Analisi, definizione di Integrale

[8310]

Allora, vediamo di dare la definizione di integrale di Riemann, quella da cui “nasce tutto”.

Sia con f limitata in [a,b]. Sia con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:

- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:



dove



- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:



dove



Si consideri ora la famiglia di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:

- Integrale inferiore di Riemann:



- Integrale superiore di Riemann:



Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:

è limitato superiormente

è limitato inferiormente.

Quindi:





Si dimostra inoltre che




sono insiemi separati e che, di conseguenza



Se avviene che



allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:



Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:

Sia con f limitata in [a,b]. Condizione sufficiente affinché f sia integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] è che l’insieme dei punti di discontinuità della f in [a,b] sia finito o, al più, numerabile.

Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]

[lowenz]

Originariamente inviato da Fede

hai ripescato il nabrez...

Il Nabrez

Ma ci fa ancora l'onore di camminare su questa misera Terra?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da 8310

Allora, vediamo di dare la definizione più "generale di integrale" (integrale di Riemann), quella da cui “nasce tutto”.

Sia con f limitata in [a,b]. Sia con a= x0 < x1 < x2 < ... xn = b (P è una partizione dell’intervallo [a,b]). Si definiscono:

- Somma inferiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:



dove



- Somma superiore della f relativa alla partizione P dell’intervallo [a,b]:



dove



Si consideri ora la famiglia di tutte le partizioni dell’intervallo [a,b]. Si definiscono:

- Integrale inferiore di Riemann:



- Integrale superiore di Riemann:



Dall’ipotesi “f limitata in [a,b]” segue che:

è limitato superiormente

è limitato inferiormente.

Quindi:





Si dimostra inoltre che




sono insiemi separati e che, di conseguenza



Se avviene che



allora la funzione è integrabile secondo Riemann nell’intervallo [a,b] e in questo caso:



Senza addentrarsi troppo nella teoria, è utile riportare una condizione sufficiente di integrabilità secondo Riemann:


Da tale condizione sufficiente segue che:
1) Se la f è continua in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]
2) Se la f è monotona in [a,b] allora la f è integrabile secondo Riemann in [a,b]

Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!

[8310]

Originariamente inviato da Lucrezio

Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!

Interessante!
Prossimamente due paroline sull'integrazione in senso improprio (o generalizzato che dir si voglia)

[pietro84]

Originariamente inviato da Dias

Integrale è l'operatore inverso della derivata.

all'esame di analisi 1 la mia prof bocciò uno dello scientifico per aver detto questo e ne era anche sicurissimo
il concetto di inversa di una funzione implica una relazione 1 a 1.
mentre la derivata di una funzione è una singola funzione, l'integrale indefinito di una funzione è un insieme non limitato di funzioni.
quindi non si può parlare di inversa.

[8310]

Definiamo ora l'integrale improrio (o, con dizione equivalente, in senso generalizzato). E' un concetto molto semplice e intuitivo e allo stesso tempo molto importante per le applicazioni che trova in diversi campi. Consideriamo in proposito funzioni (continue) definite in intervalli non limitati superiormente, in intervalli non limitati inferiormente, in intervalli non limitati inferiormente né superiormente e infine funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli.

Si fa uso del concetto di funzione integrale:

Sia , Riemann integrabile in [a,b]. Si definisce funzione integrale della f in [a,b], la funzione tale che

- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente:

Sia , continua in [a,+inf). Se esiste finito



allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,+inf) e si ha:



- Funzioni definite in intervalli non limitati inferiormente:

Sia , continua in (-inf, a]. Se esiste finito



allora la funzione è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in (-inf,a] e si ha:




- Funzioni definite in intervalli non limitati superiormente né inferiormente:

Sia , continua in (-inf,+inf). In questo caso la f è integrabile in senso improprio in (-inf,+inf) se e solo se esiste un c reale tale che la f è integrabile in senso improprio in (-inf,c] e in [c,+inf). In tal caso si ha:



(N.B.: la scelta di c è assolutamente arbitraria e il risultato dell’integrazione è indipendente da c)

- Funzioni definite in intervalli limitati ma non limitate in tali intervalli:

Sia , continua in [a,b) e ivi non limitata. La f è integrabile in senso improprio (o generalizzato) in [a,b) se esiste finito



In tal caso si ha:



Stesso ragionamento per funzioni definite in intervalli del tipo (a,b] o (a,b) (e ivi non limitate).

