[FISICA] Perchè posso affermare che E è conservativo, mentre B no?! - Pagina 2

Matrixbob · 06-09-2006, 12:35

E qui è uniforme, radiale e conservativo?!

Essendo diventato E circolare e rotazionale allora non è + conservativo?!

Matrixbob · 07-09-2006, 10:54

Ma cosa è 1 dominio semplicemente connesso?!

Matrixbob · 07-09-2006, 10:54

Quindi anche in questo 3D riassumendo è venuto fuori che:
1 campo vettoriale è conservativo quando è irrotazionale od ha circuitazione nulla.

E' solitamente 1 campo radiale.

8310 · 08-09-2006, 13:09

Quote:

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

Infatti è una condizione sufficiente ma non necessaria

8310 · 08-09-2006, 13:13

Quote:

Originariamente inviato da Matrixbob

Ma cosa è 1 dominio semplicemente connesso?!

Supponiamo di trovarci in R^2 (ma anche in C volendo

); Sia A sottoinsieme di R^2 aperto e connesso; A è un dominio semplicemente connesso se ogni curva gamma chiusa, semplice, generalmente regolare, contenuta in A è la frontiera di un dominio limitato contenuto in A

gurutech · 08-09-2006, 19:05

Quote:

Originariamente inviato da Matrixbob

Ma cosa è 1 dominio semplicemente connesso?!

io l'ho sempre capita così:

prendi un pezzo di piano come insieme
prendi 2 punti A e B di questo pezzo di piano
unisci i punti con una retta

se comunque tu scelga A e B la retta rimane contenuta nel tuo pezzo di piano allora il tuo insieme è semplicemente connesso.

questo non accade ad esempio per una ciambella. se prendi due punti diametralmente opposti e provi ad unirli la retta passa per il buco, uscendo fuori dall'insieme ciambella. non è molto matematico ma è più buono. (alla prossima la teoria del Pane e Nutella per il silicio)

(poi i matematici pensano sempre a n dimensioni come se fosse antani. io ho incontrato qualche buon prof che mi ha fatto degli esempi nel mondo che vediamo!)

Matrixbob · 08-09-2006, 19:52

Quote:

Originariamente inviato da gurutech

io l'ho sempre capita così:

prendi un pezzo di piano come insieme
prendi 2 punti A e B di questo pezzo di piano
unisci i punti con una retta

se comunque tu scelga A e B la retta rimane contenuta nel tuo pezzo di piano allora il tuo insieme è semplicemente connesso.

questo non accade ad esempio per una ciambella. se prendi due punti diametralmente opposti e provi ad unirli la retta passa per il buco, uscendo fuori dall'insieme ciambella. non è molto matematico ma è più buono. (alla prossima la teoria del Pane e Nutella per il silicio)

(poi i matematici pensano sempre a n dimensioni come se fosse antani. io ho incontrato qualche buon prof che mi ha fatto degli esempi nel mondo che vediamo!)

OTTIMO! Facile ed immediato.

Matrixbob · 08-09-2006, 19:52

Quote:

Originariamente inviato da gurutech

io l'ho sempre capita così:

prendi un pezzo di piano come insieme
prendi 2 punti A e B di questo pezzo di piano
unisci i punti con una retta

se comunque tu scelga A e B la retta rimane contenuta nel tuo pezzo di piano allora il tuo insieme è semplicemente connesso.

questo non accade ad esempio per una ciambella. se prendi due punti diametralmente opposti e provi ad unirli la retta passa per il buco, uscendo fuori dall'insieme ciambella. non è molto matematico ma è più buono. (alla prossima la teoria del Pane e Nutella per il silicio)

(poi i matematici pensano sempre a n dimensioni come se fosse antani. io ho incontrato qualche buon prof che mi ha fatto degli esempi nel mondo che vediamo!)

OTTIMO! Facile ed immediato, Lucrezio impara!

8310 · 08-09-2006, 20:09

Quote:

Originariamente inviato da Matrixbob

OTTIMO! Facile ed immediato, Lucrezio impara!

Beh, una cosa è una definizione che DEVE essere rigorosa per non perdere di generalità, ben altra cosa sono i metodi rustici

8310 · 08-09-2006, 20:10

Quote:

Originariamente inviato da gurutech

(poi i matematici pensano sempre a n dimensioni come se fosse antani. io ho incontrato qualche buon prof che mi ha fatto degli esempi nel mondo che vediamo!)

prematura la supercazzola.....

