[FISICA] Perchè posso affermare che E è conservativo, mentre B no?!

[Matrixbob]

Su questo ho ancora qualche idea confusa, se c'è qualcuno che mi può insegnare 1 modo rigoroso e meno per potere dimostrare l'affermazione gliene sarò grato per sempre.

TNX!

[akasa]

Originariamente inviato da Matrixbob

Su questo ho ancora qualche idea confusa, se c'è qualcuno che mi può insegnare 1 modo rigoroso e meno per potere dimostrare l'affermazione gliene sarò grato per sempre.

TNX!

Un campo conservativo si dice anche irrotazionale ecioè che ha rotore nullo. Calcolando il rotore del campo quindi puoi capire se è conservativo. Questo vale se lo consideri in forma differenziale. In forma integrale, perchè un campo vettoriale sia conservativo deve avere circuitazione nulla, quindi ti basta calcolarne l'integrale lungo un cammino chiuso.

...se non ricordo male è così

ciao

[Matrixbob]

Originariamente inviato da akasa

Un campo conservativo si dice anche irrotazionale ecioè che ha rotore nullo. Calcolando il rotore del campo quindi puoi capire se è conservativo. Questo vale se lo consideri in forma differenziale. In forma integrale, perchè un campo vettoriale sia conservativo deve avere circuitazione nulla, quindi ti basta calcolarne l'integrale lungo un cammino chiuso.

...se non ricordo male è così

ciao

Se basta questo allora ti bacio le dita con cui hai digitato!

[akasa]

Originariamente inviato da Matrixbob

Se basta questo allora ti bacio le dita con cui hai digitato!

ehm mi fa paura l'idea che non basti solo quello
Se non risolvi e hai qualche esercizio tra le mani posta, magari qualcuno più informato di me ti aiuta
ciao

[lowenz]

Originariamente inviato da akasa

Un campo conservativo si dice anche irrotazionale ecioè che ha rotore nullo. Calcolando il rotore del campo quindi puoi capire se è conservativo. Questo vale se lo consideri in forma differenziale. In forma integrale, perchè un campo vettoriale sia conservativo deve avere circuitazione nulla, quindi ti basta calcolarne l'integrale lungo un cammino chiuso.

...se non ricordo male è così

ciao

Esatto.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da lowenz

Esatto.

Sono possibili ragionamenti + semplicistici del tipo:
E è conservativo perchè Fe è 1 forza conservativa appellandomi alla definizione di F conservative?!

Se si, per B come sarebbe il discorso?! Fb non è conservativa? Perchè?

Sono arrivato a studiare le 4 equazioni di MAxwell e mi trovo con qualche dubbio in tasca.

Ad esempio ho trovato:
[1] Degli E non + conservativi, ma non mi ricordo bene dove.
[2] Che variazioni del flusso di E generano B e viceversa. Vi risulta?!

Se siete magnanimi e avrete voglia di fare il punto della situazione io ovviamente ve ne sarei grato.

[lowenz]

Originariamente inviato da Matrixbob

Sono possibili ragionamenti + semplicistici del tipo:
E è conservativo perchè Fe è 1 forza conservativa appellandomi alla definizione di F conservative?!

I campi di forze RADIALI, cioè che "vanno come" 1/r^2, sono tutti conservativi, mi pare di ricordare.

[2] Che variazioni del flusso di E generano B e viceversa. Vi risulta?!

Variazioni del campo.

Dai un'occhiata qui

http://it.wikipedia.org/wiki/Equazioni_di_Maxwell

[Lucrezio]

Ogni cosa al suo posto!
Il campo elettroSTATICO è un campo conservativo. Si vede banalmente a partire dalla legge di forza, o dalla definizione di campo:

Come ha giustamente fatto notare Lowenz si tratta di un campo radiale, che ha quindi circuitazione nulla.
La dimostrazione nel caso più semplice (campo di una carica) è ovvia:

essendo il campo radiale, il prodotto scalare fra E e l'elemento di linea "proietta" la curva radialmente (ovvero, scomponendo la curva in una parte radiale ed una angolare ad essa perpendicolare, si trova che il prodott scalare si annulla su tutta la parte angolare); dato che la linea è chiusa però la "somma" dei termini "radiali" sarà, per ovvie questioni, nulla.
Il caso generale si può vedere per sovrapposizione, o con una dimostrazione un po' più formale a partire - ad esempio - dalla legge del campo e calcolando a forza di orribili identità vettoriali il rotore...
Applicando il teorema di Stokes si ottiene la terza equazione di Maxwell per l'elettrostatica:

che conferma che il fatto che il campo sia irrotazionale o quello che sia conservativo si equivalgono, come già scritto

Riguardo al campo elettrico in generale, non è per forza conservativo: in presenza di un campo magnetico variabile, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz:

Da cui, con un'applicazione del teorema di Stokes e un po' di conti, segue che:

Quindi il campo non è più irrotazionale e - di conseguenza - nemmeno conservativo.

[Matrixbob]

Io avrei finito salvo qualche aggiustamento.
Solo 1 cosa qui non mi è molto chiara.

