[fisica] probabilità, continuità e infiniti

[CioKKoBaMBuZzo]

mi è venuta un'idea balzana in mente, ma mi manca un pezzo...

l'idea è: prendiamo un qualunque processo fisico (che coinvolga una particella) nel quale, per qualunque motivo, non possiamo prevedere a priori che direzione prenderà la particella. in altre parole, mi serve un processo fisico in cui la direzione del moto di una particella venga determinata completamente e spudoratamente dalla probabilità (spero che la meccanica quantistica venga in mio aiuto).
[secondo me basta una sorgente di fotoni o una collisione tra due perticelle, ma non ne sono sicuro..]

anyway, se lo spaziotempo fosse continuo la particella potrebbe prendere una qualsiasi delle infinite direzioni possibili, ma la probabilità che la particella prenda una determinata direzione è esattamente 1/inf = 0.

se veramente la presenza di un infinito è il modo che la natura ha per dirci "ma che caz state dicendo?", questo infinito è un problema..

che dite?

[CioKKoBaMBuZzo]

dai su non fatemi uppare sempre

[Banus]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

anyway, se lo spaziotempo fosse continuo la particella potrebbe prendere una qualsiasi delle infinite direzioni possibili, ma la probabilità che la particella prenda una determinata direzione è esattamente 1/inf = 0

Hai appena riscoperto i problemi delle distribuzioni di probabilità continue
Quando una variabile casuale è continua, come in questo caso, la probabilità che assuma un particolare valore è sempre infinitesima; se vuoi avere un valore finito devi sempre prendere un intervallo o un insieme di valori, e calcolare l'integrale della distribuzione sull'insieme.
Nel caso di una particella che può assumere una direzione casuale con probabilità uniforme in 3D, la distribuzione di probabilità in funzione di zenith e azimut (θ, φ) è:

f(θ,φ) = 1/4π

La probabilità che la direzione della particella si trovi in un particolare insieme (ad esempio, nel verso delle z positive) è dato dall'integrale di superficie corrispondente, su una sfera di raggio 1 (ad esempio, integrale sulla semisfera delle z positive). Poiché la sfera ha superficie 4π, la probabilità che la particella assuma una direzione qualsiasi è 1

[DarKilleR]

diciamo che non è molto chiaro quello che dici...

Allora la particella per andare in una qualunque direzione lo spazio deve essere: Continuo, Omogeneo e Isotropo..(ed infinitamente esteso)..

Poi tutto dipende da che tipo di fenomeno fisico sta interessando una certa porzione di spazio e quindi di particelle...
Il tipo di fenomeno va ad inserire le equazioni e le condizioni a contorno del problema che permettono di risolverlo...

Esempio, un conto è un aumento omogeneo di temperatura in uno spazio ed un conto bho è un'onda di pressione che ha una direzione

[Hactor]

Originariamente inviato da DarKilleR

diciamo che non è molto chiaro quello che dici...

Allora la particella per andare in una qualunque direzione lo spazio deve essere: Continuo, Omogeneo e Isotropo..(ed infinitamente esteso)..

Poi tutto dipende da che tipo di fenomeno fisico sta interessando una certa porzione di spazio e quindi di particelle...
Il tipo di fenomeno va ad inserire le equazioni e le condizioni a contorno del problema che permettono di risolverlo...

Esempio, un conto è un aumento omogeneo di temperatura in uno spazio ed un conto bho è un'onda di pressione che ha una direzione

Da bravo fisico provo a spiegartelo in parole povere (anche se non sono sicuro dell'efficacia dell'esempio).

Anzitutto lo spazio non è continuo, o almeno non può essere percorso con continuità, ma è discreto (lo spazio fisico ha un limite entro il quale valgono le leggi fisiche, detta lunghezza di planck, sotto quella lunghezza perdono di significato e anche la propagazione del movimento avviene come suo multiplo). In secondo luogo non viene mai studiato il comportamento di UNA sola ed isolata particella, perché in linea di principio questa non avrebbe motivo di muoversi in alcuna direzione, bensì si studia il comportamento di una particella immersa in un sistema. Da qui l'idea dell'integrale e di una soluzione di probabilità. Una particella isolata dal resto del mondo difatti avrebbe effettivamente probabilità 0 di andare in una qualsiasi direzione.

E in generale nell'universo fisico non sussiste il problema della continuità, visto che tutte quante le quantità sono discrete in ogni caso.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Hactor

Da bravo fisico provo a spiegartelo in parole povere (anche se non sono sicuro dell'efficacia dell'esempio).

Anzitutto lo spazio non è continuo, o almeno non può essere percorso con continuità, ma è discreto (lo spazio fisico ha un limite entro il quale valgono le leggi fisiche, detta lunghezza di planck, sotto quella lunghezza perdono di significato e anche la propagazione del movimento avviene come suo multiplo). In secondo luogo non viene mai studiato il comportamento di UNA sola ed isolata particella, perché in linea di principio questa non avrebbe motivo di muoversi in alcuna direzione, bensì si studia il comportamento di una particella immersa in un sistema. Da qui l'idea dell'integrale e di una soluzione di probabilità. Una particella isolata dal resto del mondo difatti avrebbe effettivamente probabilità 0 di andare in una qualsiasi direzione.

E in generale nell'universo fisico non sussiste il problema della continuità, visto che tutte quante le quantità sono discrete in ogni caso.

