x i matematici

[tazok]

Dunqueroblema sulle serie.

dimostrare che la serie (sommatoria con n che va da 1 a inf.) di an (con an > 0 per ogni n appartenente a N)converge
SE E SOLO SE

la (sommatoria con che va da 1 a inf.) di a_n/((a_n)+1)) converge.

che criterio usereste voi?

EDIT:errore di scrittura,non so dove sbattere la testa

come posso fare?cioè come fareste voi?

[tazok]

up?

[wacko]

Credo confronto asintotico

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da tazok

dimostrare che la serie (sommatoria con n che va da 1 a inf.) di an converge
SE E SOLO SE

la (sommatoria con che va da 1 a inf.) di an/a(n+1) converge.

Per serie arbitrarie l'enunciato è falso.
Prendi la serie armonica a segni alterni, in cui a(n)=(-1)^n/n: la serie degli a(n) converge per il criterio di Leibniz, ma a(n)/a(n+1) converge a -1 anziché a 0 e di conseguenza la serie degli a(n)/a(n+1) non converge.

Sicuro che non ci siano ipotesi in più, tipo termini non negativi?

[tazok]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Per serie arbitrarie l'enunciato è falso.
Prendi la serie armonica a segni alterni, in cui a(n)=(-1)^n/n: la serie degli a(n) converge per il criterio di Leibniz, ma a(n)/a(n+1) converge a -1 anziché a 0 e di conseguenza la serie degli a(n)/a(n+1) non converge.

Sicuro che non ci siano ipotesi in più, tipo termini non negativi?

:| mea culpa.

ho dimenticato an>0 per ogni n appartenente a N

sotto quest'ottica come procederesti?

[Banus]

Originariamente inviato da tazok

ho dimenticato an>0 per ogni n appartenente a N

Io inizierei a preoccuparmi
anche se an > 0 per ogni n in N puoi trovare serie convergenti per cui non vale la condizione (quindi non vale il SOLO SE). Ad esempio 1/2^n ha rapporto costante 2, e la somma di infiniti 2 è ovviamente infinita.
Quello che mi lascia più perplesso è che il rapporto sia a_n/a_n+1; poichè il termine n-esimo di una serie deve tendere a 0 perchè si sia convergenza (condizione necessaria), questo significa che a_n+1 > a_n sempre, per indici abbastanza grandi. E questo significa che la serie a_n non può mai convergere
Sempre che non abbia preso cantonate

[tazok]

Originariamente inviato da Banus

Io inizierei a preoccuparmi
anche se an > 0 per ogni n in N puoi trovare serie convergenti per cui non vale la condizione (quindi non vale il SOLO SE). Ad esempio 1/2^n ha rapporto costante 2, e la somma di infiniti 2 è ovviamente infinita.
Quello che mi lascia più perplesso è che il rapporto sia a_n/a_n+1; poichè il termine n-esimo di una serie deve tendere a 0 perchè si sia convergenza (condizione necessaria), questo significa che a_n+1 > a_n sempre, per indici abbastanza grandi. E questo significa che la serie a_n non può mai convergere
Sempre che non abbia preso cantonate

.....................................................................................
ennesimo errore di trasposizione(la prossima volta scannerizzo la pagina...)

la serie è a_n/(a_n)+1 e non (a_n+1) come da me erroneamente scritto
............................

scusate ma ultimamente sto davvero sfasato(troppa matematica x un informatico )

[Banus]

Originariamente inviato da tazok

ennesimo errore di trasposizione(la prossima volta scannerizzo la pagina...)

la serie è a_n/(a_n)+1 e non (a_n+1) come da me erroneamente scritto

Allora puoi fare così: per n sufficientemente grande a_n è sicuramente minore di 1 se la serie converge; quindi abbiamo:

a_n/2 <= a_n/(a_n + 1) <= a_n

se la serie a_n converge, per il criterio del confronto converge anche a_n/(a_n + 1)
se a_n/(a_n + 1) converge, converge anche a_n/2, cioè la serie a_n moltiplicata per il coefficiente 1/2. Poichè il coefficiente non influenza la convergenza, converge anche a_n.

AGGIUNTA: se a_n è sempre maggiore di 1, entrambe le serie non convergono perchè non rispettano la condizione necessaria di convergenza. Infatti abbiamo a_n > 1 e a_n/(a_n + 1) > 1/2 per ogni N.

[tazok]

Originariamente inviato da Banus

Allora puoi fare così: per n sufficientemente grande a_n è sicuramente minore di 1 se la serie converge; quindi abbiamo:

a_n/2 <= a_n/(a_n + 1) <= a_n

se la serie a_n converge, per il criterio del confronto converge anche a_n/(a_n + 1)
se a_n/(a_n + 1) converge, converge anche a_n/2, cioè la serie a_n moltiplicata per il coefficiente 1/2. Poichè il coefficiente non influenza la convergenza, converge anche a_n.

