[mat]Un problema legato alla periodicità in Q

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

Domanda per incasinare lowenz: nella dimostrazione di non numerabilità dei reali si usa una relazione biunivoca fra decimali con unità 0 e reali fra 0 e 1. Come è possibile dal momento che numeri con periodo 9 sarebbero contati due volte?

Grazie

[jumpermax]

Originariamente inviato da Banus

La definizione dei reali come classi contigue


Ma in ogni caso in tutte le basi si trovano periodi "patologici" se il periodo è b-1. Ad esempio (0.(3))b3 = 1. E' proprio un problema della notazione posizionale.

Mi sa che volevi scrivere (0.(2))b3 = 1. Comunque non è un problema è solo un modo diverso per rappresentare lo stesso valore. Come cambiando base non cambiano i valori rappresentati, così scrivere 0.(9) o 1 non cambia il valore che si rappresenta.

Domanda per incasinare lowenz: nella dimostrazione di non numerabilità dei reali si usa una relazione biunivoca fra decimali con unità 0 e reali fra 0 e 1. Come è possibile dal momento che numeri con periodo 9 sarebbero contati due volte?

mmmh... visto che è per lowenz sto zitto...

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

E' proprio un problema della notazione posizionale.

Avevo ragione!

[jumpermax]

Originariamente inviato da lowenz

Ok, ma io ho chiesto in Q, non in R

siamo in Q infatti... quella è la definizione di R ma si fa partendo da Q

[lowenz]

Originariamente inviato da jumpermax

siamo in Q infatti... quella è la definizione di R ma si fa partendo da Q

OK, estraimi la radice di 2 stando in Q allora, visto che puoi usare la definizione di numero reale

[Banus]

Originariamente inviato da jumpermax

Mi sa che volevi scrivere (0.(2))b3 = 1.

Esatto
Però il problema di lowenz era notazionale... cioè perchè ci sono due notazioni per lo stesso numero, e come spiegarlo senza tirare in ballo i reali. Ma a quanto pare i decimali e i reali sono strettamente legati, e non è possibile evitare il passaggio R -> Q

[jumpermax]

Originariamente inviato da lowenz

OK, estraimi la radice di 2 stando in Q allora, visto che puoi usare la definizione di numero reale

Non è la stessa cosa: la coppia di classi contigue è definita in Q il numero separatore può esistere o meno in Q ma se esiste è unico... non c'è bisogno di scomodare R...

[Banus]

Originariamente inviato da jumpermax

Non è la stessa cosa: la coppia di classi contigue è definita in Q il numero separatore può esistere o meno in Q ma se esiste è unico... non c'è bisogno di scomodare R...

Invece quella che hai dato è (una) definizione dei numeri reali, cioè usare numeri reali o classi contigue di razionali è la stessa cosa. Infatti le classi contigue hanno le proprietà dei numeri reali, e non dei numeri razionali, ad esempio la completezza.

[jumpermax]

Originariamente inviato da Banus

Esatto
Però il problema di lowenz era notazionale... cioè perchè ci sono due notazioni per lo stesso numero, e come spiegarlo senza tirare in ballo i reali. Ma a quanto pare i decimali e i reali sono strettamente legati, e non è possibile evitare il passaggio R -> Q

veramente la notazione corretta è una sola, ma non diciamolo a lowenz... Le classi contigue comunque sono chiaramente definite in Q così come i numeri decimali che sono classi contigue pure loro.
0.(3) sarebbe
0+3/10+3/100+..+ 3/10^k+..

MA se lo andiamo a moltiplicare non possiamo ripartire allo stesso modo...

[jumpermax]

Originariamente inviato da Banus

Invece quella che hai dato è (una) definizione dei numeri reali, cioè usare numeri reali o classi contigue di razionali è la stessa cosa. Infatti le classi contigue hanno le proprietà dei numeri reali, e non dei numeri razionali, ad esempio la completezza.

