AnalisiMat - Botta&Risposta

[cagnaluia]

Ciao... volevo un pò raccogliere delle semplici e immediate domande/risposte... che mi saltano alla mente mentre leggo.. o faccio qualche esercizio di analisi..




Ad esempio.. in riferimento al teorema di Lagrange (valor medio), come si conferma l'ipotesi che: "Sia f una funzione definita e continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, e derivabile almeno in ]a,b[" ?? Cioè si ricava che la "f" è definita a continua in [a,b]? e quindi derivabile?

[maxsanty]

-

[cagnaluia]

oh no.. è più semplice di quanto io abbia fatto intendere, scrivendo quel che ho scritto..

solo in riferimento a lagrange...per avere un punto di partenza..

poi...quello che mi chiedevo era: come faccio a capire che una funzione definita in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, è continua e derivabile?


per un punto martin perse la cappa...


ma ti voglio dire di più...tutto nasce da questo esercizio:




quale la corretta?

[maxsanty]

-

[cagnaluia]

sei sicuro... dx?
o è sx...

[maxsanty]

-

[cagnaluia]

Originariamente inviato da maxsanty

Scusa SX ho sbagliato e me ne sono accorto adesso.


Bye
m.

...volevo uccidermi!!!


kkkk

[maxsanty]

-

[cagnaluia]

no importa

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da maxsanty

Sempre se non ricordo male, una funzione è continua (di classe C1) se non ci sono punti di discontinuita

Le funzioni continue sono di classe C0, non C1.
Per essere C1, deve essere continua anche la derivata prima.

la derivata del logaritmo di uno diviso x è uno diviso x

Casomai, è meno uno diviso x.

e per x=0 diventa uno

Cioè: meno uno.

controlla che le ipotesi di Lagrange diano la continuità in C1

La tesi del Teorema di Lagrange è soddisfatta anche senza la regolarità di classe C1.
Perciò, quello che serve a cagnaluia non è la continuità C1, ma un risultato che permetta di ricavare l'esistenza della derivata in un punto a partire dalla continuità nel punto e dall'esistenza dei limiti nel punto delle derivate sinistra e destra.
Questo risultato esiste (ESERCIZIO: dimostrare).

[cagnaluia]

le ipotesi del teorema di lagrange sono 2...
1.f(x) definita e continua su [a,b]
2.f(x) derivabile in ]a,b[

a me sembrano tutte soddisfare la 1.

ma di conseguenza anche la 2...ufff

[cagnaluia]

anzi no...

delle 4, quella sotto a sinistra è discontinua... su ascissa 0.

ma le altre.....

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

le ipotesi del teorema di lagrange sono 2...
1.f(x) definita e continua su [a,b]
2.f(x) derivabile in ]a,b[

a me sembrano tutte soddisfare la 1.

Non è come dici: una delle 4 funzioni non è continua nell'origine --- EDIT: ho letto adesso il tuo ultimo msg, chiedo scusa.
(E delle altre tre, solo una è derivabile nell'origine.)

ma di conseguenza anche la 2...ufff

La continuità non implica affatto la derivabilità: esistono funzioni continue in ogni punto della retta reale, ma derivabili in nessuno.
Per un esempio, cerca su Rudin, "Principi di analisi matematica", McGraw-Hill.
E' vero invece il contrario: una funzione derivabile in un punto è ivi continua.

Comunque, tornando alla tua domanda originaria:

come si conferma l'ipotesi che: "Sia f una funzione definita e continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, e derivabile almeno in ]a,b[" ?

se f ha una scrittura in termini di funzioni elementari la cosa si semplifica parecchio, in quanto f sarà derivabile (e/o continua) in ogni punto in cui lo sono tutte le sue "componenti".

