[Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui!

[neliam]

Ciao a tutti

Ho un problema teorico di matematica per un esame universitario. Premetto che studio chimica quindi la mia base di matematica è analisi I e II.

La domanda riguarda le funzioni olomorfe o analitiche.

1) Una funzione analitica è infinitamente derivabile in ogni punto dello spazio in cui è definita?

2) Come mai una funzione F:R^2 ----> C non è possibile definirla come analitica mentre una F:C ---> R si?

3) Con la notazione F:R ---> C si intende: una funzione che agendo su un campo R restituisce valori in C?

Riguardo al punto 2 i dubbi sorgono da un appunto che ho, probabilmente scritto di fretta, in cui c'è scritto: sulla base del limite del rapporto incrementale quando calcolo f ' (x,y) non ha senso dividire il numeratore complesso per un vettore

Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da 85francy85

Sei moderatore di sezione e quindi la tua voce è verbo ma questo è un 3d di analisi e matematica come dice il titolo e come dice l'OP.
Il quesito non chiedeva di risolvere una questione che richiede concetti matematici ma che richiede concetti definiti in un corso di fisica. Altrimenti è lecito parlare di qualsiasi cosa in questo topic basta che ci sia un 2+2 .

Come già detto poc'anzi, vanno bene anche le applicazioni della matematica.
Tra l'altro, storicamente mi sembra di ricordare che in questa discussione si siano trattati anche problemi di fisica teorica, ad esempio di elettromagnetismo. Non vede quindi perché escludere la meccanica.

A proposito, questo è l'OP:

Originariamente inviato da Lucrezio

Thread generalizzato ed unificato per le richieste d'aiuto inerenti la matematica. Esercizi, teoremi, formule, dimostrazioni... chi più ne ha più ne metta!
Dato che buona parte dei post saranno a base di formule, siete tutti calorosamente invitati (pena l'amputazione di un braccio e cinque o sei mesi nello scantinato degli orrori di christina e freeban) ad usare il LaTeX.
Per riferimenti vari...
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155
Se non vedete le formule... iniziate ad usare firefox, che con le versioni più recenti non dà alcun problema
In alternativa al latex potreste comunque cercare di usare il pretty-print o di scansire un foglio scritto a mano... tutto questo per cercare di rendere il thread il più leggibile possibile!
Buon lavoro a tutti!

Fammi sapere in pvt dove trovi scritto "questo è un 3d di analisi e matematica".

[Lucrezio]

Devi calcolare il lavoro fatto dalla forza di attrito, giusto?
Beh, nella posizione finale, quando è fermo, la sua energia totale sarà solo energia elastica, mentre nella situazione iniziale, quando la molla non è elongata, dovrà possedere solo energia cinetica. La differenza delle due quantità sarà il lavoro fatto dalla forza di attrito

Originariamente inviato da D4rkAng3l

L'esame di fisica si avvicina e sono sempre più disperato...

Non riesco ad impostare questo esercizio...mi date una mano?

C'è questa situazione:


Il blocco di massa M ha velocità iniziale v0 verso destra in modo tale che la molla non esercita alcuna forza su di esso, cioè la molla non è ne compressa ne allungata.
Il blocco percorre verso destra un tratto l prima di fermarsi nella posizione indicata con il tratteggio.
La costante elastica della molla è k, ed il coefficiente di attrito dinamico è MUd.
Quando il blocco si è spostato lungo destra del tratto l:

1) Qual'è il lavor fatto su di esso dalle forze di attrito

Io ho pensato così...la forza di attrito vale:

che può essere riscritta così:


Il lavoro fatto dalla forza di attrito non dovrebbe essere proprio l'integrale da 0 ad l di tale forza? Però boo come lo si imposta? non ho idea se vada bene o no...

Oppure avevo pensato di fare così...

Come cavolo si fa?
Sono disperato non riesco ad impostare questi esercizzi...se qualcuno avesse un link con degli esercizzi di questo tipo svolti come esempio gliene sarei molto grato

Grazie
Andrea

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da neliam

Una funzione analitica è infinitamente derivabile in ogni punto dello spazio in cui è definita?