Correzione, quella che io ho usato è una definizione dei numeri reali. Prendi la definizione di classi contigue e si dimostra che se esiste un numero separatore € a Q esso è unico. Non sfoci in R prendendo la definizione di numero reale...

[jumpermax]

Originariamente inviato da Banus

Domanda per incasinare lowenz: nella dimostrazione di non numerabilità dei reali si usa una relazione biunivoca fra decimali con unità 0 e reali fra 0 e 1. Come è possibile dal momento che numeri con periodo 9 sarebbero contati due volte?

hey lowenz non ha ancora risposto....

[ygnoto]

Ho abbastanza capito anche se alcune cose che avete detto non mi è stato facile capirle...




Grazie a tutti!!!

[The_Prof]

[quote=lowenz]Ma la frazione è una divisione....che dà UN risultato: o 1 o 0.9..... #[quote]

Buongiorno a tutti.

Non e' corretto quello che affermi.
L'ampliamento dell'insieme Z nell'insieme Q, tramite i metodi tipici dell'algebra relativi cioe' alla teoria degl'insiemi, e' stata fatta a causa dell'incompletezza di Z della divisione.
Gli elementi di Q, (coppie ordinate di elementi di Z) , vengono ottenuti tramite una relazione di equivalenza.
Ad esempio la coppia 1-2 e' equivalente alla coppia 2-4 .
Soprattutto nell'insegnamento elementare, le classi di equivalenza cosi' formate, vengono chiamate frazioni.
In seguito, nell'insegnamento elementare, si determina la rappresentazione decimale, tramite divisione della frazione, mostrando le rappresentazioni periodiche, ecc. che nel contesto puramente algebrico dell'insieme Q, non c'entrano nulla.
La rappresentazione decimale di periodo 9, non puo' essere ottenuta da nessuna frazione A/B con A e B numeri relativi.
Assomiglia al problema postato sotto di 1/0 = infinito.
Una frazione con denominatore 0 non e' definita.
Certamente alla retta reale R si potrebbero aggiungere i due punti +Inf e -Inf.
Cio' sarebbe vantaggioso da un punto di vista topologico (legato cioe' alla struttura d'ordine) ma se applicassimo questi simboli alle usuali operazioni algebriche, perveremmo a delle contraddizioni.
Questi due punti non esistono piu', una loro traccia e' la definizione d'intervallo o d'intorno.


Scusate l'intromissione

Ciao

[lowenz]

Originariamente inviato da The_Prof

Non e' corretto quello che affermi.
L'ampliamento dell'insieme Z nell'insieme Q, tramite i metodi tipici dell'algebra relativi cioe' alla teoria degl'insiemi, e' stata fatta a causa dell'incompletezza di Z della divisione.
Gli elementi di Q, (coppie ordinate di elementi di Z) , vengono ottenuti tramite una relazione di equivalenza.
Ad esempio la coppia 1-2 e' equivalente alla coppia 2-4 .
Soprattutto nell'insegnamento elementare, le classi di equivalenza cosi' formate, vengono chiamate frazioni.
In seguito, nell'insegnamento elementare, si determina la rappresentazione decimale, tramite divisione della frazione, mostrando le rappresentazioni periodiche, ecc. che nel contesto puramente algebrico dell'insieme Q, non c'entrano nulla.

OK, (so come nasce Q da Z ) io intendevo per "frazione" la rappresentazione simbolica (a/b) fatta coincidere con (a:b) previo cambiamento simbolo.
Infatti in Q, come tu dici, la rappresentazione decimale non conta nulla, peccato che sia fondamentale dal punto di vista pragmatico-intuitivo per noi

Assomiglia al problema postato sotto di 1/0 = infinito.
Una frazione con denominatore 0 non e' definita.
Certamente alla retta reale R si potrebbero aggiungere i due punti +Inf e -Inf.
Cio' sarebbe vantaggioso da un punto di vista topologico (legato cioe' alla struttura d'ordine) ma se applicassimo questi simboli alle usuali operazioni algebriche, perveremmo a delle contraddizioni.
Questi due punti non esistono piu', una loro traccia e' la definizione d'intervallo o d'intorno.

