dimostrazione per induzione AIUTOOO

[D4rkAng3l]

Mi dite come si dimostra per induzione questa formula (non mi riesce)?

(1+a)^n =1 + n*a + ((n*(n-1))/2)*a^2
con a>0 ed n € N

Vi pregooo...mi vengono solo quelle con le sommatorie

[Ziosilvio]

Veramente la cosa è molto più complicata:

(1+a)^n = sommatoria [k da 0 ad n] "n choose k" a^k

dove "n choose k" è il coefficiente binomiale "n sopra k".
Non è che invece ti serviva di dimostrare che:

(1+a)^n >= 1+na per ogni a>0

che è più semplice, più corta, e tra l'altro vale addirittura per a>=-1?

Comunque, se ti serve proprio una dimostrazione per induzione della formula del binomio di Newton, che peraltro nel caso generale è:

(a+b)^n = sommatoria [k da 0 ad n] "n choose k" a^k b^(n-k)

non esitare a chiedere.

[Ziosilvio]

Comunque, (1+a)^n >= 1+na per ogni n>=0, a>=-1 si dimostra così:

Sia P[n] la proposizione "(1+a)^n>=1+na per ogni a>=-1".

Base dell'induzione: per n=0 si ha (1+a)^0=1=1+0a, quindi anche (1+a)^0>=1+0a.
Perciò, P[0] è vera.

Passo induttivo: supponiamo che per un certo n valga davvero (1+a)^n>=1+na per ogni a>=-1.
Sia a>=-1: possiamo scrivere (1+a)^(n+1)=(1+a)(1+a)^n.
Per ipotesi induttiva, (1+a)^n>=1+na; inoltre, essendo a>=-1, si ha 1+a>=0. Pertanto (1+a)^(n+1)>=(1+na)(1+a).
Ma (1+na)(1+a)>=1+(n+1)a+na^2>=1+na: combinando le disuguaglianze si ottiene (1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a.
Dato che non abbiamo scelto nessun valore speciale di n, possiamo concludere che, per ogni n>=0 e a>=-1, se (1+a)^n>=1+na, allora (1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a.
Perciò, per ogni n>=0 si ha che P[n] implica P[n+1].

Conclusione: per il Principio di induzione completa, P[n] è vera per ogni n>=0.
Ossia: per ogni n>=0, a>=-1 si ha (1+a)^n>=1+na.

[D4rkAng3l]

Grazie ZioSilvio...purtroppo temo di non aver capito molto bene....prendiamo per ora un esempi più facile...

Dimostrare per induzione che 5^n >= n+4 per n >= 1

1)Base dell'induzione: n = 1
5^1=1+4 ----> 5>=5 OK

2)Passo induttivo:

Suppongo vera la proposizione fino ad un certo valore k per cui assumo vero:
5^k = k+4 e la considero la mia ipotesi induttiva

Ora provo a verificare per (k+1) per cui ottengo

5*(k+4) >= (k+1)+4
5k+20 >= k+5

Questa va bene?

Grazie mille
Andrea

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l

Dimostrare per induzione che 5^n >= n+4 per n >= 1

1)Base dell'induzione: n = 1
5^1=1+4 ----> 5>=5 OK

2)Passo induttivo:

Suppongo vera la proposizione fino ad un certo valore k per cui assumo vero:
5^k = k+4 e la considero la mia ipotesi induttiva

Ora provo a verificare per (k+1) per cui ottengo

5*(k+4) >= (k+1)+4
5k+20 >= k+5

Questa va bene?

No: devi fare la verifica che da P[k] segue P[k+1], ossia in questo caso devi far vedere che da 5^k>=k+4 segue non che 5(k+4)>=(k+1)+4, ma che 5^(k+1)>=(k+1)+4.
E questo lo fai così:
5^(k+1)=5*5^k>=5*(k+4)>=k+5=(k+1)+4
dove la prima disuguaglianza segue dall'ipotesi induttiva.