Analisi, definizione di Integrale

[dooka]

Qual'è la definizione di integrale, integrale di Reimann e integrale come limite della sommatoria?

thx

[gtr84]

l'integrale, detto in maniera generale, è un numero, o sempre una funzione che dipende da 1 variablie in meno rispetto alla funzione integranda.

con integrale, di una funzione convergente, si può indicare l'area che essa sottende in un determinato dominio della, o delle, variabili indipententi della funzione.
l'area può avere un significato puramente geometrico, che però può riguardare la statistica, la fisica ecc; ciò a seconda di cosa rappresenta la funzione.

ad esempio, in statistica, se si ha una funzione che determina, al variare delle variabili indipententi, la densità della probabilità con cui si può manifestare un fenomeno, l'integrale di quella funzione su in certo intervallo delle variabili indipententi, indica numericamente la probabilità con cui si manifesterebbe lo stesso fenomeno nel medesimo intervallo di integrazione.

il concetto di funzione Riemann integrabile è strettamente legato al a quello di limite di una serie convergente.

già al liceo, per spiegare il significato di integrale definito di una funzione, si disegna un'area, e la si frammenta in tanti rettangoli, quelli che tangono la funzione da "sotto" a quelli che tangono la funzione da "sopra". la somma delle aree dei primi, ovviamente, è minore della somma delle aree dei secondi. E' facile pensare però, che più sono piccole le basi dei rettangoli (detti anche trapezoidi) (l'i-esimo rettangolo piccolo e l'i-esimo rettangolo grande hanno base in comune) più la differenza di area tra le due sommatorie diventa piccola. quindi, se faccio il limite per h (dove h è l'ampiezza della base) che tende a 0 delle due sommatorie, i limite per la sommatoria grande e il limite della sommatoria piccola coincidono, e sono entrambe uguali al valore dell'integrale definito della funzione integrata sull'intervallo che è stato suddiviso in trapezoidi.

[Morpheus_/_Neo]

integrale DEFINITO
beh, per farla semplice, il problema che si vuol risolvere e' questo.

data una funzione y = f(x) definita e continua in un intervallo (a,b) si vuole calcolare l'area della parte di piano delimitata dall'asse x, dal grafico della funzione f e dalle rette parallele all'asse y di equazione rispettivamente x=a, x=b.

in particolare si vuole che la definizione di area a cui si giungera' comprenda come caso particolare l'area dei rettangoli in modo che la def di area a cui giungeremo, applicata al caso di un rettangolo, dia proprio la formula nota: A=base*altezza.

ora, il procedimento e' questo: considero la figura delimitata dal grafico di f(x) (figura definita alla riga 3 di questo testo). considero tutti i plurirettangoli contenenti tale figura e tutti i plurirettangoli contenuti in tale figura.

x ciascuno di questi plurirettangoli calcolo l'area come somma dei rettangoli componenti.

ora, prendo l'insieme dei plurirett. contenuti e considero il massimo dei valori delle aree calcolate.

prendo l'insieme dei plurirett. contenenti e considero il minimo dei valori delle aree calcolate

se minimo = massimo, allora dico che y = f(x), a<= x <= b e' integrabile e la sua area vale A=minimo=massimo. per indicare tale area e tale procedimento di calcolo uso il simbolo di integrale.

ora, un modo per avere plurirett. contenuti e' prendere l'intervallo (a,b) e dividerlo in N parti uguali e considerare i punti a,b e quelli dati dalle "tacche" di divisione. per ognuno di questi punti considera la corrispondente immagine sul grafico di f(x) e costriusci dei rettangoli che abbiano per base una delle N parti in cui hai diviso (a,b) e per altezza l'immagine dei punti di cui sopra e fatti in modo che il rettangolo sia contenuto nella figura.
in modo analogo si costriuscono i plurirettangoli contenenti.
ora, si dimostra che se f e' integrabile, l'area calcolata usando questi plurirett, al variare di N e' la stessa calcolata con la definizione data prima. Inoltre se fai tendere N all'infinito ottieni con naturalezza la definizione di integrale come limite della sommatoria delle aree dei rettangoli che compongono i plurirett.

spero di essermi spiegato a sufficienza, senza disegnare non e' semplice!
fammi sapere ciao
M_/_N

[StepsOTM]

Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.

Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c

c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:

D(x^3)/3 + c = x^2

E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).

L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.

Byeee

[dooka]

esaustivi tutti e 3 grazie

a noi 2 analisi

[Nabrez]

Originariamente inviato da StepsOTM
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.

Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c

c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:

D(x^3)/3 + c = x^2

E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).

L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.

Byeee

E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!

[spinbird]

Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!

un caso?

la matematica non è un caso...è tutta definita molto rigorosamente e formalmente....non esce una cosa per "caso" in matematica...

il teorema fondamentale del calcolo integrale spiega appunto perchè si utilizzano le primitive per calcolare l'area sottesa a una curva, è stato dimostrato, e non per caso...

[spinbird]

Originariamente inviato da StepsOTM
Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.

l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale

si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa

[Fede]

Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!

[luckye]

...........e^x che sta lì nell'angolino tutto solo. Poverino non si integra mai......

[spinbird]

Originariamente inviato da luckye
...........e^x che sta lì nell'angolino tutto solo. Poverino non si integra mai......

battutona da ingegnere:eheh:

[luigiaratamigi]

La conoscevo diversamente:

Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."

[spinbird]

Originariamente inviato da luigiaratamigi

Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."

e qui arriviamo al dottorato

[riaw]

Originariamente inviato da spinbird
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale

si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa

già!

e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a

[spinbird]

Originariamente inviato da riaw
già!

e anche alla relativa dimostrazione, porca tr..a

se non studi sono solo cazzi tua

[riaw]

Originariamente inviato da spinbird
se non studi sono solo cazzi tua

certe cose non serve studiarle

[StepsOTM]

Originariamente inviato da spinbird
l'integrale non è definito come l'inverso della derivazione
l'intrgrale è l'area sottesa a una curva (parlando sempre di curve nel piano); questo è quello che si intende per integrale

si è dimostrato poi dopo che coincide con le primitive e bla bla bla...ma l'integrale NON E' la primitiva, solo l'area sottesa alla curva...è importante come definzione, almeno, molti prof di analisi li ho sentiti tenerci particolarmente a questa cosa

Sai com'è. io non studio analisi.......................


Sono un semplice liceale che ha voluto dire la sua

Ho studiato per ora solo gli integrali indefiniti (pure sui miei libri di testo sono spiegati prima di quelli definiti), quindi pensavo di non dire amenità con la mia umile spiegazione, che comunque è giusta e mancava nelle prime due.

Sicuramente il calcolo integrale è molto più usato per il calcolo delle aree, ma serve pure a trovare le funzioni primitive, e ho voluto ricordarlo.

D'altronde quando la mia prof ha iniziato la lezione, la prima cosa che ha detto è stata proprio che il calcolo integrale è l'operazione inversa della derivazione, e così è spiegato pure sui miei libri da liceo scientifico.

Io per ora ho una conoscenza molto vaga di quelli definiti, ma da quel poco che so e che ho potuto applicare, per calcolare le aree sottese dalle curve fino all'asse delle ascisse serve comunque trovare la funzione primitiva, giusto?

Esempio:

[lo scrivo a parole non potendo usare i simboli]

integrale definito da 0 a pigreco di senx

prima si calcola la primitiva di senx, cioè -cosx (essendo Dcosx = -senx), poi si fa (-cospigreco) - (-cos0) = (-(-1)) - (-1) = 2

Quindi l'area compresa fra la funzione y=senx nell'intervallo [0;pigreco] vale 2. Ma prima di calcolarla ho dovuto trovare la sua primitiva, e per farlo bisogna aver studiato gli integrali indefiniti.



La tua osservazione poi sarà giusta se bisogna esporre questa teoria ad un prof universitario di un politecnico (o simili). Uso il condizionale perché ammetto di non saperlo.

Byeee!

[Morpheus_/_Neo]

beh, in effetti l'integrale è ANCHE l'inverso della derivazione! non è ne una cavolata ne un caso.

sentite, col termine integrale si intendono piu cose, che poi si dimostrano essere legate tra loro.

in particolare l'integrale definito serve per l'area mentre quello indefinito è la famiglia delle primitive e quindi è a tutti gli effetti l'inverso della derivazione.

poi si dimostra che l'integrale definito si calcola usando quello indefinito.

[tidal kraken]

Originariamente inviato da Nabrez
E' solo un caso che l'integrale sia l'inverso della derivata pero!

concordo
si tratta di un abuso di linguaggio definire l'operazione di integrazione come inversa a quella di derivazione
sarebbe invece corretto parlare di complementarietà (simmetria) di operatori, l'invertibilità lasciatela alle funzioni biunivoche... e pensare che la confusione l'hanno creata dei professori e divulgata sui libri di testo!

[Dias]

Integrale è l'operatore inverso della derivata.