Una funzione analitica in un aperto è infinitamente derivabile in ogni punto dell'aperto nel quale è analitica.

Originariamente inviato da neliam

Come mai una funzione F:R^2 ----> C non è possibile definirla come analitica mentre una F:C ---> R si?

Una funzione è analitica se si può sviluppare in serie di potenze in un opportuno intorno di ogni punto in cui è definita.
Ma per fare le potenze, devi avere una moltiplicazione interna. Questa ce l'hai in C ma non in R^2, perché puoi fare il prodotto di due numeri complessi e avere un numero complesso, ma non puoi fare il prodotto di due vettori del piano e avere un vettore del piano.

Di fatto, puoi vedere una f : C --> C come se fosse una f : R^2 --> C, adoperando parte reale e parte immaginaria dell'argomento.
In questo caso, l'analiticità di f come funzione di una variabile complessa si ri-enuncia per mezzo di una serie di condizioni sulla differenziabilità di f come funzione di due variabili reali.

Originariamente inviato da neliam

Con la notazione F:R ---> C si intende: una funzione che agendo su un campo R restituisce valori in C?

Sì.

Originariamente inviato da neliam

Riguardo al punto 2 i dubbi sorgono da un appunto che ho, probabilmente scritto di fretta, in cui c'è scritto: sulla base del limite del rapporto incrementale quando calcolo f ' (x,y) non ha senso dividire il numeratore complesso per un vettore

Sì, perché non esiste il reciproco di un vettore, mentre esiste il reciproco di un numero complesso.

[neliam]

Innanzitutto grazie per la risposta molto chiara.

Quindi vediamo se dico cose giuste

L'analiticità di una funzione è garantita in situazioni del tipo:

f : R ---> R
f : C ---> C
f : R ---> C
f : C ---> R

Perchè le funzioni agiscono su campi scalari dove sono ammesse le operazioni di somma, divisione, moltiplicazione e divisione.

Non in tutti i casi invece è garantita la sviluppabilità in serie di potenze.

Ok se fino a qui ho detto giusto passo a chiedere altri chiarimenti

Esempio 1:

Ho una funzione f : R ---> R

f (x) = e ^ [-1/(x)^2]

Questa funzione va a 0 per x = 0

Se provo a svilupparla in 0 ottengo tutte le derivate pari a 0, quindi, non vale l'uguaglianza di Taylor.

E' giusto dire che questa funzione NON è sviluppabile perchè esiste un punto (x=0) in cui non è verificata la somma in serie di potenze?

La domanda nasce dalla definizione di sviluppabilità che garantisce quest'ultima sulla base dell'esistenza di un disco di convergenza, centrato in un punto x0, appartente al dominio considerato.

Oppure questo è un caso particolare di una funzione sviluppabile ma non con la serie di taylor?

Spero di esser stato chiaro.

Originariamente inviato da Ziosilvio

Di fatto, puoi vedere una f : C --> C come se fosse una f : R^2 --> C, adoperando parte reale e parte immaginaria dell'argomento.
In questo caso, l'analiticità di f come funzione di una variabile complessa si ri-enuncia per mezzo di una serie di condizioni sulla differenziabilità di f come funzione di due variabili reali.

Infatti pensavo a f : R^2 ---> C come una f(x,y) e non riuscivo a spiegarmi perchè non poteva esistere il limite del rapporto incrementale.

Quindi anche R^2 può essere un campo scalare (con due componenti x,y) ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da neliam

L'analiticità di una funzione è garantita in situazioni del tipo:

f : R ---> R
f : C ---> C
f : R ---> C
f : C ---> R

Le uniche f : C --> R analitiche sono le costanti.
(Considera le condizioni di Cauchy-Riemann.)

Originariamente inviato da neliam

Non in tutti i casi invece è garantita la sviluppabilità in serie di potenze.