AGGIUNTA: se a_n è sempre maggiore di 1, entrambe le serie non convergono perchè non rispettano la condizione necessaria di convergenza. Infatti abbiamo a_n > 1 e a_n/(a_n + 1) > 1/2 per ogni N.

era davvero facile,visto cosi...

mi sento molto

[tazok]

Originariamente inviato da tazok

era davvero facile,visto cosi...

mi sento molto

Allora,visto che ho fatto una figura pessima,vi propongo quest'integrale,presumendo che sia + difficile del problema di prima :P

Determinare i valori di alfa compreso tra 2 e +inf. per cui il seguente integrale ESISTE FINITO

(integrale definito tra 0 e +inf) ((x+1)* sen^2 (x))/x^alfa

dunque il problema si potrebbe risolvere col criterio del confronto,anche lui(per determinare la convergenza)però il testo mi chiede ALFA,i valori per cui l'integrale esiste finito...

ho provato a fare un pò di conti ,mi riporta alfa tra 2 e 4...però svolgendo l'integrale (e mettendo alfa tra 2 e 4)con un solutore online,mi dice che l'integrale non esiste.....

quali sono i passaggi per trovare sto alfa?

[Banus]

Originariamente inviato da tazok

Allora,visto che ho fatto una figura pessima,vi propongo quest'integrale,presumendo che sia + difficile del problema di prima :P

Un consiglio: ricorri sempre alle maggiorazioni se possibile, quando funzionano risolvono i problemi in modo molto rapido

L'integrale lo puoi maggiorare con 2/x^(alpha-1) per x -> oo e con 1/x^(alpha-2) per x -> 0 (ricorda l'asintoticità, sin(x) ~ x). I conti li lascio fare a te
L'unica cosa che mi lascia perplesso (a meno di errori) è che l'estremo superiore mi esce 3 anzichè 4.

I risolutori online (numerici) lasciali perdere, di solito assumono che la funzione non abbia singolarità (e qui invece ci sono). In questi casi il metodo numerico salta e ti dice di tutto

[tazok]

Originariamente inviato da Banus

Un consiglio: ricorri sempre alle maggiorazioni se possibile, quando funzionano risolvono i problemi in modo molto rapido

ok,grazie del consiglio

Originariamente inviato da Banus

L'integrale lo puoi maggiorare con 2/x^(alpha-1) per x -> oo e con 1/x^(alpha-2) per x -> 0 (ricorda l'asintoticità, sin(x) ~ x). I conti li lascio fare a te

non mi è chiaro come 2/x^(alfa-1) sia una maggiorazione di ((x+1)sen^2 (x))/x^alfa a +infinito....dipende solo dal fatto che è diviso per un "x con esponente minore"??



grazie ancora per il supporto

[Banus]

Originariamente inviato da tazok

non mi è chiaro come 2/x^(alfa-1) sia una maggiorazione di ((x+1)sen^2 (x))/x^alfa a +infinito....dipende solo dal fatto che è diviso per un "x con esponente minore"??

No, semplici manipolazioni con le diseguaglianze.
((x+1)sen^2 (x))/x^alfa <= (x+1)/x^alpha <= 2x/x^alpha = 2/x^(alpha-1)

Poi generalmente basta vede l'asintoticità, non serve fare le maggiorazioni tutte le volte
Se f(x) ~ g(x) per x -> l, si può scrivere:
1/2 g(x) <= f(x) <= 2 g(x)
in un intorno del limite l, e quindi la convergenza/divergenza dell'integrale di g si trasporta su f.

[tazok]

Originariamente inviato da Banus

No, semplici manipolazioni con le diseguaglianze.
((x+1)sen^2 (x))/x^alfa <= (x+1)/x^alpha <= 2x/x^alpha = 2/x^(alpha-1)

Poi generalmente basta vede l'asintoticità, non serve fare le maggiorazioni tutte le volte
Se f(x) ~ g(x) per x -> l, si può scrivere:
1/2 g(x) <= f(x) <= 2 g(x)
in un intorno del limite l, e quindi la convergenza/divergenza dell'integrale di g si trasporta su f.

studi matematica?

cmq grazie ho capito quasi tutto quello che hai scritto

[Banus]

Originariamente inviato da tazok

studi matematica?

No, sono i ricordi di analisi I
Il prof era molto bravo. Ha insistito molto sui teoremi di confronto e sugli asintotici, e ha fatto bene