[Esempi&Info] Analisi Matematica - Varie

[cagnaluia]

Sempre qui...

Esercizio 1.

f(x,y) = x^4 - 3 * x^2 * y^2


.Determinare il piano tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (1, 2)


.Calcolare il minimo di f sul triangolo chiuso di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1).


----------

Allora, questa come si cominicia? o meglio... di cosa si tratta?

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

Sempre qui...

Esercizio 1.

f(x,y) = x^4 ? 3 * x^2 * y^2


.Determinare il piano tangente al grafico della funzione nel punto di coordinate (1, 2)


.Calcolare il minimo di f sul triangolo chiuso di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1).


----------

Allora, questa come si cominicia? o meglio... di cosa si tratta?

cosa c'è al posto del "?" nella formula f(x,y) = ...

In via generale tu hai una funzione nello spazio del tipo Z = f (x,y) che in via generale rappresenta una superficie.

Come nel piano ogni linea continua ammette una retta tangente,
così nello spazio ogni superficie continua ammette un piano tangente.

ogni piano nello spazio è determinato da tre coefficienti (i coseni direttori, se la memoria non mi inganna).

per cui servono tre equazioni:

Tu hai che:

- il piano e la superficie passano per il punto assegnato;
- la derivata parziale rispetto ad x del piano e della superficie sono uguali nel punto assegnato;
- la derivata parziale rispetto ad y del piano e della superficie sono uguali nel punto assegnato;

sistema di tre equazioni in tre incognite.

Per la seconda parte della domanda devi determinare i minimi relativi della funzione data, INTERNI all'intervallo dato e devi calcolare la funzione per TUTTI i punti al contorno.

il valore richiesto è il MINIMO assoluto fra tutti i valori trovati.

[cagnaluia]

è una -, meno....

ora leggo i tuoi suggerimenti

[cagnaluia]

quindi..

data la f(x,y) = x^4 - (3x^2 * y^2)

troverei la f(1,2) = 1- 3*4 = -11

poi le derivate parziali:

fx(1,2) = 4 - 24 = -20
fy(1,2) = 1 - 12 = -11

e comporrei l'equazione del piano tangente: z = -20x -11x -11




così?

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

quindi..

data la f(x,y) = x^4 - (3x^2 * y^2)

troverei la f(1,2) = 1 - 3*4 = -11

poi le derivate parziali:

fx(1,2) = 4 - 24 = -20
fy(1,2) = 1 - 12 = -11

e comporrei l'equazione del piano tangente: z = -20x -11x -11

così?

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

Posto che un piano generico ha equazione

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

sostituendo nell'equazione del piano ed imponendo che z(1,2) = -11

si ottiene -20 * 1 - 12 * 2 + c = - 11

da cui c = -11 + 20 + 24 = 33

[cagnaluia]

intanto passo ad un altro esercizio... veloce veloce



secondo me, per ogni K... è il denominatore che comanda

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

Posto che un piano generico ha equazione

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

sostituendo nell'equazione del piano ed imponendo che z(1,2) = -11

si ottiene -20 * 1 - 12 * 2 + c = - 11

da cui c = -11 + 20 + 24 = 33

ah.. ok, ora è piu chiaro.. thanks

avevo fatto un pò il sempliciotto

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

Direi proprio di no.

Cominciamo dalle derivate parziali:

fx = 4 x^3 - 6 x * y^2 da cui fx(1,2) = 4 - 24 = - 20

fy = -6 x^2 * y da cui fy(1,2) = -12

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!???



e poi...

z= ax + by + c e che si ha

derivata parziale rispetto a x = a
derivata parziale rispetto a y = b

da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12

numble...

che cos'è capitato qui?
1. "c" che fine ha fatto?
2. perchè a=-20b=-12?

proprio nn ci arrivo

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!???

Esatto.

Stai derivando rispetto a y, per cui i termini solo in "x" sono da considerarsi come termini noti, e come tali hanno derivata nulla.

