La matematica (parabola).. AIUTO

[diafino]

Data l'equazione di una parabola y=1/4x^2-x+2 determina l'equazione della retta tangente perpendicolare alla retta di equazione 2x-3y+1=0 e il punto di tangenza..

è un ora che ci penso a come risolverlo..

[guldo76]

Non e` difficile...
Sai il coefficiente angolare della tangente, che quindi rimane con un solo parametro incognito (l'intercetta).
Metti la retta a sistema con la parabola e imponi che le 2 soluzioni siano coincidenti.

[diafino]

Originariamente inviato da guldo76
Non e` difficile...
Sai il coefficiente angolare della tangente, che quindi rimane con un solo parametro incognito (l'intercetta).
Metti la retta a sistema con la parabola e imponi che le 2 soluzioni siano coincidenti.

mmmm..non ho capito molto bene.

So che il coefficiente angolare della retta tangente è -3/2 (essendo m1 * m2 = -1)

quello che ho è:

y=1/4x^2-x+2
y= -3/2x+q

se eguaglio mi viene:

1/4x^2-x+2 = 2/3x+q

[guldo76]

Giusto, ma vai avanti!
Risolvi per x; troverai 2 soluzioni che dipendono da q. Imponi che le due soluzioni siano uguali, cosi` trovi il q della tg.

[diafino]

Originariamente inviato da guldo76
Giusto, ma vai avanti!
Risolvi per x; troverai 2 soluzioni che dipendono da q. Imponi che le due soluzioni siano uguali, cosi` trovi il q della tg.

io queste cose non le ho mai fatte...non sono in grado.

mi puoi fare vedere tu come procederesti?

[guldo76]

Non hai mai risolto un'equazione di secondo grado?!?
Se ti hanno dato un problema del genere...

[-b+(b^2-4ac)^(1/2)]/2a
[-b-(b^2-4ac)^(1/2)]/2a

sono le due soluzioni che devi imporre uguali.
( a b c sono i parametri di ax^2+bx+c )

[diafino]

le equazioni di secondo sono in grado di risolverle..il fatto è che ho un q che è di troppo:

x=1/4x^2-2/3x+2-q

spiegamelo bene, a te sembrerà ovvio ma per me è difficile

[Rossy77]

scusa ma ..metti a posto bene quella equazione..!!

[thotgor]

Originariamente inviato da diafino
mmmm..non ho capito molto bene.

So che il coefficiente angolare della retta tangente è -3/2 (essendo m1 * m2 = -1)

quello che ho è:

y=1/4x^2-x+2
y= -3/2x+q

se eguaglio mi viene:

1/4x^2-x+2 = 2/3x+q

l'euqzione per una retta generica è

(y-y1)=2/3 ( x - x1)

Dove 2/3 è m.
Al posto di y1 e x1 ci metti i punti di intersezione della parabola con la retta
Evidentemente la retta che hai già interseca in un certo punto (trovalo con il sistema) e dopo puoi buttare dentro x1 e y1 all'equzione generica della retta (che è quella che ho scritto io, non quella che hai scritto te, controlla)

[guldo76]

Originariamente inviato da thotgor
l'euqzione per una retta generica è
(y-y1)=2/3 ( x - x1)
Dove 2/3 è m.
Al posto di y1 e x1 ci metti i punti di intersezione della parabola con la retta
Evidentemente la retta che hai già interseca in un certo punto (trovalo con il sistema) e dopo puoi buttare dentro x1 e y1 all'equzione generica della retta (che è quella che ho scritto io, non quella che hai scritto te, controlla)

Non mi hai convinto...

Cmq, ricominciamo daccapo:
y=1/4x^2-x+2
2x-3y+1=0 cioe` y=2x/3+1/3
La generica retta perpendicolare alla retta data sara`:
y = -3x/2 + q
Di queste infinite rette, qualcuna sara` secante alla parabola, qualcuna non tocchera` mai la parabola, e una soltanto sara` la tg.
Per trovare la tg:
1/4x^2-x+2 = -3x/2 + q
0,25x^2 + x/2 + (2-q) = 0
oppure ( *2 )
(eq. pippo) 0,5x^2 + x + 2(2-q) = 0
Risolvendola trovi due soluzioni, funzione di q, e le metti uguali tra loro:
-1 + ( 1 - 4*,5*2*(2-q) )^,5 = -1 - ( 1 - 4*,5*2*(2-q) )^,5
1 - 8 + 4q = -1 + 8 - 4q
8q = 14
q = 7/4

Cosi` hai trovato l'unico valore di q che individua la tg.
Sostituendolo in (eq. pippo) e risolvendo per x trovi il punto di tangenza.

Cosi` e` chiaro?

[thotgor]

Originariamente inviato da guldo76

Non mi hai convinto...

