[Controlli Digitali] Z-Trasformate

[luxorl]

Ciao, sto seguendo controlli digitali dove ho un prof che mentre spiega corre parecchio.. quindi gli appunti escono fuori parecchio disordinati.. ora rileggendo gli appunti relativi alle Z-Trasformate mi chiedevo se è giusto dire le seguenti cose:

-La Z-Trasformata di una funzione f(k) è definita come la sommatoria (con K che va da 0 a infinito) della funzione f(k) moltiplicata z^-k, dove z è un numero complesso.

-Il modulo di F(Z) cioè |F(Z)| può essere:
A)Limitato (Cioè è un numero non infinito?)
B)Illimitato (Cioè è un numero infinito?)

Dove è limitato: si parlerà di Regime di Convergenza (o di regione di convergenza? in caso dove sta precisamente la differeza?)

Dove è illimitato: si parlerà di Regime (o Regione, stessa domanda di prima) di Divergenza.

Nel controllo digitale a noi interessa arrivare ad una rappresentazione finita e questo si verifica solo se il |F(Z)| (modulo i F(Z)) è limitato. In tal caso tutta la serie tende a zero. (Qui si riferisce a tutta la serie F(Z) cioè alla sommatoria ecc ecc??)

Come sempre grazie.

[lowenz]

Credo proprio sia REGIONE, non regime
Mai sentito parlare di REGIME di convergenza.

[luxorl]

Originariamente inviato da lowenz

Credo proprio sia REGIONE, non regime
Mai sentito parlare di REGIME di convergenza.

Ma è la stessa regione di convergenza che alla fine si rileva essere tutti i punti esterni ad una circonferenza nel piano complesso?

[Banus]

Originariamente inviato da luxorl

Nel controllo digitale a noi interessa arrivare ad una rappresentazione finita e questo si verifica solo se il |F(Z)| (modulo i F(Z)) è limitato. In tal caso tutta la serie tende a zero. (Qui si riferisce a tutta la serie F(Z) cioè alla sommatoria ecc ecc??)

Sono i singoli termini a tendere a zero (per la condizione necessaria di convergenza); la sommatoria (cioè F(Z) in definitiva) assume semplicemente un valore finito (uguale o diverso da zero, non importa).

Ma è la stessa regione di convergenza che alla fine si rileva essere tutti i punti esterni ad una circonferenza nel piano complesso?

Sì, è un insieme di punti z nel piano complesso in cui la serie converge. Ad esempio se consideri il segnale costante f(k) = 1 hai una serie geometrica di ragione z^-1, che quindi converge per |z| > 1.

[pietro84]

Originariamente inviato da luxorl

Ciao, sto seguendo controlli digitali dove ho un prof che mentre spiega corre parecchio.. quindi gli appunti escono fuori parecchio disordinati.. ora rileggendo gli appunti relativi alle Z-Trasformate mi chiedevo se è giusto dire le seguenti cose:

-La Z-Trasformata di una funzione f(k) è definita come la sommatoria (con K che va da 0 a infinito) della funzione f(k) moltiplicata z^-k, dove z è un numero complesso.

-Il modulo di F(Z) cioè |F(Z)| può essere:
A)Limitato (Cioè è un numero non infinito?)
B)Illimitato (Cioè è un numero infinito?)

Dove è limitato: si parlerà di Regime di Convergenza (o di regione di convergenza? in caso dove sta precisamente la differeza?)

Dove è illimitato: si parlerà di Regime (o Regione, stessa domanda di prima) di Divergenza.

Nel controllo digitale a noi interessa arrivare ad una rappresentazione finita e questo si verifica solo se il |F(Z)| (modulo i F(Z)) è limitato. In tal caso tutta la serie tende a zero. (Qui si riferisce a tutta la serie F(Z) cioè alla sommatoria ecc ecc??)

Come sempre grazie.

si dice regione di convergenza.
il resto mi sembra sensato tranne l'ultima parte:
se |F(z)| è limitato non significa niente dire che tutta la serie tende a zero.
forse si vuole intendere che la somma della serie è un numero finito, e quindi è possibile utilizzare la trasformata per risolvere le equazioni alle differenze.

[luxorl]

Originariamente inviato da Banus

Sono i singoli termini a tendere a zero (per la condizione necessaria di convergenza); la sommatoria (cioè F(Z) in definitiva) assume semplicemente un valore finito (uguale o diverso da zero, non importa).


Sì, è un insieme di punti z nel piano complesso in cui la serie converge. Ad esempio se consideri il segnale costante f(k) = 1 hai una serie geometrica di ragione z^-1, che quindi converge per |z| > 1.

Si infatti dopo il prof ha fatto prima l'esempio in generale con una funziona a^k
ed esce |z|>|a|.. poi i singoli esempi.. gradino ecc ecc..

Ma quello che non mi è ancora chiaro è che per parlare di regione di convergenza c'è bisogno che il modulo di F(Z) sia limitato.. però questo modulo non c'entra nella determinazione della circonferenza sul piano complesso (a questa ci si arriva usando come funzione a^k e la serie troncata)... praticamente che il modulo di F(Z) sia limitato è una condizione necessaria ma non sufficiente?

in poche parole per esserci convergenze non basta che il modulo di F(Z) sia limitato ma c'è bisogno (e si ci arriva usando nella dimostrazione la funziona a^k e la serie geometrica troncata) anche che |az^-1|^n tenda a zero e questo corrisponde a dire che |az^-1|<1... da cui |z|>|a| giusto?

[luxorl]

E poi volevo capire bene un'altra cosa..

Se prendo un valore di z per cui F(Z) cade nella regione di divergenza questo praticamente che significa? la serie non convergerà mai.. e questo nel controllo digitale che significa?

[lowenz]

Originariamente inviato da luxorl

e questo nel controllo digitale che significa?

Che il tuo controllore digitale non rende il sistema asintoticamente stabile.....cioè non controlla.....cioè il sistema salta in aria

[luxorl]

Originariamente inviato da lowenz

Che il tuo controllore digitale non rende il sistema asintoticamente stabile.....cioè non controlla.....cioè il sistema salta in aria

Ok, ma se si fa la trasformata z di un segnale per esempio il gradino che ha come regione di convergenza l'esterno del cerchio unitario che significa praticamente prendere un valore di z all'interno della circonferenza? che la trasformata z "non è più associabile" al segnale trasformato?

[pietro84]

Originariamente inviato da luxorl

Ok, ma se si fa la trasformata z di un segnale per esempio il gradino che ha come regione di convergenza l'esterno del cerchio unitario che significa praticamente prendere un valore di z all'interno della circonferenza? che la trasformata z "non è più associabile" al segnale trasformato?

succede che |F(z)|------> inf se prendi un valore di z fuori dalla regione di convergenza. Quindi non ti è di nessuna utilità nel progetto del controllore.
E' utile invece conocere la posizione dei poli e degli zeri della funzione F(z).