Lucrezio · 08-09-2006, 20:15

Quote:

Originariamente inviato da Matrixbob

OTTIMO! Facile ed immediato, Lucrezio impara!

Ecco come mi hai fatto sentire

Matrixbob · 08-09-2006, 20:50

Quote:

Originariamente inviato da Lucrezio

Ecco come mi hai fatto sentire

Guarda che scherzavo, senza di te sarei perennemente così:

Adesso però non ho scherzato.

AleX_ZeTa · 08-09-2006, 20:54

ehm... si, facile e immediato... ma anche sbagliato, completamente sbagliato: prendi una semicirconferenza in R^2, e due punti a caso... comunque tu prenda una retta tra due punti questa NON è contenuta nella semicirconferenza. Eppure è semplicemente connessa!
Inoltre, se anche avesse un qualche senso, varrebbe solo per R^2... e per il campo elettrico ti serve R^3, visto che è funzione delle tre coordinate spaziali (tra l'altro in R^2 il rotore, così come lo conosci tu, non ha alcun senso)

Diamo per bene la definizione di aperto semplicemente connesso...
prima serve quella di omotopia e di cammino chiuso.

cammino chiuso in un aperto W di R^n : funzione f:[a,b] -> W continua tale che f(a) = f(b)
due cammini (a valori dallo stesso dominio [a,b] nello stesso aperto W di R^n) si dicono omotopi se esiste una funzione continua F : [a,b]x[0,1] -> W tale che:
F(a,s) = F(b,s) per ogni s in [0,1]
F(t,0) = f(t) e F(t,1) = g(t) per ogni t in [a,b]
in pratica due cammini sono omotopi se esiste una deformazione continua che porta l'uno nell'altro, se puoi stirare uno dei due in modo continuo fino a farlo diventare uguale all'altro.

Aperto semplicemente connesso: un aperto connesso nel quale ogni cammino è omotopo al cammino costante (tutti i cammini costanti di un aperto connesso sono omotopi... basta prendere una qualsiasi curva che va dall'uno all'altro - esiste sempre, siamo in R^n - e spostare un punto sull'altro lungo questa curva).

Qualche esempio: se a R^2 togliamo un punto abbiamo un aperto che NON è semplicemente connesso: prendi un qualsiasi cammino che gira attorno al punto che hai tolto... comunque lo deformi girerà sempre attorno al punto che hai tolto. Quindi se fosse omotopo ad un cammino costante sarebbe omotopo al cammino costante nel punto che hai tolto. Ma l'hai tolto! Quindi quello non è un cammino nell'aperto che stiamo considerando, perciò il tuo cammino non è omotopo ad una costante.
Se lo togliamo a R^3 invece rimane semplicemente connesso... dobbiamo togliere un'intera retta! O una circonferenza...

(tutte queste definizioni si estendono a spazi topologici etc... ma per quello che ci devi fare va bene così)

d@vid · 08-09-2006, 21:02

Quote:

Originariamente inviato da gurutech

io l'ho sempre capita così:

prendi un pezzo di piano come insieme
prendi 2 punti A e B di questo pezzo di piano
unisci i punti con una retta

se comunque tu scelga A e B la retta rimane contenuta nel tuo pezzo di piano allora il tuo insieme è semplicemente connesso.

questo non accade ad esempio per una ciambella. se prendi due punti diametralmente opposti e provi ad unirli la retta passa per il buco, uscendo fuori dall'insieme ciambella. non è molto matematico ma è più buono. (alla prossima la teoria del Pane e Nutella per il silicio)

(poi i matematici pensano sempre a n dimensioni come se fosse antani. io ho incontrato qualche buon prof che mi ha fatto degli esempi nel mondo che vediamo!)

questa è una conseguenza: estensione geometrica della definizione matematica, e tra l'altro valida solo per R^2 come dice Alex

topologia
aperto: dato un insieme X di R^k, l'insieme dei punti interni ad X si dice un interno di X. Un insieme che coincida con il suo interno si dice un aperto
connessione: dato un insieme X di R^k, esso si dice connesso se non esiste una partizione costituita da due parti staccate (ora mi scoccio di spiegare cosa s'intende per "parte staccata")
connessione semplice... vd Alex

gurutech · 08-09-2006, 21:05

Quote:

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

... ma anche sbagliato...

ammetto di non capire bene il linguaggio della matematica: probabilmente ho un po' di confusione in testa ma io avevo capito così.

