma
J*dl = J*dl, quindi scrivo:
dF = J*S*dl vettor B, ma
J*S = I, quindi

dF = I*dl vettor B,
F = I * Integrale_di_linea(dl) vettor B,

quindi per 1 filo lineare lungo L il modulo della forza penso che sia
F = I*L*B*sen(teta)

FORZA TRA FILI RETTILINEI INDEFINITI PERCORSI DA I


Mi rifaccio a:
F = I * Integrale_di_linea(dl) vettor B,

quindi:
F2 = I2 * Integrale_di_linea(dl2) vettor B1.

Recupero quello che mi serve:
|dl2 vettor B1| = dl2*B1*sen(90) = dl2*B1.

B1 lo trovo usando la legge di Ampere:
B1 = mu0/(2*pg) * I1/r.

Concludo:
|F2| = I2 * Integrale_di_linea(dl2) * mu0/(2*pg) * I1/r.
|F2| = mu0/(2*pg) * (I1*I2*L2)/r.

REGOLA DELLA MANO DESTRA: determinare la direzione della Fm dovuta ad una carica positiva che si muove in un campo magnetico
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_della_mano_destra


CAMPO MAGNETICO PRODOTTO DA CORRENTI: legge di Biot-Savart
Per esempio prodotto da fili o spire.
Per calcolarlo si usa la legge di Biot-Savart:
http://en.wikipedia.org/wiki/Biot-Savart_law

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[NB]
I*dl è chimato in elettrotecnica "elemento di corrente".
(mu0)/(4*pg) è una "costante di proporzionalità".
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dB = [(mu0)/(4*pg)] * [(I*dl vettor r_versore)/r^2]

L'equazione di Biot-Savart può essere interpretata come affermazione che nel punto P il B prodotto dalla corrente è la somma di un grande numero di piccolissimi contributi elementari dB dovuti ad ognuno degli elementi di lunghezza dL componenti il circuito.

B = [(mu0)/(4*pg)] * Intergrale{ [(I*dl vettor r_versore)/r^2] }



Quindi nel caso di una spira circolare penso che il modulo sia
B = [(mu0*I)/(4*pg*raggio^2)] * (2*pg*raggio)
che semplificando algebricamente diventa
B = (mu0*I)/(2*raggio)

PERMEABILITA' MAGNETICA: nel vuoto mu0
Quantità fisica che esprime l'attitudine di una sostanza a lasciarsi magnetizzare.

mu0 = 4*pg*10^-7 = 12.5*10^-7 H/m.

PERMITTIVITA' ELETTRICA: nel vuoto e0
Quantità fisica che esprime quanto E influenza ed è influenzato da 1 mezzo dielettrico.
Il suo valore è determinato dalla abilità di un materiale di polarizzare in risposta al E ed esprime quindi quanto il materiale permette la trasmissione del E attraverso se stesso.

e0 = 8.8*10^-12 F/m.

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APPLICAZIONE METROLOGICA: metodo pratico x definire l'Ampere
PREMESSA
Forza per unità di lunghezza tra 2 fili = [Forza]/[Lunghezza] = (mu0/(2*pg)) * ((I1*I2)/d)
RAGIONAMENTO
Se ho 2 fili posti alla distanza di 1 Metro nei quali faccio correre 1 Ampere di corrente, allora [F]/[L] tra i 2 fili è esattamente 2*10^-7 Newton.
CONCLUSIONE
Si definisce l'Ampere attraverso la misura di forze magnetiche tra fili percorsi da correnti elettriche stazionarie.
Essendo queste forze tra correnti + facile da misurare rispetto alle forze elettriche tra cariche isolate, allora si usa questo risultato per definire il Coulomb come U.M. derivata, il tutto grazie alla famosa I = dq/dt.
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FLUSSO di B: quantità di linee di foza che attraversano la superficie S
Scomponendo la superficie in aree e riducendoci all'infinitesimo in modo da considerare queste aree piane con B costante in tutta l'area, definiamo il "flusso di B", chiamato fi:

fi = Integrale(B scalar dS), dove dS è un vettore areale la cui intensità è eguale ad una area.

fi di B è misurato in Weber = Tesla*m^2.

LEGGE DI GAUSS x il campo B.

fi = Integrale_sup_chiusa(B scalar dS) = 0

Il flusso di B attraverso 1 SUP chiusa è sempre nullo, conseguenza del fatto che le linee di forza questa volta sono linee chiuse: entrano tante linee quante quelle che escono.
Non esistono sorgenti e pozzi del campo.
Non esiste la carica magnetica libera (o monopolo magnetico).

LEGGE DI AMPERE: intro
In elettrostatica si utilizza la legge di Coulomb per calcolare il E generato da una distribuzione di cariche.

Ciò nonostante guardando le 4 equazioni di Maxwell si noterà che per rappresentare il campo elettrostatico non viene impiegata la legge di Coulomb, bensì quella di Gauss perchè equivalente in elettrostatica, ma di più facile impiego in circostanza di simmetria.
Inoltre più compatibile nella forma alle altre 3 equazioni dell'elettromagnetismo.

La situazione è analoga per la magnetostatica.

Si può calcolare il B generato da I con la legge di Biot-Savart (analoga alla legge di Coulomb), ma anch'essa non compare tra la 4 equazioni di Maxwell.
Al suo posto troviamo la legge di Ampere.

