Disuguaglianza di Jensen: cosa è?!

[Matrixbob]

Lo ho trovato in una dimostrazione ... che ha a che fare con densità di probabilità, etc .... (la materia è: "teoria dell'informazione classica").

Grazie a chi mi aiuta.

[ChristinaAemiliana]

[taddeus]

che robazza oribbbbile

[marco5]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
http://img75.exs.cx/img75/3934/jensen.jpg

non è chiarissimo ?

[Matrixbob]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

explain plz?!

[ChristinaAemiliana]

Aiuto!

Veramente scherzavo...quel coso messo così non ha molto senso, è solo un pezzo di un libro...e tra l'altro credo che sia un libro di matematica pura perché io la disuguaglianza di Jensen me la ricordo diversa...

Provo a cercare di dare una forma ai miei ricordi...spero che qualcuno corregga le eventuali scemenze che dico

Allora, io mi ricordo questo. Se io ho una variabile aleatoria X, che può essere la misura che risulta da un esperimento, che assume valori in un insieme A e f è la funzione densità di probabilità per X, allora definisco il valore atteso di X così:

E(X) = [integrale esteso ad A][xf(x) dx]

Se poi prendo una funzione g convessa su A (esistono definizioni diverse di convessità ma io mi ricordo quella secondo cui una funzione convessa ha derivata seconda continua e non negativa) allora la disuguaglianza di Jensen dice che

E[g(X)] > g[E(X)]

Questo almeno in una variabile...oltre quello dovrei andare a controllare su qualche testo, a memoria non ricordo di più...

[Matrixbob]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Aiuto!

Veramente scherzavo...quel coso messo così non ha molto senso, è solo un pezzo di un libro...e tra l'altro credo che sia un libro di matematica pura perché io la disuguaglianza di Jensen me la ricordo diversa...

Provo a cercare di dare una forma ai miei ricordi...spero che qualcuno corregga le eventuali scemenze che dico

Con calma con calma, quando hai tempo ... nessun problema so aspettare, nel frattempo ravanoi io anche.
Grazie.

[ChristinaAemiliana]

Ehi! Guarda cos'ho trovato! Che bello!

http://www.eco.uninsubria.it/VL/VL_I...t/expect1.html

Ho controllato, grosse scemenze non ne avevo scritte...certo però che in confronto a un matematico parlo coi piedi...

[kaioh]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Ehi! Guarda cos'ho trovato! Che bello!
http://www.eco.uninsubria.it/VL/VL_I...t/expect1.html

come dice il mio prof di meccanica, è una bella e sana masturbazione mentale

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
http://www.eco.uninsubria.it/VL/VL_I...t/expect1.html

Non male, ne' questa ne' la tua spiegazione.
E se mi ricordo bene, vale qualcosa di piu':
Una funzione g, definita su un insieme A, e' ivi convessa se e solo se soddisfa la disuguaglianza di Jensen per ogni variabile aleatoria X a valori in A.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
(esistono definizioni diverse di convessità ma io mi ricordo quella secondo cui una funzione convessa ha derivata seconda continua e non negativa)

Una funzione a valori reali f definita su un insieme A e' convessa in A, se ogni punto di A ammette un intorno in cui il grafico di f si trova "non al di sotto" del suo iperpiano tangente.
Questo e' lo stesso che dire che, scelti comunque due punti a e b in A, il valore di f su un qualsiasi punto del segmento che congiunge a e b, non e' al di sopra del valore che la funzione "retta che passa per i punti (a,f(a)) e (b,f(b))" assume nello stesso punto: ossia, se per ogni a e b in A e t in (0,1) vale f(ta+(1-t)b) <= tf(a)+(1-t)f(b) --- che peraltro e' la disuguaglianza di Jensen relativa alla misura di probabilita' che da' peso t al punto a, peso 1-t al punto b, e peso 0 altrove.
La disuguaglianza di Jensen si puo' allora leggere cosi': una funzione e' convessa se e solo se, comunque scelto un insieme di punti e pesi, il valore nel baricentro non supera mai il baricentro dei valori.
Una funzione convessa non ha necessariamente derivata seconda: per esempio, la funzione valore assoluto e' convessa in R ma non e' derivabile nell'origine.
In compenso:
- se A e' aperto e se f e' convessa in A allora f e' continua in A;
- se f e' convessa in A, allora il valore della derivata seconda di f in un punto di A, se esiste, e' non negativo.

[Ziosilvio]

Aggiungo qualche riga sul significato dell'espressione "funzione convessa".

Un insieme si dice convesso se, ogni volta che contiene due punti, contiene anche il segmento che li unisce.
Ad esempio, una palla è convessa, mentre una ciambella non è convessa.
(EDIT: una stesura precedente diceva "sfera" al posto di "palla" e "toro" al posto di "ciambella": ossia, avevo volgarmente confuso due solidi con le superfici che li delimitano. Chiedo perdono a tutti per questa svista madornale.)

Ora, dato un insieme A, si può considerare il cilindro di base A, ossia l'insieme delle coppie (a,t) con a in A e t in R.
Se f è definita su A a valori in R, allora il cilindro di base A è partizionato in tre insiemi:
- il grafico di f;
- il sopragrafico di f, ossia l'insieme delle coppie (a,t) con t>f(a);
- il sottografico di f.
Allora, f è convessa se e solo se il sopragrafico di f è un insieme convesso.
Dire invece che f è concava, equivale a dire che il sottografico di f è convesso, o equivalentemente, che -f è convessa.

[Matrixbob]

Ok ragazzi sta arrivando il tempo in cui nella mia relazione farò dimostrazioni che usano la teoria che voi mi avete aiutato a conoscere, speriamo bene ...
Al max vi rompo i maroni ancora una volta tanto non sapete coa fare no?!

[Ma non eiste uno emotion che si dal mazzate sulle baxxe?! ]