Analiticità e sviluppabilità in serie di potenze sono equivalenti.

Originariamente inviato da neliam

Ho una funzione f : R ---> R

f (x) = e ^ [-1/(x)^2]

Questa funzione va a 0 per x = 0

Se provo a svilupparla in 0 ottengo tutte le derivate pari a 0, quindi, non vale l'uguaglianza di Taylor.

E' giusto dire che questa funzione NON è sviluppabile perchè esiste un punto (x=0) in cui non è verificata la somma in serie di potenze?

Sì.
E il suo prolungamento in C privato dell'origine, ossia f(z) = exp(-1/z^2), ha nell'origine una singolarità isolata essenziale.

Originariamente inviato da neliam

La domanda nasce dalla definizione di sviluppabilità che garantisce quest'ultima sulla base dell'esistenza di un disco di convergenza, centrato in un punto x0, appartente al dominio considerato.

Oppure questo è un caso particolare di una funzione sviluppabile ma non con la serie di taylor?

"Semplicemente" f(x) = exp(-1/x^2) è sviluppabile in serie di potenze in un intorno di qualsiasi punto tranne l'origine.

Originariamente inviato da neliam

Quindi anche R^2 può essere un campo scalare (con due componenti x,y) ?

Sì a patto di considerare x e y come le parti reale e immaginaria di un numero complesso z.

[Lucrezio]

E' uno di quei casi diabolici dove servono i polinomi di Bernstein o sbaglio?

[neliam]

Grazie Zio Silvio...finalmente ho quasi finito il programma di questo esame.
Ne approfitterò poi per postare altri dubbi che ho.

Un teorema enuncia: una f : C ---> C analitica e limitata è costante; un esempio quale potrebbe essere (mi vengono in mente solo funzioni a variabile complessa illimitate).

[Lucrezio]

Originariamente inviato da neliam

Grazie Zio Silvio...finalmente ho quasi finito il programma di questo esame.
Ne approfitterò poi per postare altri dubbi che ho.

Un teorema enuncia: una f : C ---> C analitica e limitata è costante; un esempio quale potrebbe essere (mi vengono in mente solo funzioni a variabile complessa illimitate).

Stai dando metodi (da noi si chiamava laboratorio di chimica fisica III, corso tenuto dalla mia relatrice famosa per la passione per gli integrali più perversi e gli usi più spericolati del teorema dei residui )?

[neliam]

Originariamente inviato da Lucrezio

Stai dando metodi (da noi si chiamava laboratorio di chimica fisica III, corso tenuto dalla mia relatrice famosa per la passione per gli integrali più perversi e gli usi più spericolati del teorema dei residui )?

No magari . E' un esame di complemente di matematica ed è puramente teorico.
Il programma verte sugli Spazi di Hilbert, serie di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier ecc..tutto condito con relativi teoremi.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da neliam

No magari . E' un esame di complemente di matematica ed è puramente teorico.
Il programma verte sugli Spazi di Hilbert, serie di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier ecc..tutto condito con relativi teoremi.

Ottima cosa!
Mi sto rendendo sempre più conto del fatto che di matematica non se ne conosce mai abbastanza

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da neliam

Un teorema enuncia: una f : C ---> C analitica e limitata è costante; un esempio quale potrebbe essere (mi vengono in mente solo funzioni a variabile complessa illimitate).

Considera un polinomio a coefficienti complessi privo di radici complesse.
Prendi come f il reciproco del polinomio.
Ottieni il teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha una radice (e quindi, per divisioni successive, tutte le sue radici) nel campo complesso.

[Ziosilvio]

Segnalazione di servizio.

Dopo i suggerimenti degli utenti, e dopo una consultazione con i colleghi, apre il thread ufficiale delle richieste di aiuto in fisica:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1980317

Da ora in poi, le domande sugli esercizi di fisica avranno lì la loro collocazione naturale.

Buono studio a tutti

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

vediamo se ho capito bene il ragionamento...dimmi se va bene quello che stò dicendo per favore.