Se noti l'avevo spiegato (senza introdurre il concetto di intorno).

[jumpermax]

Originariamente inviato da The_Prof

La rappresentazione decimale di periodo 9, non puo' essere ottenuta da nessuna frazione A/B con A e B numeri relativi.

come no? la frazione 1/1 ha (o per meglio dire potrebbe avere) rappresentazione decimale 0.(9) Il punto è che 1.(0) e 0.(9) sono lo stesso numero che ovviamente ci è più comodo rappresentare nel primo modo piuttosto che nel secondo.
Il motivo per cui la rappresentazione 0.(9) non è corretta risiede nel come vengono costruiti i numeri decimali, di fatto il 9 periodico è escluso. Ma si potrebbe costruirli analogamente escludendo lo 0 periodico... non sarebbe molto pratico però!

[The_Prof]

Originariamente inviato da lowenz

OK, (so come nasce Q da Z ) io intendevo per "frazione" la rappresentazione simbolica (a/b) fatta coincidere con (a:b) previo cambiamento simbolo.
Infatti in Q, come tu dici, la rappresentazione decimale non conta nulla, peccato che sia fondamentale dal punto di vista pragmatico-intuitivo per noi


Se noti l'avevo spiegato (senza introdurre il concetto di intorno).

Si scusa l'ho visto.

Per il primo punto possiamo vederla cosi' .
Dal momento che le frazioni con denominatore 1 costituiscono in Q un insieme isomorfo a Z, possiamo supporre che ammettano due rappresentazioni decimali,

X,0000000 e X-1,999999999
dove X è il numeratore, anche se nell'uso pratico si adopera la prima.

Ciao

[lowenz]

Originariamente inviato da The_Prof

Per il primo punto possiamo vederla cosi' .
Dal momento che le frazioni con denominatore 1 costituiscono in Q un insieme isomorfo a Z, possiamo supporre che ammettano due rappresentazioni decimali,

X,0000000 e X-1,999999999
dove X è il numeratore, anche se nell'uso pratico si adopera la prima.

Ciao

OK, vada per la doppia rappresentazione

[jumpermax]

Originariamente inviato da lowenz

OK, vada per la doppia rappresentazione

ok ora che l'hai accettata posso dirti che è sbagliata...
http://www.batmath.it/matematica/a_d...appr_reali.htm

Consideriamo x Reale €[0,1[

Teorema 1:
Esiste una ed una sola successione a1, a2, ..., an, ... di interi dell'intervallo [0,9] tali che, per ogni intero n≥1 si ha:


Teorema 2:
La successione (ai) non può essere costantemente uguale a nove da un certo punto in poi.


Definizione: Una successione a1, a2, ..., an, ...di interi dell'intervallo [0,9] si dice un allineamento decimale. Tale allineamento decimale si dice proprio se non è costantemente uguale a nove da un certo punto in poi. Indicheremo l'insieme di tutti gli allineamenti decimali con D, l'insieme di tutti gli allineamenti decimali propri con DP.

Ora veniamo al subdolo tranello di Banus

Teorema 3:
La funzione , che a x appartiene [0,1[ associa il suo allineamento decimale proprio, è una biiezione.

nelle rappresentazioni si usano gli allineamenti propri...

[lowenz]

La successione (ai) non può essere costantemente uguale a nove da un certo punto in poi

A me resta cmq un dubbio: perchè posso costruirla sommando senza riporto due numeri periodici - allineamenti propri e rappresentazione decimale di 2 elementi di Q - come 0,(3)p e 0,(6)p?

[The_Prof]

Infatti la prima e' la rappresentazione propria e la seconda e' la rappresentazione impropria, che ha senso per chi ha voglia di farsi seghe mentali

Ciao Jumper