Tanto per fare un esempio, vediamo la prima funzione:

f(x) = log(1+x) se x>=0, x^2 se x<0

Dato che log(1+x) è derivabile in (-1,+oo) e x^2 è derivabile ovunque, l'unico punto in cui puoi avere problemi è l'origine, in cui la funzione è definita prima in un modo e poi nell'altro.
Calcoliamo il limite della funzione nell'origine, se esiste: dato che log(1+x) tende a log(1)=0 per x che tende a 0 da destra, e x^2 tende a 0 per x che tende a 0 da sinistra, il limite di f(x) per x che tende a 0 esiste e vale 0 (che poi è anche il valore di f in 0).
Ora, f è derivabile nell'origine se e solo se esistono e sono uguali i due limiti:

       log(1+x)-log(1+0)
lim    -----------------
x-->0+        x-0

       x^2-0^2
lim    -------
x-->0-   x-0

Ma il primo limite vale 1 e il secondo vale 0: quindi f non è derivabile nell'origine.
(Questo fatto si poteva vedere anche con quel teoremino che vi avevo dato da dimostrare per esercizio...)

[maxsanty]

-

[cagnaluia]

quindi la risposta corretta è presumibilmente la funzione in basso a dx....


anche però, non ho capito ben come faccia a fare 1 e 0 rispettivamente questi lim.

log(1+x)-log(1+0)
lim -----------------
x-->0+ x-0

x^2-0^2
lim -------
x-->0- x-0


-----------------------------------







PS: Stò a Trento... da Gennaio... prima a Venezia... Padova lho sempre evitata come la morte!

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

quindi la risposta corretta è presumibilmente la funzione in basso a dx....

Boh... io avevo votato quella in basso a sinistra, ora ricontrollo...
... e infatti mi ero sbagliato io, quella "buona" è proprio quella in basso a destra, bravo!

anche però, non ho capito ben come faccia a fare 1 e 0 rispettivamente questi lim.

lim {x-->0} (log(1+x) / x) = 1, limite notevole.
O anche: trasformando x+1=e^t, questo diventa lim {t-->0} (t / (e^t-1)), reciproco di un limite notevole.
O anche: log(1+x) è di classe C-infinito in (-1,+oo), quindi la derivata in x=0 esiste ed è il limite in x=0 della derivata di log(1+x) rispetto a x, che è 1/(1+x).

lim {x-->0} (x^2 / x) = 0, immediato.

[cagnaluia]

yuppi!!


ok... capita la storia dei limiti...
e tutto grazie a voi/te !




passiamo ad altro?
a te piace, lo sò!


Il gestore di un bar ha provato diversi prezzi per una tazza di caffè e ha contato il numero di tazze servite. I risultati sono nella seguente tabella dove p è il prezzo (in cent) e T è il numeo medio di tazze servite in una settimana (in migliaia):

p | 75 | 80 | 85 | 90
----------------------------
T | 2,8 | 2,5 | 2,3 | 2


1. Il costo di preparazione del caffè è uguale a 40cent. Completare la tabella con un'ultima riga che mostri il guadagno settimanale (euro) del gestore per ciascun prezzo.


2. stimare T'(80).


3. Approssimiamo T(p) con la retta tangente in p=80, usando il valore stimato sopra per T'(80). Fornire l'espressione analitica di questa approssimazione.


4. Usando l'approssimazione lineare per T(p), a quale prezzo il gestore massimizzerà il guadagno?




ok, inizio a mettere giu qualcosa..

[cagnaluia]

ci aggiungo questo...




Secondo me, assumendo che il grafico di questa funzione è una parabola, e che "alfa" nn influsce se nn sull ampiezza della stessa.... questa nn presente nessun massimo locale, bensì un minimo assoluto in x=0 (anche relativo).

Corretto? la 4.. per nessun valore di alfa.

[cagnaluia]

e questo:



io credo questo:
all'infinito e^-x tende a 0... possiamo tralasciarlo e concentrarci sul resto.

2x^2 + x
------------
x^2 - x

=


2x + 1
----------
x - 1


poi...


verrebbe da dire che il limite risulta 2...

[lupandre]

togli e^-x che va a zero e si trascura.
raccogli x^2 sopra e sotto e lo semplifichi...
i termini 1/x vanno a zero, ti resta 2.


poi anche secondo me x^4+ax^2 nn ha massimi relativi, tende a +infinito a sinistra e a destra, ha asse di simmetria sull'asse y. derivata sempre positiva tranne in zero dove vale zero (minimo assoluto).
però così ad occhio, nn garantisco.