LEGGE DI AMPERE
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[NB]
Cb = circuitazione o circolazione di B.
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Cb = Integrale_linea_chiusa(B scalar dl) = mu0*I

La legge di Ampere mette in relazione la distribuzione del B nei punti della linea chiusa con la I che passa attraverso alla superficie delimitata dalla linea chiusa.

Osservazioni
Cb = 0 non significa necessariamente che B = 0 nel piano, ma è possibile che la somma algebrica delle I nella superficie scelta è 0.

LEGGE DI AMPERE: applicazione 1
Se voglio trovare il B generato da 1 filo rettilineo percorso da I prendo come linea chiusa 1 cerchio concentrico al filo.

Ricavo quello che mi serve:
Integrale_linea_chiusa(B scalar dl) = B * Integrale_linea_chiusa(dl) = B*(2*pg*r).

Applico il teorema di Ampere:
B*(2*pg*r) = mu0*I

Ottengo algebricamente:
B = (mu0*I) / (2*pg*r)

LEGGE DI AMPERE: applicazione 2
Il "solenoide" è 1 bobina di conduttore molto lunga, dove le linee di forza diventano quasi parallele al asse X.

Il solenoide produce 1 B quasi uniforme al interno, mentre 1 B quasi 0 al esterno.

Come linea chiusa scelgo 1 rettangolo a cavallo del solenoide.

Ricavo quello che mi serve sfruttando il fatto che l'integrale di linea del rettangolo = alla somma degli integrali di linea dei lati.

L'integrale di linea del lato esterno è = 0 perchè B = 0.
Gli integrali di linea dei lati a cavallo sono = 0 perchè entrambi i lati sono perpendicolari al B nel solenoide.
L'integrale di linea del lato interno è l'unico che contribuisce al calcolo del Cb.

Se il lato è lungo "a" allora ci si riduce con Cb = B*a.

Applico la legge di Ampere:
B*a = mu0*I*N,
dove N è il numero di spire
B = mu0*I*(N/a),
dove N/a=n è il numero di spire nel tratto a.
B = mu0*I*n.

LE 4 EQUAZIONI DI MAXWELL STATICHE
Quello che segue è 1 sistema molto complicato di equazioni differenziali alle derivate parziali risolvibile data 1 configurazione di q & I.

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ELETTROSTATICA
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[1] Legge di Gauss x E

div E = ro/e0
Significato fisico:
le sorgenti di E sono le cariche elettriche

[2] Legge di Faraday-Henry-Lenz

rot E = 0
Significato fisico:
E è conservativo ed ammette quindi 1 potenziale scalare.
-----
-----
MAGNETOSTATICA
-----
[3] Legge di Gauss x B

div B = 0
Significato fisico:
non esistono cariche magnetiche libere.

[4] Legge di Ampere-Maxwell

rot B = mu0*J
Significato fisico:
le sorgenti di B sono le I.
B non è conservativo, è solenoidale.
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<< FINE SECONDA PARTE >>

[Matrixbob]

[Domande poste a voi]

1]
Dato che posso magnetizzare 1 ago di ferro, allora posso magnetizzare qualsiasi metallo?!

2]
Se si, perchè posso orientare "qualcosa" al suo interno a livello atomico in 1 sola direzione?!

3]
Una volta creata 1 D.D.P. (con 1 batteria) in 1 circuito poi le cariche vanno forzatamente dal potenziale + altro al potenziale + basso e possono fare lavoro?! Perchè?!

[Matrixbob]

<< INIZIO TERZA PARTE >>

MAGNETODINAMICA: quando il B cambia in funzione del tempo

RAGIONAMENTO DI SIMMETRIA INTUITIVA PER ANALOGIA COI FENOMENI DI TIPO MAGNETOSTATICO:
Se pongo 1 spira conduttrice percorsa da I in 1 B statico allora compare 1 momento torcente che tende a far ruotare la spira.

[D]
Ma se pongo 1 spira conduttrice inerte in 1 B statico e faccio ruotare la spira applicandogli 1 momento torcente allora 1 I percorrerà la spira?!

[R]
Si, è il principio di funzionamento del generatore elettrico.

BASI SPERIMENTALI EMPIRICHE: alcuni esprimenti

Moto relativo tra 2 spire
Ho la spira primaria percorsa da I che genera quindi 1 B, ma quella secondaria è inerte.
Se si mette in moto relativo le 2 spire si potrà misurare anche nella spira secondaria il passaggio di 1 I indotta.

Moto relativo tra magnete permanente e spira
Se al posto della spira primaria ho 1 magnete permanente si verifica lo stesso effetto del esperimento precedente.

CONCLUSIONE SUGLI ESPERIMENTI
1 Forza Elettro Motrice (FEM) è indotta solo quando "qualcosa" sta cambiando.
La parola chiave è: variazione.

FORZA ELETTRO MOTRICE
La DDP tra 2 punti del circuito produce il fluire della I in esso

V = FI2-FI1 = Integrale_2_1(E scalar dl)

La DDP applicata al intero circuito, dal punto 1 al punto 1, è chiamata FEM e la indico col simbolo Ve

Ve = Integrale_linea_chiusa(E scalar dl)

Per campi "conservativi" & "statici" ho Ve=0.
Questo significa che 1 E statico non genera I nei circuiti chiusi, dove avrei quindi bisogno di 1 batteria per avere della FEM.
E' la DDP ai capi del generatore quando non è collegato ad 1 R.

