Equazioni di maxwell:16 incognite 16 equazioni?

[Bandit]

Consideando che un vettore è formato da 3 elementi ed ogni elemento da 4 parti(x,y,z,t)
e considerando anche che le prime 2 equazioni di maxwell sono vettoriali e ci danno 6 equazioni scalari, mentre le altre 2 equazioni di maxwell sono scalari siamo ad otto quazioni, però dato che l'ultima deriva dalla prima ottengo 7 equazioni.

Come arrivo a 16 incognite e 16 equazioni?

per avere le altre incognite uso le relazioni costitutive, cioè considero il mezzo di propagazione, ma come arrivo a 16?

ciao

[gtr84]

Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?

La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni

la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.

In totale 8 equazioni

[Bandit]

Originariamente inviato da gtr84

Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?

La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni

la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.

In totale 8 equazioni

come prima cosa da aggiunere è che ci vogliono i mezzi di propagazone da considerare,che sono 9. non sono 8,ma 7 poichè una legge è ricavabile da un'altra .----> quindi per le equazioni ci siamo, ma per le incognite?

[Lucrezio]

Iniziamo a scrivere le equazioni (intanto nel vuoto!)




Si tratta di 4 equazioni vettoriali (tutte e quattro! perché la 1 e la 3 dovrebbero essere scalari?); le incognite sono due funzioni, E(r,t) e B(r,t).
Quello che serve avere sono le condizioni al bordo: solo così la soluzione può essere unica (sotto certe ipotesi...).
Per esempio, nel caso elettrostatico che è il più semplice, è necessario conoscere il potenziale o la derivata normale del potenziale sul bordo del sistema per avere assicurata l'unicità. Quella che va risolta è l'equazione di poisson:

Utilizzando un po' di identità vettoriali ed introducendo le funzioni di Green (non voglio dilungarmi perché si va un po' sul complicato... ma se vi interessa cerco di ricordarmi la dimostrazione! comunque la funzione di green è una funzione che descrive la geometria del sistema...):

Dove r' è la variabile di integrazione, l'integrale di volume è su tutto il dominio e gli integrali di superficie sono sulla superficie chiusa che delimita il dominio.
Le condizioni al bordo che si possono assegnare sono la derivata normale del potenziale su S (primo integrale di superficie) o il potenziale su S (secondo integrale di superficie.
Vanno adesso assegnate delle condizioni sulle funzioni di Green che permettano di lavorare con un'unica condizione al bordo (altrimenti il problema è sovradeterminato e quindi non ha soluzione).
Nel primo caso (problema di Von Neumann) si impone che la derivata normale della funzione di Green sulla superficie sia una costante:

Nel secondo caso (problema di Dirichlet) si pone G(r,r') = 0 sulla superficie, quindi:

In entrambi i casi la soluzione è univocamente determinata.
Bel casino...

[Bandit]

Ciao Lucrezio, grazie della risposta, ma mi sorge un "quindi"?

ciao

[pietro84]

Originariamente inviato da Lucrezio

Iniziamo a scrivere le equazioni (intanto nel vuoto!)




Si tratta di 4 equazioni vettoriali (tutte e quattro! perché la 1 e la 3 dovrebbero essere scalari?); le incognite sono due funzioni, E(r,t) e B(r,t).
Quello che serve avere sono le condizioni al bordo: solo così la soluzione può essere unica (sotto certe ipotesi...).
Per esempio, nel caso elettrostatico che è il più semplice, è necessario conoscere il potenziale o la derivata normale del potenziale sul bordo del sistema per avere assicurata l'unicità. Quella che va risolta è l'equazione di poisson:

Utilizzando un po' di identità vettoriali ed introducendo le funzioni di Green (non voglio dilungarmi perché si va un po' sul complicato... ma se vi interessa cerco di ricordarmi la dimostrazione! comunque la funzione di green è una funzione che descrive la geometria del sistema...):

Dove r' è la variabile di integrazione, l'integrale di volume è su tutto il dominio e gli integrali di superficie sono sulla superficie chiusa che delimita il dominio.
Le condizioni al bordo che si possono assegnare sono la derivata normale del potenziale su S (primo integrale di superficie) o il potenziale su S (secondo integrale di superficie.
Vanno adesso assegnate delle condizioni sulle funzioni di Green che permettano di lavorare con un'unica condizione al bordo (altrimenti il problema è sovradeterminato e quindi non ha soluzione).
Nel primo caso (problema di Von Neumann) si impone che la derivata normale della funzione di Green sulla superficie sia una costante:

Nel secondo caso (problema di Dirichlet) si pone G(r,r') = 0 sulla superficie, quindi:

In entrambi i casi la soluzione è univocamente determinata.
Bel casino...

il rotore di un vettore è un vettore, mentre la divergenza di un vettore è uno scalare.
perciò gtr84 dice che ci sono due equaz scalari e due vettoriali.

