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[Myst1c]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Uno dei modi, è dividere numeratore e denominatore per x^2+1.

Ce n'è un altro più illuminante. Tu hai:

Applica la regola di derivazione del rapporto in questo modo:

Vedi da te che numeratore e denominatore sono entrambi divisibili per 1+x^2. Semplifica:

e sviluppa

Se non ci fossi bisognerebbe inventarti . Grazie mille Ziosilvio!

[retorik]

Salve
per risolvere una equazione irrazionale fratta (radice di x al denominatore), si fa il minimo comune multiplo, si fanno le condizioni di esistenza del denominatore e poi si manda via, giusto?

Se il minimo comune multiplo è √x*(4 + √x) le condizioni di esistenza sono x>0 e x >16 ?

[Fenomeno85]

Originariamente inviato da Morkar Karamat

Sul teorema di Cantor:

Supponiamo per assurdo che esista una applicazione biunivoca g:A --> P(A).

B={aєA | a!єg(a)}, ovvero B contiene gli elementi di A che non appartengono alla propria immagine su P(A) ottenuta applicando g.
Con un esempio sui numeri naturali dovrebbe essere + chiaro :
A = {0,1,2,...} P(A)={{},{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}...}

Definisco, come esempio, i primi valori dell'ipotetica g:
g(0) = {0}
g(1) = {0,1}
g(2) = {}
g(3) = {0,1,2}
g(4) = {4}
...

In questo esempio B = {2,3...} ma non ci sono 0,1,4 rileggendo come è costituito B e guardando l'esempio dovrebbe risultare banale il motivo.

grazie

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Fenomeno85

I miei problemi iniziano da "Se invece consideriamo una relazione ..."

La relazione ker f equivale ad "avere la stessa immagine mediante f": ossia, (a1,a2) in ker f se e solo se f(a1)=f(a2).

Stando così le cose, prendi una qualsiasi relazione di equivalenza rho su A: devi trovare una funzione f : A --> A/rho tale che ker f = rho nel senso delle relazioni, ossia che (a1,a2) in rho se e solo se f(a1)=f(a2).
E questo lo fai semplicemente ponendo f(a) uguale alla classe di equivalenza secondo rho cui appartiene a.
Così facendo, infatti, (a1,a2) in rho se e solo se la classe di equivalenza di a1 secondo rho è uguale alla classe di equivalenza di a2 secondo rho, ossia, per costruzione, se e solo se f(a1)=f(a2).

Veniamo ora al Primo teorema di fattorizzazione.
Sia f : A --> B una funzione e sia p : A --> A/ker f la proiezione canonica di A: ossia, sia p(a) l'insieme degli x in A tali che f(x)=f(a).
Il teorema dice che esiste una e una sola funzione iniettiva g : A/ker f --> B tale che g-dopo-p=f.
Come fai a costruire g? Se x in A/ker f è una classe di equivalenza, basta porre g(x)=f(a) dove a è un qualsiasi elemento di x.
Vedi da te che g è una funzione e che g-dopo-p=f.
Inoltre g è iniettiva, perché se g(x)<>g(y), allora f(a)<>f(b) per ogni a in x e b in y, quindi x e y sono distinte.
Inoltre, data h : A/ker f --> B, se per qualche x in A/ker f si ha h(x)<>g(x), allora si ha anche h-dopo-p(a)=h(x)<>g(x)=f(a) qualunque sia a in x, quindi h-dopo-p<>f: quindi g è unica.
Infine, osserva come per costruire g non sia necessario l'Assioma di Scelta.

Altra cosa che non capisco è sul teorema di Cantor come costruisco B

Ti sei posto nell'ipotesi (che dovrà rivelarsi assurda) che esista una biiezione g : A --> P(A).
Per costruzione, g(a) è un insieme quale che sia a in A, per cui ha senso chiederti se a sia in g(a) oppure no.
Sia B l'insieme di tutti gli a in A che verificano la proprietà di "non appartenere alla propria immagine mediante g".
Essendo g una biiezione, deve esistere b in A tale che B=g(b). Ma allora, le seguenti sono equivalenti:
- b in B;
- b non in g(b) (perché B è l'insieme degli a non in g(a));
- b non in B (perché g(b)=B)
e questo è assurdo.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da retorik

per risolvere una equazione irrazionale fratta (radice di x al denominatore), si fa il minimo comune multiplo, si fanno le condizioni di esistenza del denominatore e poi si manda via, giusto?