Quote:

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

prendi una semicirconferenza in R^2, e due punti a caso... comunque tu prenda una retta tra due punti questa NON è contenuta nella semicirconferenza.

però questa non l'ho capito: comunque prendi due punti la retta tra loro sarà sempre all'interno del semicerchio: come fai ad uscire?

AleX_ZeTa · 08-09-2006, 21:30

semicirconferenza... non semicerchio. La def. che ti hanno dato è quella di convesso (a patto di sostituire "retta" con "segmento" - o più precisamente "combinazione convessa"), non di semplicemente connesso. Esercizio (facile facile): ogni convesso di R^n è semplicemente connesso.
Il viceversa come ho mostrato è falso.

**ChristinaAemiliana** · 08-09-2006, 23:10

Ragazzi, tutto ciò è molto bello, ma tenete presente che la fisica va prima capita e poi formalizzata.

Se il contenuto fisico di una teoria non vi è chiaro, vedere la faccenda sotto forma di rigorosissima matematica non vi aiuterà.

Sapete come ha risposto una volta il grande prof. Regge a un mio compagno di corso che non aveva ben compreso il concetto di diffeomorfismo? Ebbene, Regge esordì più o meno così: "Allora, deve sapere che, per noi che studiamo la topologia, la tazza del cappuccino e la ciambella sono precisamente la stessa cosa, perché hanno tutte e due un solo buco e con un po' di fantasia si può immaginare di passare dall'una all'altra con una deformazione, quindi dobbiamo stare attenti la mattina quando ci apprestiamo a fare colazione, altrimenti rischiamo di versare il cappuccino sulla ciambella e addentare la tazza. Ecco, questo è il diffeomorfismo":

pietro84 · 08-09-2006, 23:20

io ricordo queste definizioni più semplici e "rozze"

-->insieme connesso di R^n: insieme che non può essere visto come unione di insiemi disgiunti.
--> insieme semplicemente connesso di R^n:
W aperto di R^n e A,B due punti di W.
comunque io scelgo A e B contenuti in W esiste un segmento(generalizzato) che congiunge A e B i cui punti sono tutti contenuti in W.
quindi una circonferenza per esempio è un insieme connesso ma non semplicemente connesso di R^2....

l'equaz parametrica del segmento generalizzato è la seguente:
f(t)=A + t(B-A) t app [0,1] con f(0)=A ; f(1)=B
A,B,f(t) app R^n

e quindi il sostegno di tale segmento deve essere interamente contenuto in W

edit:a pensarci bene quest'ultima è la definizione di "insieme convesso", che dovrebbe essere una proprietà più "forte"

d@vid · 09-09-2006, 09:20

Quote:

Originariamente inviato da d@vid

questa è una conseguenza: estensione geometrica della definizione matematica, e tra l'altro valida solo per R^2 come dice Alex

topologia
aperto: dato un insieme X di R^k, l'insieme dei punti interni ad X si dice un interno di X. Un insieme che coincida con il suo interno si dice un aperto
connessione: dato un insieme X di R^k, esso si dice connesso se non esiste una partizione costituita da due parti staccate (ora mi scoccio di spiegare cosa s'intende per "parte staccata")
connessione semplice... vd Alex

punti interni: un punto P di R^k si dice interno ad un sottoinsieme X di R^k se esiste un intorno di P tutto contenuto in X
parti staccate: se X è un sottoinsieme di R^k e X1 un suo sottoinsieme prporio non vuoto, considerati i due insiemi:
X1 e X2=X-X1
si dice che essi costituiscono due parti staccate di X se:
1) esiste un aperto che contenga il primo e sia disgiunto dal secondo
2) esiste un aperto che contenga il secondo e sia disgiunto dal primo

d@vid · 09-09-2006, 09:29

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Ragazzi, tutto ciò è molto bello, ma tenete presente che la fisica va prima capita e poi formalizzata.

Se il contenuto fisico di una teoria non vi è chiaro, vedere la faccenda sotto forma di rigorosissima matematica non vi aiuterà.

