[statistica] i dadi mi perseguitano!

[jumpermax]

Dunque fate conto di avere un dado con f facce. Ad ogni lancio ogni faccia ha pari probabilità di uscita 1/f

Ora supponiamo di effettuare una serie di N lanci
La probabilità che esca sempre la stessa faccia è 1/f^N e siamo tutti d'accordo Si tratta di una serie di eventi non correlati tra loro
La probabilità che non esca mai una specifica faccia è esprimibile come (1-1/f)^N e siamo tutti d'accordo anche qua. (spero)
La probabilità che esca almeno una volta una specifica faccia quindi è pari alla probabilità che non si verifichi che non esca mai una specifica faccia. Detto in termini matematici che è più chiaro
1-(1-1/f)^N Se non ricordo male questa è la formula di Cardenas.
Veniamo al casino generale:
Data una serie di lanci N qual è la probabilità che esca almeno h volte una specifica faccia?

[rgart]

Originariamente inviato da jumpermax

Dunque fate conto di avere un dado con f facce. Ad ogni lancio ogni faccia ha pari probabilità di uscita 1/f

Ora supponiamo di effettuare una serie di N lanci
La probabilità che esca sempre la stessa faccia è 1/f^N e siamo tutti d'accordo Si tratta di una serie di eventi non correlati tra loro
La probabilità che non esca mai una specifica faccia è esprimibile come (1-1/f)^N e siamo tutti d'accordo anche qua. (spero)
La probabilità che esca almeno una volta una specifica faccia quindi è pari alla probabilità che non si verifichi che non esca mai una specifica faccia. Detto in termini matematici che è più chiaro
1-(1-1/f)^N Se non ricordo male questa è la formula di Cardenas.
Veniamo al casino generale:
Data una serie di lanci N qual è la probabilità che esca almeno h volte una specifica faccia?

Ciao,ma dimmi devi andare al casinò o devi giocare a risiko x caso

[Banus]

Originariamente inviato da jumpermax

Data una serie di lanci N qual è la probabilità che esca almeno h volte una specifica faccia?

Conviene calcolare la probabilità che esca esattamente h volte una stessa faccia, poi h+1 e così via fino a N. La probabilità che esca esattamente h volte una faccia è la binomiale:

p(h) = B(N,h) * 1/f^h * (1 - 1/f)^(N-h)

dove:

B(N,h) = N! / (h! (N-h)!)

Esiste una formula più compatta basata sulla distribuzione cumulativa della binomiale negativa, ma coinvolge la funzione beta regolarizzata e francamente non ho voglia di approfondire
http://en.wikipedia.org/wiki/Negativ...ution_function

[jumpermax]

Originariamente inviato da Banus

Conviene calcolare la probabilità che esca esattamente h volte una stessa faccia, poi h+1 e così via fino a N. La probabilità che esca esattamente h volte una faccia è la binomiale:

p(h) = B(N,h) * 1/f^h * (1 - 1/f)^(N-h)

dove:

B(N,h) = N! / (h! (N-h)!)

Esiste una formula più compatta basata sulla distribuzione cumulativa della binomiale negativa, ma coinvolge la funzione beta regolarizzata e francamente non ho voglia di approfondire
http://en.wikipedia.org/wiki/Negativ...ution_function

uh banus sei sempre una certezza, grazie mille!
Ero convintissimo di aver risolto la questione poi mi sono accorto che in realtà ho bisogno di sapere
Data una serie di lanci N qual è la probabilità che ci sia una faccia che esca almeno h volte ? Il problema sembra simile ma disgraziatamente è diverso.
Presa p(h)

p(k) = B(N,k) * 1/f^k * (1 - 1/f)^(N-k)

s(h)=sum (k=0..h-1,p(k)) mi da la probabilità che una faccia esca meno di h volte.

Ho trovato un sicuro maggiorante dato da f*s(h) ma non sono riuscito a fare il conto esatto, non posso considerare (1-s(h))^f perchè mica sono eventi scorrelati!

[Banus]

Originariamente inviato da jumpermax

Data una serie di lanci N qual è la probabilità che ci sia una faccia che esca almeno h volte ?

In effetti è diverso, e anche più impestato

Se chiamiamo s(h) (per semplicità) la probabilità di h o più uscite di una determinata faccia (così i calcoli sono più semplici ) allora la tua formula:

P(h) = f*s(h)

è esatta se h è maggiore di N/2. Breve motivazione: i problemi ci sono per le sequenze che soddisfano più di una volta la condizione "la faccia x è uscita almeno h volte", ma se h è maggiore di N/2 una faccia che soddisfa questa condizione esclude necessariamente le altre.
Per gli altri casi invece la situazione è decisamente complicata
Dovresti sottrarre a mano tutti i "doppioni". Con la multinomiale ci riesci di sicuro, ma a occhio temo che esca un algoritmo davvero lungo...
Un altro modo (sfruttando il fatto che le probabilità sono uguali - 1/f) è "contare" i casi corretti usando il calcolo combinatorio, ma adesso è tardi e non riesco a trovare nessun metodo buono

[Banus]

Ho scritto la formula impestatissima e crasha il database
Comunque mi ricordo un f = 2^b con b da 1 a 63, N = 1000000 e h = 20 giusto?
La morale (se non hai fatto in tempo a leggere il mio messaggio) è che con b abbastanza alto devi sommare fino a 50000 termini che a loro volta sono sommatorie... non escludo che troncando la somma a un certo punto esca una buona approssimazione ma non ci giurerei
Sarebbe da provare con modelli approssimati, quelli che mi vengono in mente sono Poisson e normale. Se trovo la voglia provo a buttare giù qualcosa di preciso

[jumpermax]

azz mi è costato caro sto recupero di freeman.... fortuna che avevo la copia del mio messaggio di stamattina

Originariamente inviato da Banus

In effetti è diverso, e anche più impestato

Se chiamiamo s(h) (per semplicità) la probabilità di h o più uscite di una determinata faccia (così i calcoli sono più semplici ) allora la tua formula:

P(h) = f*s(h)

è esatta se h è maggiore di N/2. Breve motivazione: i problemi ci sono per le sequenze che soddisfano più di una volta la condizione "la faccia x è uscita almeno h volte", ma se h è maggiore di N/2 una faccia che soddisfa questa condizione esclude necessariamente le altre.
Per gli altri casi invece la situazione è decisamente complicata
Dovresti sottrarre a mano tutti i "doppioni". Con la multinomiale ci riesci di sicuro, ma a occhio temo che esca un algoritmo davvero lungo...
Un altro modo (sfruttando il fatto che le probabilità sono uguali - 1/f) è "contare" i casi corretti usando il calcolo combinatorio, ma adesso è tardi e non riesco a trovare nessun metodo buono

ti quantifico il problema per farti capire il mio stato di disperazione... i dadi hanno 2^b facce con b libero di variare fino a 63, N tipicamente è attorno ad un milione e h è circa 20... ad intuito la formula che ho scritto dovrebbe essere un upper bound.
Per essere esatti detta s(h) la probabilità che una determinata faccia compaia <=h volte (mi è comodo rappresentare questa) la probabilità che tutte le faccie compaiano meno di h la posso esprimere come
s(h)^f
e quindi la probabilità che cerco sarebbe
1-s(h)^f
oppure posso considerare nulla la probabilità dell'evento congiunto dei singoli 1-s(h) e quindi sommare
(1-s(h))*f


Di sicuro
(1-s(h)) =<P(h)=<(1-s(h))*f
Viene fuori direttamente dalla legge della somma...