Giusto.

Se il minimo comune multiplo è √x*(4 + √x) le condizioni di esistenza sono x>0 e x >16 ?

Se intendi

allora x>0 è sufficiente (x>=0 perché siano definite le radici quadrate, e x<>0 perché il denominatore non sia nullo).

Se invece intendi

allora devi avere
1) x>=0,
2) x(4+sqrt(x))>=0, e
3) x(4+sqrt(x))<>0
e fai presto a vedere che l'unica condizione x>0 le esprime tutte e tre insieme.

[retorik]

Innanzi tutto grazie per la disponibilità.

Originariamente inviato da Ziosilvio

Se intendi

allora x>0 è sufficiente (x>=0 perché siano definite le radici quadrate, e x<>0 perché il denominatore non sia nullo).

Sicuramente non è il secondo perchè non ho idea di cosa sia sqrt. Intendo che il minimo comune multiplo di più fattoria sia √x* (4 + √x). (la prima radice si ferma alla x).

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da retorik

non ho idea di cosa sia sqrt

sqrt(x) è un modo per dire "square root of x", ossia radice quadrata di x.

la prima radice si ferma alla x

OK, quindi era il primo.

[retorik]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Giusto.

Se intendi

allora x>0 è sufficiente (x>=0 perché siano definite le radici quadrate, e x<>0 perché il denominatore non sia nullo).

Ma non ho capito questa scrittura: perchè hai scritto (4+/√x ) / √x (e non *)

Comunque se ho capito bene il ragionamento è questo: al denominatore ho una radice di x moltiplicata per (4+√x).
La prima condizione è x>0 (per quanto riguarda la radice di x perchè una radice non può essere minore di 0 e in questo caso neanche uguale perchè è al denominatore), la seconda è il sistema di -4<0 e √x > 0 quindi x>0.

[stbarlet]

Originariamente inviato da retorik

Ma non ho capito questa scrittura: perchè hai scritto (4+/√x ) / √x (e non *)

Comunque se ho capito bene il ragionamento è questo: al denominatore ho una radice di x moltiplicata per (4+√x).
La prima condizione è x>0 (per quanto riguarda la radice di x perchè una radice non può essere minore di 0 e in questo caso neanche uguale perchè è al denominatore), la seconda è il sistema di -4<0 e √x > 0 quindi x>0.

Perche stai usando IE, mentre lui per scrivere le espressioni usa LaTex e in tale linguaggio il per non é *

[retorik]

Capito.
Un'altra cosa: se ho una cosa del tipo
√f(x) + √(gx) > n
Faccio il sistema con le condizioni:
√f(x) ≥ 0
√g(x) ≥ 0
Poi devo elevare: è indifferente la posizione di f(x) e di g(x)? Cioè io posso fare sia [ √f(x) ]^2 > [ n-√(gx) ]^2 sia [ √f(x) + √(gx) ]^2 > n^2 ?

Grazie

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da retorik

perchè hai scritto (4+/√x ) / √x (e non *)

Perché due termini affiancati si sottintendono moltiplicati.

La prima condizione è x>0 (per quanto riguarda la radice di x perchè una radice non può essere minore di 0 e in questo caso neanche uguale perchè è al denominatore)

L'argomento di una radice quadrata non può essere negativo, quindi devi accertarti che x sia non negativo, affinché la radice abbia senso.
E poi: sì, essendo un fattore del denominatore, deve essere sqrt(x)<>0, il che implica x>0.

la seconda è il sistema di -4<0 e √x > 0 quindi x>0.

No: tutto quello che ti serve è 4+x>=0, che è un'equazione sola, e che è verificata per x>=-4.
Dato che sai già che deve essere x>0, vai tranquillo.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da retorik

se ho una cosa del tipo
√f(x) + √(gx) > n
Faccio il sistema con le condizioni:
√f(x) ≥ 0
√g(x) ≥ 0

No: i confronti sono f(x)>=0 e g(x)>=0.