Come si fa a passare dalla forma integrale a quella differenziale?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob

Io avrei finito salvo qualche aggiustamento.
Solo 1 cosa qui non mi è molto chiara.

Come si fa a passare dalla forma integrale a quella differenziale?

Esistono due importanti teoremi del calcolo differenziale che te lo permettono:
1) Per il teorema della divergenza:

Ovvero il flusso di v attraverso una superficie chiusa S è uguale all'integrale di volume della divergenza di V dove il dominio di integrazione si intende il volume racchiuso dalla superficie chiusa S.
In questo modo, ad esempio:

Dove il primo pezzo è il teorema di Gauss (prima legge di Maxwell in forma integrale) e il passaggio all'eguaglianza degli integrandi si può fare attraverso un processo di limite per cui si fa tendere la superficie a zero;

2) Per il teorema di Stokes o del rotore:

Ovvero la circuitazione di v lungo la linea gamma è al flusso del rotore di v attraverso una superficie di bordo gamma

dove anche in questo caso l'uguaglianza degli integrandi va fatta con un processo di limite.

[d@vid]

Originariamente inviato da akasa

Un campo conservativo si dice anche irrotazionale ecioè che ha rotore nullo. Calcolando il rotore del campo quindi puoi capire se è conservativo. Questo vale se lo consideri in forma differenziale. In forma integrale, perchè un campo vettoriale sia conservativo deve avere circuitazione nulla, quindi ti basta calcolarne l'integrale lungo un cammino chiuso.

...se non ricordo male è così

ciao

tutto ok però c'è da fare una piccola precisazione
al fine della conservatività di un campo vettoriale, l'annullarsi della circuitazione non è in generale equivalente all'irrotazionalità (annullarsi del rotore) del campo vettoriale (e quindi quest'ultima condizione non è sufficiente a sancirne la conservatività). Al contrario, è sicuramente vero che è conservativo un campo vettoriale irrotazionale che sia definito in un dominio semplicemente connesso

[Lucrezio]

Originariamente inviato da d@vid

tutto ok però c'è da fare una piccola precisazione
al fine della conservatività di un campo vettoriale, l'annullarsi della circuitazione non è in generale equivalente all'irrotazionalità (annullarsi del rotore) del campo vettoriale (e quindi quest'ultima condizione non è sufficiente a sancirne la conservatività). Al contrario, è sicuramente vero che è conservativo un campo vettoriale irrotazionale che sia definito in un dominio semplicemente connesso

[Matrixbob]

Originariamente inviato da Lucrezio

Riguardo al campo elettrico in generale, non è per forza conservativo: in presenza di un campo magnetico variabile, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz:

Da cui, con un'applicazione del teorema di Stokes e un po' di conti, segue che:

Quindi il campo non è più irrotazionale e - di conseguenza - nemmeno conservativo.

Infatti diventa 1 E a divergenza nulla e rotazionale giusto?!
Solenoidale?!

Ma in definitiva allora bisogne ricondursi al differenziale per vedere se 1 campo è conservativo o meno (dato che quanto detto al inizio per la circuitazione non è valido sempre), giusto?!

[Matrixbob]

Anche se su Wikipedia ho trovato detto così:
http://it.wikipedia.org/wiki/Campi_conservativi

[AleX_ZeTa]

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

[Lucrezio]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

Oh Ale coe rompi!

Non capisco mai un ca**o dei tuoi post

[Matrixbob]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

Beh se sei in grado spara le condizioni necessarie e quelle sufficienti alla conservatività del campo vettoriale, fallo!
Inizio con le sufficenti : l'irrotazionalità di 1 campo vettoriale indica la sua conservatività.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

Beh se sei in grado spara le condizioni necessarie e quelle sufficienti alla conservatività del campo vettoriale.
Inizio con le sufficenti : l'irrotazionalità di 1 campo vettoriale indica la sua conservatività.

[Matrixbob]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

la definizione di conservativo è "a circuitazione nulla". Quindi l'integrale di linea lungo una qualsiasi linea chiusa deve essere zero.
Come hanno poi già giustamente detto, se il dominio è semplicemente connesso (nota: wikipedia parla di aperti stellati - evidentemente di R^n o C^n - ma è facile dimostrare, nel senso che si scrive esplicitamente l'omotopia, che in un aperto stellato ogni cammino è omotopo al cammino costante) è sufficiente che il campo sia irrotazionale. Non mi pare che questa sia però anche condizione necessaria...

Beh se sei in grado spara le condizioni necessarie e quelle sufficienti alla conservatività del campo vettoriale.
Inizio IO con le sufficenti : l'irrotazionalità di 1 campo vettoriale indica la sua conservatività.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Matrixbob

Beh se sei in grado spara le condizioni necessarie e quelle sufficienti alla conservatività del campo vettoriale.
Inizio IO con le sufficenti : l'irrotazionalità di 1 campo vettoriale indica la sua conservatività.

Non provocare Alex! Siamo culo e camicia (lui è il culo!), so di che cosa è capace

P.S.: ti voglio bene ale!
P.P.S.: ho recuperato il mio quaderno di elettrodinamica... domani cercherò di rispondere un po' meglio alle varie domande!!!