CORRENTE I INDOTTA
Considerando R la resistenza della spira.

I = Ve/R = (1/R)*(dfi_B/dt).

VARIAZIONE DEL FLUSSO DI B: questo è importante
Ulteriori esperienze evidenziano che l'importante non è l'intensità di B vicino al circuito, ma bensì la variazione del flusso di B concatenato al circuito.

COME FACCIO A FAR VARIARE IL FLUSSO DI B ATTRAVERSO LA SPIRA?!
[1] Facendo variare I che fa variare B che fa variare fi_B.
[2] Mettendo in moto relativo sorgente di B e spira (chitarra elettrica).
[3] Cambiando l'angolo della spira (alternatore e generatore di corrente alternata).
[4] Deformando la spira.

LEGGE D'INDUZIONE MAGNETICA DI FARADAY-HENRY-LENZ
Se ho una variazione del fi_B nel tempo allora ho anche 1 Ve indotta nella spira.

Ve = - dfi_B/dt

Dove il segno "-" esprime matematicamente la legge di Lenz.

DA MAGNETISMO AD ELETTROMAGNETISMO
Si scavalca la soglia del MAGNETISMO e si può iniziare a parlare di ELETTROMAGNETISMO.

Ve = Integrale_linea_chiusa(E scalar dl) = - dfi_B/dt.

Questo indica che il campo E indoto non è più conservativo, vale a dire che in ogni regione dove ho variazioni di B(t) è presente un campo E non conservativo.

LEGGE DI LENZ
La I indotta genera a sua volta un B che si oppone alla variazione del fi_B che l'ha indotta.

Il significato fondamentale è che il B indotto è sempre opposto al B inducente, come se avesse lo scopo di frenare la variazione del fi_B per stabilizzare il fenomeno.

La legge di Lenz è conseguenza del principio di conservazione dell'energia.
Per estrarre 1 spira conduttrice chiusa da 1 B è necessario 1 W che viene convertito in energia termica del materiale costituente la spira.

Questa legge la si può dimostrare per assurdo arrivando in fine alla contraddizione che ottieni qualcosa dal niente.

APPLICAZIONE: ALTERNATORE COME OPPOSTO DEL MOTORE ELETTRICO
1 spira è fatta ruotare in 1 B uniforme da 1 momento torcente meccanico applicato ad essa.

Con
A = area spira,
w = velocità angolare costante,
teta = angolo tra vettore areale A e B
calcolo:

fi_B = A*B*cos(teta) = A*B*cos(w*t).

Ricavo:

Ve = - dfi_B/dt = A*B*w*sen(w*t),

che è appunto 1 FEM alternata, lo si nota dal fattore armonico sen.

INDUTTORE COME CONDENSATORE
L'induttore è l'elemento condutore in grado di produrre 1 B noto in 1 determinata regione di spazio.
Il condensatore fa lo stesso, ma con E al posto di B.

L'analogia è:
l'induttore sta al B
come
il condensatore sta al E

INDUTTANZA DEL INDUTTORE COME CAPACITA' DEL CONDENSATORE
Somministrando delle q sui piatti del condensatore si genera 1 DDP V tra di loro.

La capacità C sarà:
C = Q/V,
misurata in Farad = Coulomb/Volt.

Stabilendo una I nella spira del induttore si genera 1 flusso magnetico fi_B attraverso ad essa.

L'induttanza L sarà:
L = fi_B/I,
misurata in Henry = (T*m^2)/A.

AUTOINDUZIONE: introduzione
Per avere 1 FEM indotta nel circuito non è necessario 1 Bext.
Non è necessario perchè già la I nel circuito genera 1 proprio B.

Inoltre se il circuito è chiuso allora il B generato dalla I del circuito concorrerà a formare il fi_B concatenato al circuito.

Se I(t)
=allora=>
B(t)
=allora=>
fi_B(t)
=allora=>
scaturirà 1 FEM nel circuito.

Ho praticamente FEM & I indotta in 1 circuito dove I(t).

AUTOINDUZIONE: coefficente d'autoinduzione o autoinduttanza
Per la legge di Biot-Savart
B <proporzionale> i,

ma se
fi_B <prorporzionale> B,

allora per la proprietà transitiva
fi_B <proporzionale> i.

Concludo quindi che il flusso concatenato di 1 spira percorsa da corrente è:
fi_B = L*i.

L è il coefficente di autoinduzione o autoinduttanza.
L dipende dalla geometria e dal mezzo dove è immerso il circuito, proprio come il condensatore.

[NB]
Fin ora abbiamo visto:
Q <proporzionale> V.
V <proporzionale> I.
fi_B <proporzionale> i.

AUTOINDUZIONE: la legge di Farady-Henry-Lenz

Se fi_B = L*i
=allora=>
Ve = - d(L*i)/dt.

Se il circuito è fermo & indeformabile
=allora=>
L = costante
=allora=>
Ve = - L * (di/dt).

Questo significa che in 1 circuito dove I(t) si manifesta 1 Ve <proporzionale> L.

Il segno "-" esprime matematicamente la legge di Lenz.
Esprime 1 effetto ritardante dell'autoinduzione rispetto alla variazione di I principale.