[nin]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!

Aspetto Lebesgue

[The_ouroboros]

discussione interessante...uppete

[debiandarko]

mmm penso che per una migliore definizione di integrale di Riemann bisogna introdurre anche la misura di un insieme , insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e quindi la funzione caratteristica di un insieme ...

[The_ouroboros]

Originariamente inviato da debiandarko

mmm penso che per una migliore definizione di integrale di Riemann bisogna introdurre anche la misura di un insieme , insiemi misurabili secondo Peano-Jordan e quindi la funzione caratteristica di un insieme ...

se riuscissi a fare una cosa concisa non sarebbe malaccio

[lupin87]

per integrale si intende il limite per x tendente all infinito di Sn(Somma di cauchy)...La somma di Cauchy è la sommatoria per x=1 a x=n di f(ck) con ck elemento dell intervallo x(n)..x(n-1)con n>1 * (n-(n-1))..correggetemi se sbaglio

[mithrandirxxx]

Originariamente inviato da Dias

Integrale è l'operatore inverso della derivata.

non proprio...in realtà si dimostra che data un funzione def in un intervallo la funzione integrale F di f è derivabile nello stesso intervallo e si ha che F' = f per ogni x dell'intervallo.
inoltre ricordiamo che l'integrale non restituisce una sola primitiva della funzione ma un insieme (infinito per altro) di funzioni.

[Boostern]

Originariamente inviato da StepsOTM

Non avete dato la definizione + generale di integrale, proprio la primissima che si studia!

L'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, o meglio, calcolare un integrale indefinito significa trovare una funzione, detta primitiva, che se derivata dà la funzione integranda, cioè quella di partenza.

Per esempio: Sx^2dx = (x^3)/3 + c

c è una costante additiva: poiché la derivata di una costante è zero, bisogna aggiungerla alla primitiva per considerare tutti i casi possibili. Infatti:

D(x^3)/3 + c = x^2

E da qui in poi si tratta di regole e calcoli (integrali immediati, ecc.).

L'integrale definito serve invece, come spiegato da morpheus, a calcolare aree.

Byeee

Eresia! Questa non è una definizione, tant'è che puoi integrare una funzione che non ammette primitiva.

[Boostern]

Ottimo, 8310 ha dato la definizione

[Boostern]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ottimo lavoro (anche per l'uso del LaTeX!)
Magari posto Lebesgue prima o poi, allora!

Sai quante pagine ti ci vorrebbero per Lebesgue?

[kus90]

La definizione esatta? Flinstones

L'integrale è una famiglia di primitive (scherzi a parte! )

infatti la costante da aggiungere alla soluzione dell'integrale indefinito sta proprio a significare che la funzione trovata è solo una delle miriadi di funzioni che derivate danno l'integrale e differiscono tutte per una costante

[Cfranco]

Originariamente inviato da Boostern

Sai quante pagine ti ci vorrebbero per Lebesgue?

Difatti sono passati due anni

[gugoXX]

Originariamente inviato da luigiaratamigi

La conoscevo diversamente:

Ad una festa di funzioni, c'è e^x che st tutto solo.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non ti integri con noi?"
Ed e^x risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."

C'e' anche la versione da Analisi III.

Ad una festa di distribuzioni, c'è la Delta di Dirac che se ne sta tutta sola.
Gli si avvicina x^2 e gli dice:
"Perchè non cerchi di coinvolgerti con qualcuno?"
E la delta di Dirac risponde:
"No grazie, tanto è lo stesso...."