Poi devo elevare: è indifferente la posizione di f(x) e di g(x)? Cioè io posso fare sia [ √f(x) ]^2 > [ n-√(gx) ]^2 sia [ √f(x) + √(gx) ]^2 > n^2 ?

Sì; delle tre (perché puoi anche lasciare tutto com'era, prima di elevare al quadrato) scegli quella che ti fa più comodo.

[retorik]

Originariamente inviato da Ziosilvio

No: tutto quello che ti serve è 4+x>=0, che è un'equazione sola, e che è verificata per x>=-4.

Perchè? La radice è solo sulla x, sul 4 no.
Io ho risolto 4+√x>0 che viene √x>-4 ovvero x>0

Un'ultima cosa, per risolvere questo

come faccio lo studio? Faccio il mcm e poi?

Grazie 1000, siete davvero gentilissimi.

[retorik]

Non so se mi sono spiegato devo fare le C.E al denominatore di 4+√x.

[stbarlet]

Originariamente inviato da retorik

Perchè? La radice è solo sulla x, sul 4 no.
Io ho risolto 4+√x>0 che viene √x>-4 ovvero x>0

Un'ultima cosa, per risolvere questo



come faccio lo studio? Faccio il mcm e poi?

Grazie 1000, siete davvero gentilissimi.

prima ti trovi il CE dei denominatori, che dev essere strettamente maggiore di 0. Fai MCM, e sviluppi i calcoli, dividi per l`mcm tanto sai che é sempre positivo a questo punto ti ritrovi una disequazione con i radicali che risolvi con i metodi che sai.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da retorik

Io ho risolto 4+√x>0 che viene √x>-4 ovvero x>0

Vero: la condizione era che sqrt(4+sqrt(x)) deve essere definita, quindi x>=0 e 4+sqrt(x)>=0: quest'ultima però si riscrive sqrt(x)>=-4, che è verificata automaticamente perché la radice quarata è una funzione a valori non negativi.

per risolvere questo
[CUT]
come faccio lo studio? Faccio il mcm e poi?

Quando fai il mcm, moltiplichi entrambi i termini per quantità non negative (e non nulle), quindi il verso si conserva.
Per cui,

equivale a

che, elevando al quadrato entrambi i membri, equivale a

Ma 1+x>4-4x è lo stesso che 5x>3, ossia x>3/5.
Dato che devi già avere x>-1 e x<1, l'insieme delle soluzioni è l'intervallo aperto (3/5,1).

[stbarlet]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Vero: la condizione era che sqrt(4+sqrt(x)) deve essere definita, quindi x>=0 e 4+sqrt(x)>=0: quest'ultima però si riscrive sqrt(x)>=-4, che è verificata automaticamente perché la radice quarata è una funzione a valori non negativi.

Quando fai il mcm, moltiplichi entrambi i termini per quantità non negative (e non nulle), quindi il verso si conserva.
Per cui,

equivale a

che è verificata ovunque è definita, perché la radice quadrata è una funzione monotona crescente, per cui sqrt(x)<sqrt(y) se e solo se x<y.

a me non sembra

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da stbarlet

a me non sembra

Vero: ho dimenticato un fattore 2. Ora correggo il post originale.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

ma il seno è una classe di resto modulo 2pi?

il modulo del seno è una classe di resto modulo pi?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da dijo

ma il seno è una classe di resto modulo 2pi?

il modulo del seno è una classe di resto modulo pi?

Mi sa che stai facendo molta confusione coi termini.
Una "classe di resto" è un insieme di numeri che hanno tutti lo stesso resto modulo un certo numero, ossia che si scrivono tutti nella forma x=ny+k, dove n è intero, e y e k sono sempre gli stessi.
Il seno è una funzione periodica di periodo 2 Pi, ossia per ogni x reale e k intero si ha sin(x+2*k*Pi)=sin(x).
Detto ciò, ricorda che si ha sin(x+Pi)=-sin(x) per ogni x.