AUTOINDUZIONE: conclusione
In definitiva si asserisce che la I(t) primaria instaura 1 FEM autoindotta Ve che fa fluire 1 I(t) secondaria opponente.

SOLENOIDE RETTILINEO INDEFINITO: autoinduttanza
S = superficie delle spire di 1 solenoide.
B = mu0*n*I, calcolato con la legge di Ampere.
n = N/l = fattore d'impacchettamento che è il numero di spire per unità di lunghezza.

Il flusso attraverso ad 1 spira del solenoide sarà:
fi_B_1 = S*B
sostituendo
fi_B_1 = S*mu0*n*I.

Il flusso attraverso tutto il solenoide sarà:
fi_B = N*S*mu0*n*I = S*mu0*n^2*l*I.

L'autoinduttanza del solenoide sarà:
L = fi_B/I,
L = S*mu0*n^2*l.

SOLENOIDE RETTILINEO INDEFINITO: energia magnetica
Energia associata macroscopicamente al B prodotto in prossimità di 1 circuito percorso da corrente.

Considerando i potenziali.
In 1 circuito ho:
Vtot = Vgen + Ve = R*I,
Vtot = Vgen - L*(di/dt) = R*I,
Vgen = L*(di/dt) + R*I.

Moltiplicando per I si passa alle potenze.
Vgen*I = L*I*(di/dt) + R*I^2.

Vgen*I:
è la potenza spesa dal generatore per far fluire I nel circuito.

R*I^2:
è la potenza di Joule spesa per vincere la resistenza a far fluire I attraverso il resistore.

L*I*(di/dt) = dUB/dt:
è la potenza spesa dal generatore per produrre nel tempo il B intorno al circuito.
Su questa potenza adesso ci concentriamo.

dUB = L*I*di
UB = 1/2*L*I^2. (Avevamo visto UE = 1/2*C*V^2.)

SOLENOIDE RETTILINEO INDEFINITO: densità d'energia magnetica
Se
L = S*mu0*n^2*l
allora
UB = 1/2*S*mu0*n^2*l*I^2,
ma S*l è il volume del segmento di solenoide che noi vogliamo considerare, quindi:

uB = densità d'energia magnetica = UB/(S*l).

Per arrivare in termini di campo B considero che
B = mu0*n*I
quindi sostituendo:
uB = (1/(2*mu0)) * B^2. (Avevamo visto uE = 1/2*e0*E^2.)

Misurata in Joule/m^3 = energia magnetica per unità di volume.

OSSERVAZIONE: anche con le energie ho similitudine tra induttore & condensatore
Dove ho 1 B ho anche 1 uB.
Evidentemente E & B sono campi di forze & di energie.

MUTUA INDUZIONE O INDUZIONE RECIPROCA
Se 2 spire sono vicine allora la variazione di I(t) di una delle due induce 1 FEM nell'altra e il viceversa.

fi_B_21 = flusso di B attraverso la spira 2 generato dalla spira 1 <proporzionale> a i1.
fi_B_12 = flusso di B attraverso la spira 1 generato dalla spira 2 <proporzionale> a i2.

Questa proporzionalità è data dal coefficente di mutua induzione M.

M = fi_B_21/i1 = fi_B_12/i2.

Le FEM indotte saranno rispettivamente:

Ve_2 = - M * (di1/dt).
Ve_1 = - M * (di2/dt).

MUTUA INDUZIONE: applicazione
Tecnologia applicata nei cercametalli.

INDUTTORI IN SERIE
L = L1 + L2 + ... + Ln
INDUTTORI IN PARALLELO
1/L = 1/L1 + 1/L2 + ... + 1/Ln

<< FINE TERZA PARTE >>

[Matrixbob]

<< INIZIO QUARTA PARTE >>

PROPRIETA' MAGNETICHE DELLA MATERIA
Riguardo alla risposta di 1 Bext la materia può essere classificata in 3 modi:

[1] Diomagnetica
Debolmente respinta da 1 polo magnetico, non ha dei prorpi dipoli magnetici atomici, ma sottoposta a Bext ne genera con verso opposto al Bext indebolendolo.

[2] Paramagnetica
Debolmente attratta da 1 polo magnetico, ha dei dipoli magnetici atomici che si allineano al Bext rinforzandolo.

[3] Ferromagnetica
Fortemente attratta da 1 polo magnetico, ha dei dipoli magnetici atomici congelati parallelamente dalle iterazioni dei propri atomi.
Il rafforzamento del Bext è il più notevole, rappresenta il fenomeno del magnetismo nel linguaggio corrente.

Si può magnetizzare come dimostra il ciclo di isteresi i materiali ferromagnetici sottoponendoli a Bext.
Quando il Bext scompare questi materiali mantengono memoria dell'allineamento dei dipoli magnetici atomici.
Questo allineamento può essere però intaccato dall'agitazione termica.

RAGIONAMENTO DI SIMMETRIA INTUITIVA PER ANALOGIA TRA INDUTTORE & CONDENSATORE
Se 1 induttore è simile ad 1 condensatore allora l'autoinduttanza varia come variava la capacità quando veniva immersa in 1 determinato materiale?!
La risposta è si.

