Verso la soluzione di un problema matematico “del millennio”

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La dimostrazione di un teorema sui cosiddetti numeri congruenti permette di fare un passo in avanti, forse decisivo, verso la risoluzione di un problema di teoria dei numeri che, formulato millle anni fa, è considerato uno dei più ardui ed è uno dei sette per la cui risoluzione il Clay Mathematics Institue ha messo in palio un milione di dollari. Finora è stato risolto uno solo di questi enigmi, la congettura di Poincaré, il cui solutore ha però rifiutato il premio



Un significativo passo in avanti verso la risoluzione di uno dei problemi matematici “del millennio” è stato compiuto dal matematico cinese Ye Tian, dell'Accademia di matematica e scienze dei sistemi di Pechino, che ha pubblicato sui “Proceedings of the National Academy of Sciences” un articolo nel quale ottiene un risultato che appare centrale per la dimostrazione della cosiddetta congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.


Grigori Perelman (© epa/Corbis

Questa congettura è uno dei sette problemi che concorrono al Millenium Prize, il premio da un milione di dollari che il Clay Mathematics Institute ha offerto a chi riuscirà a risolverli; finora l'unico a essere stato chiarito è la congettura di Poincaré, nota anche perché il suo risolutore, il matematico russo Grigori Perelman, rifiutò di ritirare il premio.

Il problema – posto per la prima volta in un manoscritto arabo del X secolo - riguarda l'esistenza di un metodo generale per identificare i cosiddetti “numeri congruenti”, ossia quei numeri interi che possono rappresentare l'area di un triangolo rettangolo i cui lati siano numeri interi o razionali.

Fino al XVII secolo era noto un numero molto ristretto di numeri congruenti: 5, 6 e 7, che rappresentano l'area dei triangoli rettangoli, di lati rispettivamente [40/6, 9/6, 41/6] , [3, 4, 5] e [288/60, 175/60, 337/60], ma solo Fermat riuscì a stabilire il primo significativo risultato teorico, dimostrando che 1 non era congruente. Come in altri analoghi problemi matematici, la dimostrazione che un ente non possiede una certa proprietà è spesso più ardua della dimostrazione che invece possiede la proprietà in questione.


Pierre de Fermat (© Bettmann/CORBIS)

A oggi sono noti moltissimi numeri congruenti, ma per riuscire a determinare la loro congruenza è stato necessario, oltre che sobbarcarsi l'onere di faticosi calcoli, definire di volta in volta strategie differenti, valide solo per un ristretto insieme di numeri. Di fatto manca ancora un criterio generale, un insieme di condizioni necessarie e sufficienti, che permetta di identificarli complessivamente.

In tempi relativamente recenti, generalizzando la dimostrazione di Fermat – dalla quale, per inciso, il matematico francese fu probabilmente ispirato alla formulazione del suo famoso “ultimo teorema” - ci si accorse che essa implicava un particolare comportamento delle curve ellittiche (nei numeri razionali), ossia delle equazioni a coefficienti razionali, che portò appunto alla formulazione della congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, di cui vennero dimostrati molti casi particolari.

Il risultato di Ye Tian, pur non dimostrando la congettura, riesce però a inquadrare i casi particolari finora ottenuti in un contesto più ampio, tanto da far scrivere al matematico dell'Emmanuel College di Cambridge John H. Coates in una nota di commento al lavoro - pubblicata anch'essa sui “Proceedings of the National Academy of Sciences” - che il lavoro di Ye Tian “è una tappa importante nella storia di questo antico problema, e, come è sempre accaduto in passato, sembra solo questione di tempo prima che venga stabilita la sua generalizzazione a tutte le curve ellittiche”.

Verso la soluzione di un problema matematico “del millennio” - Le Scienze

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