Sapete come ha risposto una volta il grande prof. Regge a un mio compagno di corso che non aveva ben compreso il concetto di diffeomorfismo? Ebbene, Regge esordì più o meno così: "Allora, deve sapere che, per noi che studiamo la topologia, la tazza del cappuccino e la ciambella sono precisamente la stessa cosa, perché hanno tutte e due un solo buco e con un po' di fantasia si può immaginare di passare dall'una all'altra con una deformazione, quindi dobbiamo stare attenti la mattina quando ci apprestiamo a fare colazione, altrimenti rischiamo di versare il cappuccino sulla ciambella e addentare la tazza. Ecco, questo è il diffeomorfismo":

a volte però è vero il contrario: es se un concetto matematico vien spiegato su un libro di fisica (come può ad es essere quello di aperto connesso) praticamente sempre c'è qcs che non vien detto o sottaciuto: ebbene, a me queste cose rendono difficile proseguire (perchè poi inizio a chiedermi: ma un insieme fatto così sarà un aperto connesso? se il campo fosse definito dentro una mongolfiera, il suo dominio di definizione come sarebbe considerato, ... e robe varie

)

06-09-2006, 12:35	#21
Matrixbob Senior Member Iscritto dal: Jul 2001 Messaggi: 9947	E qui è uniforme, radiale e conservativo?! Essendo diventato E circolare e rotazionale allora non è + conservativo?! __________________ Aiuta la ricerca col tuo PC: >>Calcolo distribuito BOINC.Italy: unisciti anche tu<< Più largo è il sorriso, più affilato è il coltello. Ultima modifica di Matrixbob : 07-09-2006 alle 10:48.

07-09-2006, 10:54	#22
Matrixbob Senior Member Iscritto dal: Jul 2001 Messaggi: 9947	Ma cosa è 1 dominio semplicemente connesso?! __________________ Aiuta la ricerca col tuo PC: >>Calcolo distribuito BOINC.Italy: unisciti anche tu<< Più largo è il sorriso, più affilato è il coltello. Ultima modifica di Matrixbob : 07-09-2006 alle 10:56.

07-09-2006, 10:54	#23
Matrixbob Senior Member Iscritto dal: Jul 2001 Messaggi: 9947	Quindi anche in questo 3D riassumendo è venuto fuori che: 1 campo vettoriale è conservativo quando è irrotazionale od ha circuitazione nulla. E' solitamente 1 campo radiale. __________________ Aiuta la ricerca col tuo PC: >>Calcolo distribuito BOINC.Italy: unisciti anche tu<< Più largo è il sorriso, più affilato è il coltello. Ultima modifica di Matrixbob : 07-09-2006 alle 10:57.

08-09-2006, 20:54	#33
AleX_ZeTa Junior Member Iscritto dal: Jun 2004 Messaggi: 12	ehm... si, facile e immediato... ma anche sbagliato, completamente sbagliato: prendi una semicirconferenza in R^2, e due punti a caso... comunque tu prenda una retta tra due punti questa NON è contenuta nella semicirconferenza. Eppure è semplicemente connessa! Inoltre, se anche avesse un qualche senso, varrebbe solo per R^2... e per il campo elettrico ti serve R^3, visto che è funzione delle tre coordinate spaziali (tra l'altro in R^2 il rotore, così come lo conosci tu, non ha alcun senso) Diamo per bene la definizione di aperto semplicemente connesso... prima serve quella di omotopia e di cammino chiuso. cammino chiuso in un aperto W di R^n : funzione f:[a,b] -> W continua tale che f(a) = f(b) due cammini (a valori dallo stesso dominio [a,b] nello stesso aperto W di R^n) si dicono omotopi se esiste una funzione continua F : [a,b]x[0,1] -> W tale che: F(a,s) = F(b,s) per ogni s in [0,1] F(t,0) = f(t) e F(t,1) = g(t) per ogni t in [a,b] in pratica due cammini sono omotopi se esiste una deformazione continua che porta l'uno nell'altro, se puoi stirare uno dei due in modo continuo fino a farlo diventare uguale all'altro. Aperto semplicemente connesso: un aperto connesso nel quale ogni cammino è omotopo al cammino costante (tutti i cammini costanti di un aperto connesso sono omotopi... basta prendere una qualsiasi curva che va dall'uno all'altro - esiste sempre, siamo in R^n - e spostare un punto sull'altro lungo questa curva). Qualche esempio: se a R^2 togliamo un punto abbiamo un aperto che NON è semplicemente connesso: prendi un qualsiasi cammino che gira attorno al punto che hai tolto... comunque lo deformi girerà sempre attorno al punto che hai tolto. Quindi se fosse omotopo ad un cammino costante sarebbe omotopo al cammino costante nel punto che hai tolto. Ma l'hai tolto! Quindi quello non è un cammino nell'aperto che stiamo considerando, perciò il tuo cammino non è omotopo ad una costante. Se lo togliamo a R^3 invece rimane semplicemente connesso... dobbiamo togliere un'intera retta! O una circonferenza... (tutte queste definizioni si estendono a spazi topologici etc... ma per quello che ci devi fare va bene così) __________________ "Come vedi tutto è usuale, solo che il tempo stringe la borsa e c'è il sospetto che sia triviale l'affanno e l'ansimo dopo una corsa, l'ansia volgare del giorno dopo, la fine triste della partita, il lento scorrere senza uno scopo di questa cosa che chiami vita."