MATERIA MAGNETICA COME DIELETTRICO
mu = mu0 * mur

[1] Diomagnetica
L<L0
mur<1

[2] Paramagnetica
L>L0
mur>1

[3] Ferromagnetica
L>>L0
mur>>1

<< FINE QUARTA PARTE >>

[Matrixbob]

<< INIZIO QUINTA PARTE >>

FORZA ELETTRO MOTRICE
E' il W di F non conservative sulle q che serve a mantenere 1 DDP ai capi di 1 circuito.

Ve = dW/dq.

GENERATORE DI FEM
Le batterie ad esempio sono generatori di FEM perchè danno U alle q per mezzo di F chimiche.

La FEM è la DDP ai capi di 1 generatore qualunque a vuoto (ovvero senza carico).

Se il generatore è ideale, la tensione a vuoto ed a carico non cambiano.
Se il generatore è reale, allora ha 1 resistenza interna e quindi la tensione in uscita varia in funzione del carico.

CONVENZIONI NEI CIRCUITI
La I in 1 circuito per convenzione fluisce dal + al -, ma nel generatore dal - al +.
Quindi:
FEM positiva se la I_int al generatore FEM fluisce come I_ext.
FEM negativa se la I_int al generatore FEM fluisce inversamente alla I_ext.
-R*I se la resistenza la incontro nel senso di percorrenza della I.

CIRCUITI A PARAMETRI CONCENTRATI
Questi circuiti trattano di grandezze elettriche dipendenti unicamente dal tempo.
Possono essere studiati senza le equazioni di Maxwell, ma con le più semplici leggi di Kirchoff.

PRIMA LEGGE DEI NODI DI KIRCHOFF o LKI
La somma algebrica delle correnti (entranti ed uscenti) in un nodo è nulla.

SUM(Ii) = 0.

Conseguenza del principio di conservazione della carica.

SECONDA LEGGE DELLE MAGLIE DI KIRCHOFF o LKV
La somma algebrica delle DDP rilevate sulla maglia durante 1 giro è nulla.

SUM(Vi) = 0.

Conseguenza del principio di conservazione dell'energia.

CIRCUITI CON CORRENTI LENTAMENTE VARIABILI
L'analisi del circuito la faccio estendendo i principi di Kirchoff con l'inclusione delle FEM indotte.

CIRCUITI RC
Circuito in cui ho switch, R e C in serie.
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[LEGENDA]
-----
q_equi = C*Ve = carica d'equilibrio del condensatore carico.
tao_C = R*C = costante di tempo capacitiva del circuito.
i0 = Ve/R = corrente al momento iniziale cortocircuitazione.
-----

Quando l'interruttore collega il generatore di FEM il C si carica attraverso R.

L'equazione del circuito è:

Ve - i*R - q/C = 0,

ma dato che
i = dq/dt
ottengo l'equazione differenziale:

Ve = R * (dq/dt) + q/C,

la cui soluzione è:

q = q_equi * (1 - e^[-t/tao_C]),
i = i0 * e^[-t/tao_C].




Quando l'interruttore cortocircuita il circuito, il C si scarica su R.

q = q_equi * e^[-t/tao_C],
i = -i0 * e^[-t/tao_C].




CIRCUITI RL
Circuito in cui ho switch, R e L in serie.
-----
[LEGENDA]
-----
i_equi = Ve/R = i_indotta d'equilibrio del induttore.
tao_L = L/R = costante di tempo induttiva del circuito.
i0 = Ve/R = corrente al momento iniziale cortocircuitazione.
-----

Quando l'interruttore collega il generatore di FEM la i indotta cresce in L.

L'equazione del circuito è:

Ve - i*R - L*(di/dt) = 0
Ve = i*R + L*(di/dt)

la cui soluzione è:

i = i_equi * (1 - e^[-t/tao_L]).



Quando l'interruttore cortocircuita il circuito, la i indotta decresce in L.

i = i0 * e^[-t/tao_L].



OSCILLATORE EM o CIRCUITO LC
Circuito in cui ho L e C in serie.
-----
[LEGENDA]
-----
omega = 1/radice(L*C) = pulsazione delle oscillazioni EM o pulsazione propria del cricuito.
Q = ampiezza delle variazioni di carica.
-----

In questo tipo di circuito l'energia oscilla avanti ed indietro tra il E del condensatore ed il B del induttore, con le rispettive intensità:

Ec = 1/2*C*V^2 = 1/2*C*q^2.
El = 1/2*L*i^2.

Rimane comunque costante l'energia totale del circuito:

E = Ec + El.

L'equazione del circuito è:

-L*di/dt - q/C = 0,

che diventa l'equazione differenziale di II grado

d^2q/dt^2 + omega^2 *q,

la cui soluzione è:

q = Q*cos(omega*t + fase),
i = dq/dt = -omega*Q*sin(omega*t + fase).

OSCILLAZIONI EM SMORZANTE in CIRCUITO RLC
Circuito in cui ho R, L e C in serie.
In questo caso l'elemento dissipativo R fa diminuire continuamente l'energia elettromagnetica totale del circuito.
L'energia eletromagnetica viene trasformata in energia termica dalla dissipazione nella R.

L'equazione del circuito è:

L*di/dt + R*i + q/C = 0,

che diventa l'equazione differenziale di II grado:

L*(d^2q/dt^2) + R*(dq/dt) + q/C = 0,

la cui soluzione è:

q = Q*e^[-(R*t)/(2*L)] * cos(omega1*t + fase),

dove

omega1 = radice(omega^2 - (R/(2*L))^2).
omega1 < omega.