[cagnaluia]

Originariamente inviato da cagnaluia

scusa... la fy..... che fine fa x^4 ???? ... non mi dire.. che su una derivata parziale... spariscono i termini dove nn è presente in questo caso la y...!!!???



e poi...




numble...

che cos'è capitato qui?
1. "c" che fine ha fatto?
2. perchè a=-20b=-12?

proprio nn ci arrivo

...
da queste due è immediato ricavare a = - 20 b = -12



la leggevo senza la punteggiatura....

del tipo: per un punto, martin perse la cappa....

da queste due è immediato ricavare a = - 20; b = -12

[cagnaluia]

Originariamente inviato da cagnaluia

intanto passo ad un altro esercizio... veloce veloce



secondo me, per ogni K... è il denominatore che comanda

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

il problema è che pare.. per qualsiasi k, il limite sia = 0.. ma anche per k=-n..... di conseguenza anche per k>1

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

il problema è che pare.. per qualsiasi k, il limite sia = 0.. ma anche per k=-n..... di conseguenza anche per k>1

Non capisco quale sia il problema.

Quando ti propone la soluzione k > 1 si intende "SOLO per k > 1"

analogamente k = -n è da intendersi "SOLO per k = -n"
per cui non c'è ambiguità.

L'unica corretta è "per ogni valore di k"

[AleX_ZeTa]

Originariamente inviato da cagnaluia

da quel che so.. per essere convergente è necessario che il limite della funzione nella sommatoria, per n->infinito risulti 0.

questo è falsissimo. La serie armonica (sum(1/n)) diverge. Quella è invece condizione necessaria

[cagnaluia]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

questo è falsissimo. La serie armonica (sum(1/n)) diverge. Quella è invece condizione necessaria

ok. ora sono in confusione..


come faccio per capire se una serie converge o meno?

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

ok. ora sono in confusione..


come faccio per capire se una serie converge o meno?

AleX_ZeTa voleva dire che la condizione da te indicata (limite della funzione per n tendente a infinito =0) è condizione necessaria, ma non sufficiente.

Un modo per dimostrare che una serie converge è quello di dimostrare che per n maggiore di un dato N, ogni termine della serie data è minore del corrispondente termine di una serie di cui si può dimostrare la convergenza.

[cagnaluia]

Originariamente inviato da JL_Picard

AleX_ZeTa voleva dire che la condizione da te indicata (limite della funzione per n tendente a infinito =0) è condizione necessaria, ma non sufficiente.

Un modo per dimostrare che una serie converge è quello di dimostrare che per n maggiore di un dato N, ogni termine della serie data è minore del corrispondente termine di una serie di cui si può dimostrare la convergenza.

ok, capito. allora provo a fare delle prove di comparazione tra la mia e quella armonica..



intanto aggiungo questo:

Esercizio:

Qual'è il valore dell integrale della funzione

f(x,y) = (e^(-x+1) ) * (y^2)

sull'insieme (x,y): 0<=x<=1 e 0<=y<=2

allora io ho provato ad iniziare sviluppando gli integrali parziali, ho fatto bene?

quindi:

fx(x,y) = integrale(da 0 a 1) ( (e^(-x+1) / (-x+1) ) * y^2) + C

fy(x,y) = integrale(da 0 a 2) ( (e^(-x+1) * y^3) / 3 ) + C


e da qui... risolvere gli integrali parziali..?

[JL_Picard]

Originariamente inviato da cagnaluia

ok, capito. allora provo a fare delle prove di comparazione tra la mia e quella armonica..

No. Devi trovare una funzione convergente che massimizzi la tua funzione.

Anche se dimostrassi che da un dato n in poi i termini della tua funzione sono minori dei corrispondenti termin9i della serie armonica, non avresti ancora dimostrato la convergenza della tua serie.

Per gli integrali doppi, mi dispiace sono troppo "arrugginito" e non ho con me i miei fidi manuali...

[cagnaluia]

io dico: lim a|n = 0

[cagnaluia]

nessun valore di a.. ?

[cagnaluia]

uppino... poi vado a far l esame