contorni di funzione

[fsdfdsddijsdfsdfo]

io stavo pensando... ma i contorni di una funzione mostra le stesse proprietà della funzione?

non intendo l'intorno... ma proprio il contorno...

se y=f(x)
xOy-f(x)=contorno

se immaginiamo la retta x=y, il contorno è il piano meno la retta... cioè tutte le (infinite) coppie di coordinate che non appartengono alla funzione.

provate a disegnare i contorni di una funzione con un pennarello... alcune funzioni non si possono disegnare ma i loro contorni si... sembra una proprietà controintuitiva.

Provate ad immaginare una funzione i cui zeri siano tutti i numeri primi... non è disegnabile... se però ne disegnamo il contorno: cioè una funzione i cui zeri siano tutti i numeri non primi...
La prima non è disegnabile, se l'ipotesi (che sembra vera) è vera allora anche la seconda funzione non si puo disegnare... ma è controintuitivo...

spero di essere stato chiaro.

Se non sapete la risposta potete almeno indicarmi un buon forum di matematica?

[AleX_ZeTa]

tu vuoi dire che se considero una funzione f : R ->R e prendo sul piano il grafico G dato da {(x,f(x)) con x € R} allora riesco a disegnare R^2\G e non G?
Beh prima di tutto mi dovresti dire cosa intendi con "disegnare"... se intendi una vera e propria rappresentazione grafica sorgono dei problemi: ogni punto che tu puoi disegnare ha uno spessore, contro la realtà matematica che i singoli punti hanno "misura (di Lebesgue) nulla" (cioè infiniti punti possono "occupare" uno spazio di lunghezza zero... cioè che per ogni e>0 puoi trovare delle palle attorno ad ogni punto tali che la loro unione ricopra tutto l'insieme - anche infinito - che stai considerando ma la lunghezza totale è minore di e), mentre è evidente che se provi a mettere infiniti punti su un foglio prima o poi ti devi fermare perchè non c'è più spazio. Prova ad esempio a disegnare la caratteristica dei razionali di [0,1]... cioè la funzione che vale 1 sui razionali e 0 sugli irrazionali... è tecnicamente impossibile visto che dovresti disegnare infiniti punti e infiniti buchi allineati. Stesso problema se intendi disegnarne il complementare. Se intendi invece studiare matematicamente l'insieme R^2\G... beh, ti dico che è generalmente più facile studiare G (ad esempio per funzioni belle - continue e magari derivabili) da R^n in R le "superfici" di livello si studiano piuttosto bene con la geometria differenziale... studiarne il complementare può dare qualche problema: prova ad esempio a studiare il complementare del grafico della funzione sen(1/x) per x != 0 e 0 per x = 0.... non è proprio bello.

Veniamo ora al problema che poni tu: non capisco dove sta la questione o il paradosso... i numeri primi sappiamo quali sono? si, perchè abbiamo un metodo preciso per calcolarli (il più banale, il crivello di Eratostene). Che non li conosciamo tutti è un'altra questione, ma è solo un problema di tempo di calcolo. Se voglio sapere se un numero è primo o meno ho tutti i mezzi per saperlo, magari può mancarmi il tempo di finire i conti. Quindi non vedo la differenza tra le due cose.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

scusami non riesco a capire cosa intendi per R^2\G

provo a spiegarmi piu chiaramente:

se f(x)=x

allora il suo complementare è:
C(x)=x+q con q diverso da 0

si prende tutto il piano meno la retta

ovvio che sia difficile disegnarlo, ma è concettualmente studiabile. Noi parliamo di matematica, mica di realtà!



sulla funzione dei numeri primi: mi ricordo che il mio prof mi disse che è una funzione non disegnabile. Anche se riusciamo a calcolare tutti i numeri primi, ciò non vuol dire che possiamo disegnarla (non materialmente, intendo scrivere una funzione del genere).
Anche perchè questo ci permetterebbe di calcolare istantaneamente numeri primi giganteschi.

Mi basterebbe partire da 10^10^10000000000 e con il metodo delle tangenti mi calcolo con approssimazione alla prima cifra uno zero, e quello sarà un numero primo con un errore di 1.

[AleX_ZeTa]

ok ora c'è un po' di chiarezza in più nel tuo discorso.

Prima di tutto, con R^2\G intendo il piano tolto il grafico. In generale con A\B si intende l'insieme {x € A | !(x € B) (non appartiene) } [visto che manca il latex mi rifugio in una sintassi pseudo-informatica]

Per i numeri primi: se con "disegnare" intendi scrivere esplicitamente beh, allora probabilmente hai ragione (nel senso che non ricordo se sia stato dimostrato che non può esistere una tale formula, ma credo di no).

Sul fatto che il complementare di un grafico sia matematicamente studiabile, nulla da dire. Ma non ha molto senso dire "ha le stesse proprietà della funzione": già solo nel piano, il grafico di una funzione continua (e derivabile magari) è una curva, il complementare è tutt'altro. Si può certamente studiare, ad esempio vedere da quante componenti connesse è fatto, se queste sono convesse o concave etc... ma non lo si studia come si studia la funzione.

In conclusione: la domanda è abbastanza generica, e la risposta non può essere da meno. Il voler studiare il complementare del grafico di una funzione è lecito, possibile e talvolta anche utile, ma senza restringerci a casi più particolari non è possibile una trattazione dettagliata.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

ok ora c'è un po' di chiarezza in più nel tuo discorso.

Prima di tutto, con R^2\G intendo il piano tolto il grafico. In generale con A\B si intende l'insieme {x € A | !(x € B) (non appartiene) } [visto che manca il latex mi rifugio in una sintassi pseudo-informatica]

Per i numeri primi: se con "disegnare" intendi scrivere esplicitamente beh, allora probabilmente hai ragione (nel senso che non ricordo se sia stato dimostrato che non può esistere una tale formula, ma credo di no).

Sul fatto che il complementare di un grafico sia matematicamente studiabile, nulla da dire. Ma non ha molto senso dire "ha le stesse proprietà della funzione": già solo nel piano, il grafico di una funzione continua (e derivabile magari) è una curva, il complementare è tutt'altro. Si può certamente studiare, ad esempio vedere da quante componenti connesse è fatto, se queste sono convesse o concave etc... ma non lo si studia come si studia la funzione.

In conclusione: la domanda è abbastanza generica, e la risposta non può essere da meno. Il voler studiare il complementare del grafico di una funzione è lecito, possibile e talvolta anche utile, ma senza restringerci a casi più particolari non è possibile una trattazione dettagliata.

non si limita ad uno studio di fasci?