OSCILLAZIONI EM FORZATE in CIRCUITO RLC
iL circuito RLC può essere messo in oscillazione forzata se gli si collega 1 generatore di FEM alternata.

Rinominiamo:
omega = 1/radice(L*C) = pulsazione propria del cricuito = omega0.

Definiamo la FEM applicata dal generatore al circuito:

Ve = Ve_max * cos(omega*t),

dove omega ora è la pulsazione caratteristica del generatore di FEM alternata.

Evidenziamo:
indipendentemente dalla omega0 le oscillazioni a cui è soggetto il circuito ora sono dipendenti da omega.

Ve = Ve_max * cos(omega*t)
=causa=>
i = I * cos(omega*t + fase),

dove I è l'ampiezza massima della i.

I è massima quando vale la condizione di risonanza:
omega = omega0.

Questo evento avviene quando con l'autoradio ci sintonizziamo su 1 stazione radio. Muovendo il sintonizzatore si corregge la pulsazione propria del circuito, mediante la variazione di L & C, per renderla = alla pulsazione caratteristica del segnale trasmesso dalla stazione radio.

CORRENTE ALTERNATA (AC)
Sono correnti la cui intensità cambia verso 100 volte al secondo.
In questo modo 1 elettrone flusice avanti ed indietro attraverso a pochi atomi.
Infatti non è importante il dove vada l'elettrone, l'importante è che si muova fornendo così energia ai dispositivi elettrici.

L'AC è vantaggiosa in quanto può rendere pratico l'utilizzo dela legge di Faraday-Henry-Lenz, come ad esempio col trasformatore.

Se ad 1 circuito si applica 1 generatore di FEM alternata

Ve = Ve_max * cos(omega*t),

si stabilisce nel circuito 1 AC

i = I * cos(omega*t + fase).

AC: circuito resistivo
Circuito in cui ho G_FEM_A e R in serie.

Pongo:
vr = R*ir.
Ir = Ve_max/R.
Ve_max_r = Ve_max.

L'equazione del circuito è:

Ve - vr = 0,
Ve_max * cos(omega*t) - vr = 0,
vr = Ve_max * cos(omega*t).
ir = Ir * cos(omega*t).

Il significato fisico è che la corrente ir & Ve sono in fase tra loro.

Vale la relazione:
Ve_max_r = Ir*R.

AC: circuito capacitivo
Circuito in cui ho G_FEM_A e C in serie.

Pongo:
vc = q/C.
Ic = Ve_max/Xc.
Ve_max_c = Ve_max.

L'equazione del circuito è:

Ve - vc = 0,
Ve_max * cos(omega*t) - vc = 0,
q = C*Ve_max * cos(omega*t).

ic = dq/dt = -omega*C*Ve_max*sen(omega*t),

ma datto che
cos(alfa + pg/2) = -sen(alfa)
allora

ic = omega*C*Ve_max*cos(omega*t + pg/2).

Chiamando "reattanza capacitiva" (misurata in Ohm)

Xc = 1/(omega*C)

allora

ic = Ic*cos(omega*t + pg/2).

Il significato fisico è che la corrente è sfasata in anticipo di 90° rispetto a Ve.

Vale la realazione:
Ve_max_c = Ic*Xc.

AC: circuito induttivo
Circuito in cui ho G_FEM_A e L in serie.

Pongo:
vl = L(di/dt).
Il = Ve_max/Xl.
Ve_max_l = Ve_max.

L'equazione del circuito è:

Ve - vl = 0,
Ve_max * cos(omega*t) - L(di/dt) = 0.

Ora isolo di/dt

di/dt = Ve_max/L * cos(omega*t).

Integro nel tempo per trovare la i

il = Integrale[Ve_max/L * cos(omega*t) dt],
il = Ve_max/(omega*L) * sen(omega*t),

ma datto che
cos(alfa - pg/2) = sen(alfa)
allora

il = Ve_max/(omega*L) *cos(omega*t - pg/2).

Chiamando "reattanza induttiva" (misurata in Ohm)

Xl = omega*L

allora

il = Il*cos(omega*t - pg/2).

Il significato fisico è che la corrente è sfasata in ritardo di 90° rispetto a Ve.

Vale la relazione:
Ve_max_l = Il*Xl.

REATTANZE: esame dimensionale
Reattanza capacitiva = Xc = 1/(omega*C)
Se
A = C/s; C = A*s; V = J/C; F = C/V; Ohm = V/A;
allora
[Xc] = 1/[(RAD/s) * (C/V)] = (s*V)/C = (s*V)/(A*s) = V/A = Ohm.

Reattanza induttiva = Xl = omega*L
Se
T = N/(A*m) ; H = (T*m^2)/A; J = N*m = V*A*s;
allora
[omega] = 1/s.
[L] = (T*m^2)/A = (N*m^2)/(m*A^2) = (N*m)/A^2 = J/A^2 = (V*A*s)/A^2 = (V*s)/A.
[omega*L] = [(V*s)/A] * 1/s = V/A = Ohm.

AC: circuito RLC
Circuito in cui ho G_FEM_A, R, L e C in serie.

Lo scopo:
trovare l'ampiezza I della i,
trovare la costante di fase.