08-09-2006, 21:30	#36
AleX_ZeTa Junior Member Iscritto dal: Jun 2004 Messaggi: 12	semicirconferenza... non semicerchio. La def. che ti hanno dato è quella di convesso (a patto di sostituire "retta" con "segmento" - o più precisamente "combinazione convessa"), non di semplicemente connesso. Esercizio (facile facile): ogni convesso di R^n è semplicemente connesso. Il viceversa come ho mostrato è falso. __________________ "Come vedi tutto è usuale, solo che il tempo stringe la borsa e c'è il sospetto che sia triviale l'affanno e l'ansimo dopo una corsa, l'ansia volgare del giorno dopo, la fine triste della partita, il lento scorrere senza uno scopo di questa cosa che chiami vita."

08-09-2006, 23:10	#37
ChristinaAemiliana Moderatrice Iscritto dal: Nov 2001 Città: Vatican City DILIGO TE COTIDIE MAGIS «Set me as a seal on your heart, as a seal on your arm: for love is strong as death and jealousy is cruel as the grave.» Messaggi: 12394	Ragazzi, tutto ciò è molto bello, ma tenete presente che la fisica va prima capita e poi formalizzata. Se il contenuto fisico di una teoria non vi è chiaro, vedere la faccenda sotto forma di rigorosissima matematica non vi aiuterà. Sapete come ha risposto una volta il grande prof. Regge a un mio compagno di corso che non aveva ben compreso il concetto di diffeomorfismo? Ebbene, Regge esordì più o meno così: "Allora, deve sapere che, per noi che studiamo la topologia, la tazza del cappuccino e la ciambella sono precisamente la stessa cosa, perché hanno tutte e due un solo buco e con un po' di fantasia si può immaginare di passare dall'una all'altra con una deformazione, quindi dobbiamo stare attenti la mattina quando ci apprestiamo a fare colazione, altrimenti rischiamo di versare il cappuccino sulla ciambella e addentare la tazza. Ecco, questo è il diffeomorfismo": __________________ «Il dolore guida le persone a distanze straordinarie» (W. Bishop, Fringe) How you have fallen from heaven, O star of the morning, son of the dawn! You have been cut down to the earth, You who have weakened the nations! (Isaiah 14:12)

08-09-2006, 23:20	#38
pietro84 Member Iscritto dal: Nov 2005 Messaggi: 154	io ricordo queste definizioni più semplici e "rozze" -->insieme connesso di R^n: insieme che non può essere visto come unione di insiemi disgiunti. --> insieme semplicemente connesso di R^n: W aperto di R^n e A,B due punti di W. comunque io scelgo A e B contenuti in W esiste un segmento(generalizzato) che congiunge A e B i cui punti sono tutti contenuti in W. quindi una circonferenza per esempio è un insieme connesso ma non semplicemente connesso di R^2.... l'equaz parametrica del segmento generalizzato è la seguente: f(t)=A + t(B-A) t app [0,1] con f(0)=A ; f(1)=B A,B,f(t) app R^n e quindi il sostegno di tale segmento deve essere interamente contenuto in W edit:a pensarci bene quest'ultima è la definizione di "insieme convesso", che dovrebbe essere una proprietà più "forte" __________________ "la scelta giusta non è sempre la più saggia,ma è quella che non porta con sè rimpianti" . pietro84 Ultima modifica di pietro84 : 09-09-2006 alle 00:09.

Strumenti
Mostra una versione stampabile Invia questa pagina per email