Scusa l'ignoranza, ma il moto di una particella libera non è mica quantizzato!
Tutti i valori del vettore d'onda sono possibili... Secondo me ha ragione Banus

[Hactor]

Originariamente inviato da Lucrezio

Scusa l'ignoranza, ma il moto di una particella libera non è mica quantizzato!
Tutti i valori del vettore d'onda sono possibili... Secondo me ha ragione Banus

Non è che gli dessi torto eh.
Era una spiegazione un po' meno tecnica e più sui generis.
Comunque la soluzione proposta da Banus è principalmente matematica. Io parlavo un po' di fisica.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Hactor

Non è che gli dessi torto eh.
Era una spiegazione un po' meno tecnica e più sui generis.
Comunque la soluzione proposta da Banus è principalmente matematica. Io parlavo un po' di fisica.

Però nemmeno la meccanica quantistica "quantizza" lo spazio!
Ad esempio, la descrizione dello scattering fra due particelle ha come soluzione un'onda sferica (modulata per una sezione d'urto...), e tutte le direzioni sono ammesse
Non so in qft...

[T3d]

Originariamente inviato da Lucrezio

Però nemmeno la meccanica quantistica "quantizza" lo spazio!
Ad esempio, la descrizione dello scattering fra due particelle ha come soluzione un'onda sferica (modulata per una sezione d'urto...), e tutte le direzioni sono ammesse
Non so in qft...

infatti l'operatore traslazione spaziale è a valori continui, eseguendo magari una trasformazione canonica infinitesima delle coordinate generalizzate

[CioKKoBaMBuZzo]

Originariamente inviato da Banus

Hai appena riscoperto i problemi delle distribuzioni di probabilità continue
Quando una variabile casuale è continua, come in questo caso, la probabilità che assuma un particolare valore è sempre infinitesima; se vuoi avere un valore finito devi sempre prendere un intervallo o un insieme di valori, e calcolare l'integrale della distribuzione sull'insieme.
Nel caso di una particella che può assumere una direzione casuale con probabilità uniforme in 3D, la distribuzione di probabilità in funzione di zenith e azimut (θ, φ) è:

f(θ,φ) = 1/4π

La probabilità che la direzione della particella si trovi in un particolare insieme (ad esempio, nel verso delle z positive) è dato dall'integrale di superficie corrispondente, su una sfera di raggio 1 (ad esempio, integrale sulla semisfera delle z positive). Poiché la sfera ha superficie 4π, la probabilità che la particella assuma una direzione qualsiasi è 1

non ho capito
quella lettera greca cosa indica?

e alla fin fine lo spaziotempo fisico è continuo o quantizzato come dice hactor? perchè in effetti se scale inferiori a quella di planck non sono sondabili..

[Hactor]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

e alla fin fine lo spaziotempo fisico è continuo o quantizzato come dice hactor? perchè in effetti se scale inferiori a quella di planck non sono sondabili..

sì è quantizzato.
sia il tempo che lo spazio, entrambi riconducibili a misure di planck.

la lettera greca è semplicemente pi - greco, ovvero 3,14.... ecc ecc ecc.

[lowenz]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

non ho capito
quella lettera greca cosa indica?

E' il pi greco

[Banus]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

e alla fin fine lo spaziotempo fisico è continuo o quantizzato come dice hactor? perchè in effetti se scale inferiori a quella di planck non sono sondabili..

Non si capisce bene se il tuo problema è il fatto di avere probabilità nulla per un evento oppure il fatto che avvenga ipotizzando che lo spazio sia continuo
La continuità dello spazio di per sé non è un problema... dal momento che tutti gli strumenti di misura hanno un certo errore, la probabilità di misurare un certo valore per la direzione della particella sarà sempre calcolata su un intervallo (valore ± errore) e quindi sarà di solito maggiore di zero. Un eventuale spazio quantizzato potrebbe introdurre un valore minimo per quell'errore, ma concettualmente non è necessario per risolvere il "paradosso" del primo post
Lo spazio quantizzato sviluppato dalle teorie moderne inoltre non ha quasi mai la forma semplice di un reticolo (pensa a un foglio a quadretti in 2D) con posizioni e direzioni quantizzate, ma sono costruzioni matematiche più complesse dove le nozioni di posizione e direzione emergono solo su lunghezze molto maggiori della lunghezza di Planck. Ad esempio nella gravità quantistica a loop non esiste una lunghezza minima, ed è invece l'area ad essere quantizzata in multipli dell'area di Planck.

[CioKKoBaMBuZzo]

il mio problema era la seconda che hai detto, cioè avere una probabilità nulla ipotizzando lo spazio continuo, però ora ho capito

[quelarion]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

non ho capito
quella lettera greca cosa indica?

e alla fin fine lo spaziotempo fisico è continuo o quantizzato come dice hactor? perchè in effetti se scale inferiori a quella di planck non sono sondabili..

visto che per ora non abbiamo sondato scale prossime a quella di Planck quello che possiamo fare è porre un limite e dire che fino ad una certa scala, che è quella sondabile attualmente con esperimenti, lo spazio-tempo risulta continuo.
Per distanze più brevi non si sa: possono essere quantizzate le lunghezze, le aree, può essere tutto continuo, magari niente di tutto ciò. Sono solo ipotesi.
C'è da dire però che l'approccio attuale è quello di inserire un qualche tipo di quantizzazione, che risolve vari problemi come le divergenze ultraviolette (cioè ad alte energie = piccole scale).