L'equazione del circuito è:

Ve = R*i + L*(dq/dt) + q/C

che diventa l'equazione differenziale:

L(d^2i/dt^2) + R*(di/dt) + i/C = -omega*Ve_max*sen(omega*t).

Utilizzando la regola che:
la somma delle proiezioni di 1 sistema di vettori su 1 asse dato è = alla proiezione su quell'asse della somma vettoriale di quei vettori.

Si arriva a

I = Ve_max/Z,

dove Z è l'impedenza e vale

Z = Radice(R^2 + (Xl-Xc)^2).

La costante di fase la si può invece ricavare come arcotangente da

tan(fase) = (Xl-Xc)/R.

AC: casi particolari
Da vedersele da soli le varie combinazioni possibili.

AC: condizione di risonanza
Quando Xc = Xl ho il picco della ampiezza I della corrente i.
I = Ve_max/R.
Fase = 0.

AC: la potenza nei circuiti RLC
La sorgente d'energia è il generatore di FEM alternata.
Dell'energia che esso produce parte è nel E del concensatore, parte nel B del induttore e parte è dissipata dal resistore.
L'energia immagazzinata da C & L resta costante, quindi il suo trasferimento netto avviene solo dal generatore al resistore dove avviene la conversione da forma EM a forma termica.

Potenza istantanea alla resistenza: istante * istante.
p_r(t) = R*i^2 = R*I^2*cos^2(omega*t + fase).

Potenza istantanea del generatore: istante * istante.
p_g(t) = Ve*i = Ve_max*I*cos^2(omega*t)*cos(fase).

Potenza media fornita dal generatore.
Appllico il teorema del valore medio alla p_g(t).
P = <p_g(t)> = 1/2*Ve_max*I*cos(fase).

COME TRASFERIRE L'ENERGIA
Se in circuiti a AC ho 1 carico resistivo, allora la potenza media dissipata sarà:
P_media = Ve*i.

Questo significa che ho infinite combinazioni di valori per V & i utili a raggiungre la potenza media voluta.

Questo è anche il motivo per cui la trasmissione d'energia elettrica dal produttore al consumatore avviene con DDP alte & i basse.
Proprio per evitare le "perdite ohmiche":
P_media = R*i^2.

TRASFORMATORE (ideale)
Dispositivo che mantiene la potenza media costante, ma:
Aumenta la DDP e diminuisce la AC prima del trasferimento dell'energia.
Diminuisce la DDP ed aumenta la AC dopo il trasferimento dell'energia.

Usa la legge di Faraday-Henry-Lenz nella mutua induzione tra 2 circuiti vicini.

Circuito1 = generatore FEM alternata + induttore con N1 spire.
Circuito2 = induttore con N2 spire.

Ve1 = Ve_max1*cos(omega*t).

L'equazione del circuito1 è:

Ve_max1*cos(omega*t) - L1*(di/dt) = 0,
di/dt = (Ve_max1/L1) * cos(omega*t),

Ve2 = -M*(di/dt) = -M*(Ve_max1/L1)*cos(omega*t).

Avvalendomi dello strumento matematico "valore efficace" (radice quadrata del valore quadratico medio):

Ve1_eff = Ve_max1/radice(2);
Ve2_eff = (Ve_max1/L1) * [M/radice(2)];

Ve2_eff/Ve1_eff = M/L1.

I flussi concatenati al circuito1:
N1*fi_B(11) = L1*i1,
N2*fi_B(12) = M*i2.

I flussi concatenati al circuito2:
N1*fi_B(21) = L2*i2,
N2*fi_B(22) = M*i1.

Ma:
fi_B(11) = fi_B(12),
fi_B(22) = fi_B(21).

Facendo qualche conto algebrico con quanto riportato sopra trovo:
M/L1 = N2/N1.

Importantissimo per noi dato che avevamo già trovato:
Ve2_eff/Ve1_eff = M/L1,

e quindi
Ve2_eff/Ve1_eff = N2/N1,

dove N2/N1 è il rapporto di trasformazione.

<< FINE QUINTA PARTE >>

[Matrixbob]

<< INIZIO SESTA ED ULTIMA PARTE >>

LEGGE DI AMPERE-MAXWELL: Maxwell corregge Ampere
Mentre la legge di Faraday-Henry-Lenz è valida sempre, anche senza circuiti massivi, la legge di Ampere no!

Perchè?
Perchè in situazione dinamica (dipendenza dal tempo) la legge di Ampere non è più corretta.
Famoso è l'esempio del circuito con condensatore e le 2 superfici arbitrarie identificabili nel coperchio di 1 lattina ed il resto della lattina.
L'applicazione della legge di Ampere alle 2 superfici arbitrarie delimitate dalla stessa linea chiusa porta a 2 risultati differenti.

Maxwell, lavorando sul principio della conservazione della carica, correse per il caso dinamico la legge di Ampere introducendo il nuovo termine "corrente di spostamento" Is.

Is = mu0*e0*(dfi_E/dt) = mu0*e0*d[Integrale_sup_chiusa(E scalar dS)]/dt.

La legge d'Ampere statica diventa la legge d'Ampere-Maxwell diamica:

Cb = Integrale_linea_chiusa(B scalar dl) = mu0*i + mu0*e0*(dfi_E/dt).

Cioè B è generato da I, ma anche da E(t).

