Logaritmi negativi

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Mi hanno sempre detto che l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, però:

log[base](argomento)=esponente

log[-2](-2)=1

inoltre mi hanno detto che è sbagliato dire:

log[-2](4)=2

sono io che mi perdo qualcosa, oppure è una semplice convenzione?

potremmo comunque definire una quantità immaginaria j come 1^j=-1

quindi:
log[2](-2)=j

come mai nessuno ci ha mai pensato prima?

prendiamo l'identità di eulero:
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_identity
e^1(pi)+1=0

Ln(-1)=i(pi) quindi j=i(pi)

però il significato dell'identità di eulero mi è sempre sfuggito, quindi potrebbe essere una cazzata...

qualcuno puo illuminarmi?

[Banus]

Originariamente inviato da dijo

qualcuno puo illuminarmi?

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

Aplicando la formula al tuo caso ottieni il risultato che hai trovato, più tutte le ripetizioni sull'asse immaginario

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da Banus

http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm

Aplicando la formula al tuo caso ottieni il risultato che hai trovato, più tutte le ripetizioni sull'asse immaginario

magari ho capito male...

ma pare che il tuo link parli di logaritmi di argomenti complessi, io parlo di logaritmi di risultato complesso e argomento negativo...

li parla di log(i), io parlo di log(-1)


O forse mi sbaglio.

però 2log(i)=log(-1)

e qui sembra che il cechio si chiuda...

quindi di sicuro ho un enorme confusione nella mia testa...

[Banus]

Originariamente inviato da dijo

ma pare che il tuo link parli di logaritmi di argomenti complessi, io parlo di logaritmi di risultato complesso e argomento negativo...

I numeri negativi sono anche numeri complessi; in particolare sono numeri complessi con modulo qualsiasi > 0 e con fase 180° (π).

Considera ora la formula:

Log(z) = Ln(r) + i*phi

Abbiamo r = |-1| e phi = π
Quindi:

Log(-1) = Ln(1) + i*π = i*π

Che è il risultato che hai trovato invertendo la formula di Eulero. Ma in questo modo puoi calcolare facilmente i logaritmi di qualsiasi numero negativo.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

capito...

io credevo di aver avuto una buona intuizione ed invece era da secoli che ste cose si sapevano...


e allora come mai continuano a dirci che i logaritmi negativi sono impossibili?

[Banus]

Originariamente inviato da dijo

e allora come mai continuano a dirci che i logaritmi negativi sono impossibili?

Perchè nel campo reale sono effettivamente impossibili. Nel campo complesso d'altra parte se si prende come definizione "elevando la base per il logaritmo si ottiene l'argomento" (inverso dell'esponenziazione) si scopre che non solo i numeri della formula precedente, ma anche quelli del tipo:

Ln(r) + i*(phi + 2kπ)

sono soluzioni valide, e quindi non hai più un solo valore... per questo si preferisce limitare il logaritmo ai soli reali positivi.

[pietro84]

Originariamente inviato da dijo

Mi hanno sempre detto che l'argomento di un logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero, però:

log[base](argomento)=esponente

log[-2](-2)=1

inoltre mi hanno detto che è sbagliato dire:

log[-2](4)=2

tutto ciò che si studia ad analisi1 per la funzione logaritmo vale se la base è maggiore di zero.
se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da pietro84

tutto ciò che si studia ad analisi1 per la funzione logaritmo vale se la base è maggiore di zero.
se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.

era nella prova del 2001 del dipartimento di alta matematica (credo)

oppure nella prova del politecnico o di matematica a milano.

Era con 16 e 4 (base). Le soluzioni erano: a) 4 b)+-4 c) 2 d) 8

Scelsi b ma me la diede come sbagliata, la risposta era a.

boh.

[pietro84]

Originariamente inviato da dijo

era nella prova del 2001 del dipartimento di alta matematica (credo)

oppure nella prova del politecnico o di matematica a milano.

Era con 16 e 4 (base). Le soluzioni erano: a) 4 b)+-4 c) 2 d) 8

Scelsi b ma me la diede come sbagliata, la risposta era a.

boh.

non ho capito... che domanda era?

se era:
log[4](16)

la c è corretta.
l'esponenete da dare a 4 per ottenere 16 è 2.
non ho capito cosa vuoi dire...

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da pietro84

non ho capito... che domanda era?

se era:
log[4](16)

la c è corretta.
l'esponenete da dare a 4 per ottenere 16 è 2.
non ho capito cosa vuoi dire...

log[a](16)=2

scelgi a tra queste possibilità ...

scusa sono stato poco chiaro.-

[pietro84]

Originariamente inviato da dijo

log[a](16)=2

scelgi a tra queste possibilità ...

scusa sono stato poco chiaro.-

ah ecco, ora sì.
infatti anche -4 avrebbe senso.
chissà perchè è sbagliato.....

[Banus]

Originariamente inviato da pietro84

se la base è minore di zero cambia il tutto.
ps perchè è sbagliata l'ultima espressione? non ci vedo niente di insensato:
l'esponente da dare a -2 per ottenere 4 è 2.

Credo che il problema sia definire in modo soddisfacente Log[-2](.).
Per argomenti scelti (2^2k in generale) non ci sono problemi, ma in altri casi?
Ad esempio che senso si può dare a Log[-2] (8) ?

Sfruttando la formula dei logaritmi complessi e la formula di conversione di base dei logaritmi è possibile ottenere una risposta, abbastanza brutta per la verità e che nel caso di Log[-2](4) neppure corrisponde a 2:

Log[-2](8) = 3Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Log[-2](4) = 2Ln(2) / [ln(2) + iπ]

Sapendo che il logaritmo complesso è multivalore è possibile recuperare 2 con un po' di astuzia. In ogni caso la definzione richiede il passaggio per i numeri complessi (con risposte in generale complesse) mentre l'esercizio di dijo era chiaramente ristretto ai numeri reali

[pietro84]

Originariamente inviato da Banus

Credo che il problema sia definire in modo soddisfacente Log[-2](.).
Per argomenti scelti (2^2k in generale) non ci sono problemi, ma in altri casi?
Ad esempio che senso si può dare a Log[-2] (8) ?

Sfruttando la formula dei logaritmi complessi e la formula di conversione di base dei logaritmi è possibile ottenere una risposta, abbastanza brutta per la verità e che nel caso di Log[-2](4) neppure corrisponde a 2:

Log[-2](8) = 3Ln(2) / [ln(2) + iπ]
Log[-2](4) = 2Ln(2) / [ln(2) + iπ]

Sapendo che il logaritmo complesso è multivalore è possibile recuperare 2 con un po' di astuzia. In ogni caso la definzione richiede il passaggio per i numeri complessi (con risposte in generale complesse) mentre l'esercizio di dijo era chiaramente ristretto ai numeri reali

sono d'accordo, però in quel particolare caso non è necessario ricorrere ai numeri complessi, l'espressione ha già un senso. non vedo nessuna ragione per cui debba essere sbagliata, anche operando nel campo reale.

[Banus]

Originariamente inviato da pietro84

sono d'accordo, però in quel particolare caso non è necessario ricorrere ai numeri complessi, l'espressione ha già un senso.

Ho ipotizzato un motivo per cui non si considera valida l'espressione nonostante presa secondo la definzione sia possibile trovare un valore. L'idea sottointesa è la necessità che la funzione sia definita su un intervallo, e non solo in punti notevoli. Questo commento sembra confermarlo:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55592.html