Aiuto esercizio di Analisi :-/

[D4rkAng3l]

Ciao, potete dirmi se questo metodo per risolvere questo esercizio è giusto?
(ahhh se passa di quì un grazie speciale a ZioSilvio che è sempre stato disponibilissimo...i tuoi consigli mi hanno veramente aiutato a passare l'esame di matematica discreta tnx )

"Si consideri la funzione f(x) := x - x^2 e la successione definita da
Xo = 1\2, Xn+1 = f(Xn) per ogni n€N(per maggiore chiarezza Xo X con zero è il primo termine della successione e Xn+1 è il termine n pi unesimo...il successivo definita ricorsivamente).
Si studi il limite per n che tende all'infinito della successione Xn"

Io l'ho pensato così...ditemi voi se può andar bene o se il mio metodo è troppo empirico.

x-x^2 è una parabola che passa per lo 0....e comunque anche ignorando che sia una parabola posso notare che da un certo punto in poi è sempre decrescente:

x=1 ---> f(x) = 0
x=2 ---> f(x) = -2
x=3 ---> f(x) = -6
e comunque lim per x che tende ad infinito di x - x^2 è chiaramente - infinito quindi la funzione è decrescente....

Facendo un po' d'attenzione vedo che è parabola di vertice V = (1\2 ; 1\4)

Poi ho fatto un'analisi em,pirica di come si comporta la successione

Il primo termine Xo = 1\2 (quindi è il vertice della mia parabola ed è un valore frazionario compreso tra i 2 punti di intersezione della parabola con l'asse delle X che sono (0;0) e (1;0))

X1 = f(1\2) = 1\4
X2 = (f1\4) = 1\8
......................
......................

essendo X0 (il primo termine della successione) un valore compreso nell'intervallo [0 ; 1] ed essendo che X(n+1) = Xn - Xn^2 < Xn perchè in pratica al termine successivo viene sempre tolta una quantità positiva che via via diventa sempre più piccola (quindi ciò mi fà dire empiricamente che non diventerà mai engativo)....dunque la successione sarà limitata dal basso )in pratica la mia successione stà nell'intervallo [0 ; 1\2] ed esisterà un valore: X* = lim per n che tende ad infinito di Xn

Inoltre sò che f è una funzione continua quindi posso dire che:

X* = lim n che tende a infinito di Xn = lim (f(Xn -1) che è uguale a f(lim(xn)) =f(0) = 0

Dite che potrebbe andare o no?

Grazie
Andrea

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

"Si consideri la funzione f(x) := x - x^2 e la successione definita da
Xo = 1\2, Xn+1 = f(Xn) per ogni n€N(per maggiore chiarezza Xo X con zero è il primo termine della successione e Xn+1 è il termine n pi unesimo...il successivo definita ricorsivamente).
Si studi il limite per n che tende all'infinito della successione Xn"

OK, la restrizione di f a [0,1] è la mappa logistica di parametro alpha=1, quindi il comportamento di Xn è noto

Io l'ho pensato così...ditemi voi se può andar bene o se il mio metodo è troppo empirico.

x-x^2 è una parabola che passa per lo 0....e comunque anche ignorando che sia una parabola posso notare che da un certo punto in poi è sempre decrescente:

x=1 ---> f(x) = 0
x=2 ---> f(x) = -2
x=3 ---> f(x) = -6
e comunque lim per x che tende ad infinito di x - x^2 è chiaramente - infinito quindi la funzione è decrescente....

Facendo un po' d'attenzione vedo che è parabola di vertice V = (1\2 ; 1\4)

Fai prima osservando che f(x)=x(1-x)... quindi sì, è una parabola che incontra l'asse delle ascisse nei punti (0,0) e (1,0), e rivolge la concavità verso il basso.

Poi ho fatto un'analisi em,pirica di come si comporta la successione

Il primo termine Xo = 1\2 (quindi è il vertice della mia parabola ed è un valore frazionario compreso tra i 2 punti di intersezione della parabola con l'asse delle X che sono (0;0) e (1;0))

X1 = f(1\2) = 1\4
X2 = (f1\4) = 1\8
......................
......................

essendo X0 (il primo termine della successione) un valore compreso nell'intervallo [0 ; 1] ed essendo che X(n+1) = Xn - Xn^2 < Xn perchè in pratica al termine successivo viene sempre tolta una quantità positiva che via via diventa sempre più piccola (quindi ciò mi fà dire empiricamente che non diventerà mai engativo)....dunque la successione sarà limitata dal basso )in pratica la mia successione stà nell'intervallo [0 ; 1\2] ed esisterà un valore: X* = lim per n che tende ad infinito di Xn

Inoltre sò che f è una funzione continua quindi posso dire che:

X* = lim n che tende a infinito di Xn = lim (f(Xn -1) che è uguale a f(lim(xn)) =f(0) = 0

Dite che potrebbe andare o no?

Direi che va benissimo

Un altro modo per accorgersi che Xn è decrescente, potrebbe essere questo: essendo f monotona strettamente crescente nell'intervallo [0,1/2], se f(X0)<X0, allora anche f(Xn)<Xn per ogni n. Infatti, se f(X(n-1))<X(n-1), allora f(Xn) = f(f(X(n-1))) per costruzione < f(X(n-1)) per monotonia < X(n-1) per ipotesi induttiva.

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da Ziosilvio

OK, la restrizione di f a [0,1] è la mappa logistica di parametro alpha=1, quindi il comportamento di Xn è noto

Fai prima osservando che f(x)=x(1-x)... quindi sì, è una parabola che incontra l'asse delle ascisse nei punti (0,0) e (1,0), e rivolge la concavità verso il basso.

Direi che va benissimo

Un altro modo per accorgersi che Xn è decrescente, potrebbe essere questo: essendo f monotona strettamente crescente nell'intervallo [0,1/2], se f(X0)<X0, allora anche f(Xn)<Xn per ogni n. Infatti, se f(X(n-1))<X(n-1), allora f(Xn) = f(f(X(n-1))) per costruzione < f(X(n-1)) per monotonia < X(n-1) per ipotesi induttiva.

ohh grazie ZioSilvio sei veramente sempre disponibilissimo...scusa la domanda scema f è strettamente monotona in quell'intervallo in quanto parabola?

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

ohh grazie ZioSilvio sei veramente sempre disponibilissimo...scusa la domanda scema f è strettamente monotona in quell'intervallo in quanto parabola?

beh questo è un modo di dirlo...

un modo piu elegante è studiare la derivata prima e vedere che non si annulla mai in quell'intervallo (strettamente monotona) o nn cambia mai di segno (monotona)