In forma differenziale (punto x punto):

rot B = mu0*J + mu0*e0*dpE/dt.

Cioè le sorgenti di B non sono solo i, ma anche variazioni di E nello spazio.

Ora la simmetria è perfetta.
Ora si può parlare di campo elettromagnetico.
In tutti i punti dello spazio dove ho E(t) implica che ho B(t).
Vale anche il viceversa.

LE 4 EQUAZIONI DI MAXWELL DINAMICHE
Servono a correlare esperienze appartenenti ad aree della fisica e a predire nuovi risultati.

[1] fi_E = q/e0.
[2] fi_B = 0.
[3] Ce = -dfi_B/dt.
[4] Cb = mu0*i + mu0*e0*(dfi_E/dt).

[1] Integrale_sup_chiusa(E scalar dS) = q/e0.
[2] Integrale_sup_chiusa(B scalar dS) = 0.
[3] Integrale_linea_chiusa(E scalar dl) = -d[Integrale_sup_chiusa(B scalar dS)]/dt.
[4] Integrale_linea_chiusa(B scalar dl) = mu0*i + mu0*e0*(d[Integrale_sup_chiusa(E scalar dS)]/dt).

Significato fisico:

[1]
Le sorgenti di E sono le cariche elettriche.
Le linee di forza sono aperte.

[2]
Non esistono le cariche magnetiche.
Le linee di forza sono chiuse.

[3]
Variazioni di B sono sorgenti di E non più conservativi.

[4]
Variazioni di E sono sorgenti di B, ma anche le I sono sorgenti di B.
B è 1 campo non conservativo, ma sinusoidale.
B era non conservativo già nel 4 equazioni statiche di Maxwell.

In forma differenziale diventano:

[1] div E = ro/e0.
[2] div B = 0.
[3] rot E = -d_parz B/dt.
[4] rot B = mu0*J + mu0*e0*(d_parz E/dt).

-----
[NB]
-----
[3] & [4] mi dicono che non si sta parando più di E(t) o B(t), ma si sta parlando di campi elettromagnetici(t).
-----

http://it.wikipedia.org/wiki/Nabla
http://it.wikipedia.org/wiki/Divergenza
http://it.wikipedia.org/wiki/Rotore_%28fisica%29
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Stokes

E qui è uniforme, radiale e conservativo?!


Essendo diventato E circolare e rotazionale allora non è + conservativo?!


<< FINE SESTA ED ULTIMA PARTE >>

[Lucrezio]

Ora mancano solo le onde elettromagnetiche (e magari l'irraggiamento)!
Se vuoi... provvedo!

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ora mancano solo le onde elettromagnetiche (e magari l'irraggiamento)!
Se vuoi... provvedo!

Percarità! Ho già dato in fisica ottica e generale! Sono aposto così.

CMQ c'è già 1 specie di 3D che ho anche riportato all'inizio che parla di onde EM.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob

Percarità! Ho già dato in fisica ottica e generale! Sono aposto così.

CMQ c'è già 1 specie di 3D che ho anche riportato all'inizio che parla di onde EM.

Beh dai le equazioni d'onda non sono poi così terribili... nabla a parte!

[d@vid]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ora mancano solo le onde elettromagnetiche (e magari l'irraggiamento)!
Se vuoi... provvedo!

/ot ma a chimica si studia proprio così bene l'elettromagnetismo (intendo anche dal punto di vista matematico, mi ricordo che in un post hai introdotto addirittura le funzioni di Green per definire il potenziale ) ? a che anno sei?

[Lucrezio]

Ho appena finito il secondo...
In realtà non è proprio a chimica che si studia così... ma è un segreto terribile di cui mi vergogno (ovvero: se vuoi info pvt!)!

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ho appena finito il secondo...
In realtà non è proprio a chimica che si studia così... ma è un segreto terribile di cui mi vergogno (ovvero: se vuoi info pvt!)!

Quando è morto Maxwell è nato Eistein, quando è morto Eistein è nato Lucrezio!

[d@vid]

Originariamente inviato da Matrixbob

Quando è morto Maxwell è nato Eistein, quando è morto Eistein è nato Lucrezio!

hmmm... può essere un'ipotesi...
però dovrebbe avere almeno una sessantina d'anni invece credo sia più giovane di me

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob

Quando è morto Maxwell è nato Eistein, quando è morto Eistein è nato Lucrezio!

...
Comunque è Ei*n*stein...
In realtà è tutto fumo e niente arrosto
E' solo che l'elettrodinamica mi piace molto

[Matrixbob]

Ancora 1 up x chiedervi di spendere 1 po' del vostro tempo x correggere il 3D in questione, grazie.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob

Ancora 1 up x chiedervi di spendere 1 po' del vostro tempo x correggere il 3D in questione, grazie.

A me sembra che vada bene!
Semmai ci potrebbe stare qualche approfondimento... tipo qualcuno dei miei sparso qua e là in vari thread... se ti va quotali e riportali qui!

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio

A me sembra che vada bene!
Semmai ci potrebbe stare qualche approfondimento... tipo qualcuno dei miei sparso qua e là in vari thread... se ti va quotali e riportali qui!

Fai che fare tu 1 post qui coi link ai titoli dei tuoi 3D, poi vedo io dove piazzarli.

Tanto x non macinare byte inutilmente.