CUT

Questa è una domanda di fisica. Sposto nel nuovo thread

[The_Fragger]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Considera un polinomio a coefficienti complessi privo di radici complesse.
Prendi come f il reciproco del polinomio.
Ottieni il teorema fondamentale dell'algebra: ogni polinomio non costante a coefficienti complessi ha una radice (e quindi, per divisioni successive, tutte le sue radici) nel campo complesso.

mmm...per curiosità...ma è qualche corollario del teorema di Louivelle??

Se F è intera e regolare in C allora è costante....

PS: piccola nota polemica non capisco ancora perchè non hanno uniformato gli esami per stessi corsi di studio...è odioso parlare con persone di altre università e notare che le stesse cose sono state fatte in esami diversi sotto altri nomi ecc. ecc. almeno per me si è creata una confusione inutile.
Alla fine rientra tutto nel filone di "metodi per *tipo università*" dove si trattano trasformate numeri complex e series a gogo...anche se poi certe volte le trasformazioni e il reale utilizzo si capiscono solo nei corsi sucessivi...che hanno davvero poco di matematico,molte hp non vengono nemmeno più prese in considerazioni.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da The_Fragger

mmm...per curiosità...ma è qualche corollario del teorema di Louivelle??

Liouville.

Originariamente inviato da The_Fragger

Se F è intera e regolare in C allora è costante

Se f è intera (cioè: olomorfa in C) e limitata in modulo allora è costante.

Più in generale:
Se f è intera e se per C,R>0 e |z|>R vale |f(z)| <= C*|z|^n, allora f è un polinomio di grado non superiore ad n.

[The_Fragger]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Liouville.

Se f è intera (cioè: olomorfa in C) e limitata in modulo allora è costante.

Più in generale:
Se f è intera e se per C,R>0 e |z|>R vale |f(z)| <= C*|z|^n, allora f è un polinomio di grado non superiore ad n.

adesso non hi gli appunti davanti, ma il prof all'epoca (sono passati solo 3 mesi ma già tutto dimenticato... ) diede quelle ipotesi e quella tesi...devo controllare meglio forse mi potrei sbagliare

PS:ziosilvio non metto in dubbio la profonda conoscenza della materia e scusa per aver sbagliato nome del teorema ma l'ho scritto senza nemmeno controllare

[gittodelufrate]

Ciao ragazzi..ho un numero complesso di cui voglio calcolare il modulo e la fase..per quest'ultima occorre fare l'arctg(Im/Re).
Su excel, se uso ATAN, il risultato è tra [-pi/2;pi/2] mentre a me occorre avere il risultato in un range tra [-pi;pi] e quindi imposto ATAN2(Re;Im)*180/PI().

In questo caso però non riesco a riprodurre lo stesso risultato con la calcolatrice; quindi vi chiedo conferma se il ragionamento per trovare la fase del numero complesso è giusto o meno.

Grazie a tutti...saluti

Originariamente inviato da gittodelufrate

Ciao ragazzi..ho un numero complesso di cui voglio calcolare il modulo e la fase..per quest'ultima occorre fare l'arctg(Im/Re).
Su excel, se uso ATAN, il risultato è tra [-pi/2;pi/2] mentre a me occorre avere il risultato in un range tra [-pi;pi] e quindi imposto ATAN2(Re;Im)*180/PI().

In questo caso però non riesco a riprodurre lo stesso risultato con la calcolatrice; quindi vi chiedo conferma se il ragionamento per trovare la fase del numero complesso è giusto o meno.

Grazie a tutti...saluti

non so cosa sia atan2 ma forse puoi fare cosi

arctg(Im/Re) +pi*(1-sign(Re))/2


dove sign è la funzione segno
guarda se va bene

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da 85francy85

non so cosa sia atan2 ma forse puoi fare cosi

atan2(y,x) è l'argomento del numero complesso x+iy, valutato tra -Pi escluso e Pi incluso.