[pietro84]

Originariamente inviato da gtr84

Ma perchè devi ottenere 16 equazioni?

La I e la III sono scalari, quindi 2 equazioni

la II e la IV sono relazioni vettoriali, ognuna delle quali
può essere proiettara sui rispettivi assi cartesiani dando
3 equazioni scalari ciascuna.

In totale 8 equazioni

ci sono anche le relazioni costitutive, cioè le ralazioni che legano il campo
B al campo H e il campo D al campo E.
dipendono dal mezzo in cui il campo si propaga. bisognerebbe chiedere a un ing elettronico,non essendo la mia spec(sono informatico) io non ricordo bene . nel vuoto si ha B=m0*H e D=e0*E


ps: i fisici di solito usano solo i campi B e E, gli ingegneri elettronici fanno uso anche dei campi D e H perchè hanno a che fare anche con mezzi non omogenei e isotropi

[Bandit]

ciao pietro

ci siamo, ma per le incognite?

[pietro84]

Originariamente inviato da Bandit

ciao pietro

ci siamo, ma per le incognite?

visto che ho fatto tempo fa l'esame di campi e non ho più ripreso questi concetti non ricordo bene quante sono le incognite nel caso più generale.
sei sicuro che sono 16?

queste sono equazioni funzionali e le funzioni che devi calcolare sono queste:

E(x,t)
E(y,t)
E(z,t)
B(x,t)
B(y,t)
B(z,t)
D(x,t)
D(y,t)
D(z,t)
H(x,t)
H(y,t)
H(z,t)

sono dodici le incognite mi sembra. però per essene sicuro dovrei rivedere gli appunti di campi e ora non ho tempo

[Topomoto]

Originariamente inviato da pietro84

visto che ho fatto tempo fa l'esame di campi e non ho più ripreso questi concetti non ricordo bene quante sono le incognite nel caso più generale.
sei sicuro che sono 16?

queste sono equazioni funzionali e le funzioni che devi calcolare sono queste:

E(x,t)
E(y,t)
E(z,t)
B(x,t)
B(y,t)
B(z,t)
D(x,t)
D(y,t)
D(z,t)
H(x,t)
H(y,t)
H(z,t)

sono dodici le incognite mi sembra. però per essene sicuro dovrei rivedere gli appunti di campi e ora non ho tempo

Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.

[pietro84]

Originariamente inviato da Topomoto

Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.

quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...
se aggiungiamo lo scalare ro arriviamo a 16.......

[Bandit]

Originariamente inviato da pietro84

quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...
se aggiungiamo lo scalare ro arriviamo a 16.......

questo che hai aggiunto dove le vedo le 3 incognite?xyz?quale è poi lo scalare?

[Topomoto]

Originariamente inviato da Bandit

questo che hai aggiunto dove le vedo le 3 incognite?xyz?quale è poi lo scalare?

C'è scritto qual'è lo scalare, "ro".
La prima daomanda sinceramente non la capisco

[Bandit]

Originariamente inviato da pietro84

quindi aggiungiamo J(x,y,z,t)
e sono altre 3 incognite
siamo a 15...

qui quali sono le incognite di J(x,y,z,t) ?


che scalare "rho"?cosa si intende per scalare "rho"? la densità?

[dupa]

Originariamente inviato da Topomoto

Se non ricordo male ci dovrebbe essere anche la densità di corrente tra le incognite.

e la densità di carica dove la lasciate?

[Topomoto]

Originariamente inviato da dupa

e la densità di carica dove la lasciate?

Dove la lasci tu, visto che è stata già aggiunta

[dupa]

Originariamente inviato da Topomoto

Dove la lasci tu, visto che è stata già aggiunta

poverina, se si chiama densità di carica, chiamatela come si merita

[dupa]

Comunque non vorrei dire bestialità ma mi pare che densità di carica e di corrente siano "dati" del problema, e non delle incognite.

[Topomoto]

Originariamente inviato da dupa

Comunque non vorrei dire bestialità ma mi pare che densità di carica e di corrente siano "dati" del problema, e non delle incognite.

La densità di carica dovrebbe essere un dato del problema, mentre per la densità di corrente è un po' diverso (vado a memoria, alta possibilità di cazzate ) : è la somma di 2 contributi, uno dovuto al campo e l'altro ai generatori....e credo sia conosciuto solo quello relativo ai generatori

[pietro84]

Originariamente inviato da Bandit

qui quali sono le incognite di J(x,y,z,t) ?

sono le proiezioni sui tre assi:

J(x,t)
J(y,t)
J(z,t)