Cmq, ricominciamo daccapo:
y=1/4x^2-x+2
2x-3y+1=0 cioe` y=2x/3+1/3
La generica retta perpendicolare alla retta data sara`:
y = -3x/2 + q
Di queste infinite rette, qualcuna sara` secante alla parabola, qualcuna non tocchera` mai la parabola, e una soltanto sara` la tg.
Per trovare la tg:
1/4x^2-x+2 = -3x/2 + q
0,25x^2 + x/2 + (2-q) = 0
oppure ( *2 )
(eq. pippo) 0,5x^2 + x + 2(2-q) = 0
Risolvendola trovi due soluzioni, funzione di q, e le metti uguali tra loro:
-1 + ( 1 - 4*,5*2*(2-q) )^,5 = -1 - ( 1 - 4*,5*2*(2-q) )^,5
1 - 8 + 4q = -1 + 8 - 4q
8q = 14
q = 7/4

Cosi` hai trovato l'unico valore di q che individua la tg.
Sostituendolo in (eq. pippo) e risolvendo per x trovi il punto di tangenza.

Cosi` e` chiaro?

uso un altra formula per uanr etta generica passate per un punto (che è il punto di tangenza della retta che ho con la parabola)

Tale formula è:

(y-y1)=m (x-x1)

Dove x1 e y1 (li trovo facendo il sistema) sono i due punti da cui parte il fascio di retta, che verrà individuato da m.

Mi sembra un pochino più facile.

[guldo76]

Originariamente inviato da thotgor
uso un altra formula per uanr etta generica passate per un punto (che è il punto di tangenza della retta che ho con la parabola)

Tale formula è:

(y-y1)=m (x-x1)

Dove x1 e y1 (li trovo facendo il sistema) sono i due punti da cui parte il fascio di retta, che verrà individuato da m.

Mi sembra un pochino più facile.

Forse ora ho capito: tu dai per scontato che le due rette in questione si incrocino proprio nel punto di tangenza con la parabola.
E cosi`?
Se si, non e` mica detto che punto di tg e intersezione tra le rette coincidano.
Se no, prova a rispiegarmelo please

[thotgor]

Originariamente inviato da guldo76
Forse ora ho capito: tu dai per scontato che le due rette in questione si incrocino proprio nel punto di tangenza con la parabola.
E cosi`?
Se si, non e` mica detto che punto di tg e intersezione tra le rette coincidano.
Se no, prova a rispiegarmelo please

ah no? :o

pensavo di si leggendo il testo: ora ci ridò un occhiata.


Edit: Il testo dice "il punto di tangenza" non specificando di che retta. ma penso che abbia ragione te!
Non ho provato se ci sono punti di intersezione tra retta e parabola.
Se si sarebbe ok "il mio metodo", se non "tange"...
provo, dimmi se sbaglio: potremmo tenere la retta generica mettendo solo m perpendicolare alla retta data... in questo modo troveremmo come incognite x1 e y1 in valore di x e y (che rappresenterebbero i valori x e y dell punto di tangenza) : a questo punto penso basterebbe sostituire dentro l'equazione iniziale nuovamente (quella generica) e facendo un sistema troveremmo quei due punti. Insomm,a come il tuo metodo, un po + complicato


Oppure... usiamo le derivate!

Oppure ancora , non si potrebbe fare imponendo il delta = 0 nel sistema?

[guldo76]

Originariamente inviato da thotgor
provo, dimmi se sbaglio: potremmo tenere la retta generica mettendo solo m perpendicolare alla retta data... in questo modo troveremmo come incognite x1 e y1 in valore di x e y (che rappresenterebbero i valori x e y dell punto di tangenza) : a questo punto penso basterebbe sostituire dentro l'equazione iniziale nuovamente (quella generica) e facendo un sistema troveremmo quei due punti. Insomm,a come il tuo metodo, un po + complicato

E` la stessa cosa...

Oppure ancora , non si potrebbe fare imponendo il delta = 0 nel sistema?

Anche questa e` la stessa cosa...
Le due soluzioni sono
-b/2a + W
-b/2a - W
dove W = (delta)^.5/2a
imporle uguali (come ho fatto io) significa mettere
+ W = - W
il che ovviamente e` vero solo se W e` uguale a zero.
Quindi e` la stessa cosa.

... pero` a mettere subito il delta = 0 si fa prima, in effetti...

[thotgor]

Originariamente inviato da guldo76
E` la stessa cosa...


Anche questa e` la stessa cosa...
Le due soluzioni sono
-b/2a + W
-b/2a - W
dove W = (delta)^.5/2a
imporle uguali (come ho fatto io) significa mettere
+ W = - W
il che ovviamente e` vero solo se W e` uguale a zero.
Quindi e` la stessa cosa.

... pero` a mettere subito il delta = 0 si fa prima, in effetti...

[Lucrezio]

dio benedica le derivate...

[diafino]

Originariamente inviato da Lucrezio
dio benedica le derivate...

che cosa sono?

[majino]

Originariamente inviato da diafino
che cosa sono?

sono un miracolo della matematica che snelliscono non poco certi lavori..




Sia una funzione, e sia x un’ascissa fissata.

Sia poi h un incremento (positivo o negativo) per l’ascissa x.



Il rapporto



si dice “rapporto incrementale” della funzione f, relativo al punto x e all’incremento h.

Esso è uguale al coeff. ang. della retta secante che passa per i punti .



Il limite

(ammesso che esista finito)

si dice “derivata“ della funzione f nel punto x, è indicato con il simbolo ,

ed è uguale al coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione nel punto .