problemi rappresentazione parametrica delle curve.

[giannola]

Ho un problema.
Dice: essendo A = T U C dove T è il triangolo di vertici (-1, 1), (0,1), (0,0) e C è il quarto di cerchio centro l'origine e raggio 1 posto nel primo quadrante, calcolare il massimo e il minimo di f sulla frontiera di A.

Non so proprio da dove partire, magari se mi date un link, dove trovo spiegazioni migliori del mio libro, mi fate un grosso favore.
grazie.

[Ziosilvio]

Per i problemi di matematica c'è il thread in rilievo.

Comunque: disegna il dominio A sul piano cartesiano. Ti accorgi che la sua frontiera è composta dalle seguenti componenti:
- il segmento che unisce i punti (0,0) e (1,0);
- il segmento che unisce i punti (0,0) e (-1,1);
- il segmento che unisce i punti (-1,1) e (0,1);
- un arco di circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, che unisce i punti (1,0) e (0,1).
I punti di tali insiemi si possono scrivere nel modo seguente:
- per il primo, sono i punti della forma (t,0) per t tra 0 e 1 inclusi;
- per il secondo, sono i punti della forma (-t,t) per t tra 0 e 1 inclusi;
- per il terzo, sono i punti della forma (t,1) per t tra -1 e 0 inclusi;
- per il quarto, sono i punti della forma (t,sqrt(1-t^2)) per t tra 0 e 1 inclusi.

Ora, tu hai una funzione della forma z = f(x,y).
Di questa, puoi considerare le restrizioni ai pezzi della frontiera. Ma:
- quando restringi al primo pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,0) per t tra 0 e 1 inclusi;
- quando restringi al secondo pezzo, hai una funzione della forma z = f(-t,t) per t tra 0 e 1 inclusi;
- quando restringi al terzo pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,1) per t tra -1 e 0 inclusi;
- quando restringi al quarto pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,sqrt(1-t^2)) per t tra 0 e 1 inclusi.

Calcola il minimo e il massimo di f su ciascuno dei quattro pezzi, con le tecniche che conosci per le funzioni di una sola variabile (se ci fai caso, in ciascunio dei quattro casi c'è un solo parametro che conta davvero, ed è t).
Il più piccolo dei minimi è il minimo sulla frontiera, e il più grande dei massimi è il massimo sulla frontiera.

Se vuoi un sito di spiegazioni, BatMath dovrebbe essere abbastanza accessibile.

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Per i problemi di matematica c'è il thread in rilievo.

Comunque: disegna il dominio A sul piano cartesiano. Ti accorgi che la sua frontiera è composta dalle seguenti componenti:
- il segmento che unisce i punti (0,0) e (1,0);
- il segmento che unisce i punti (0,0) e (-1,1);
- il segmento che unisce i punti (-1,1) e (0,1);
- un arco di circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, che unisce i punti (1,0) e (0,1).
I punti di tali insiemi si possono scrivere nel modo seguente:
- per il primo, sono i punti della forma (t,0) per t tra 0 e 1 inclusi;
- per il secondo, sono i punti della forma (-t,t) per t tra 0 e 1 inclusi;
- per il terzo, sono i punti della forma (t,1) per t tra -1 e 0 inclusi;
- per il quarto, sono i punti della forma (t,1-t^2) per t tra 0 e 1 inclusi.

Ora, tu hai una funzione della forma z = f(x,y).
Di questa, puoi considerare le restrizioni ai pezzi della frontiera. Ma:
- quando restringi al primo pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,0) per t tra 0 e 1 inclusi;
- quando restringi al secondo pezzo, hai una funzione della forma z = f(-t,t) per t tra 0 e 1 inclusi;
- quando restringi al terzo pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,1) per t tra -1 e 0 inclusi;
- quando restringi al quarto pezzo, hai una funzione della forma z = f(t,1-t^2) per t tra 0 e 1 inclusi.

Calcola il minimo e il massimo di f su ciascuno dei quattro pezzi, con le tecniche che conosci per le funzioni di una sola variabile (se ci fai caso, in ciascunio dei quattro casi c'è un solo parametro che conta davvero, ed è t).
Il più piccolo dei minimi è il minimo sulla frontiera, e il più grande dei massimi è il massimo sulla frontiera.

Se vuoi un sito di spiegazioni, BatMath dovrebbe essere abbastanza accessibile.

veramente per il quarto, la soluzione mi fornisce (cos t, sen t) con t tra 0 e pi/2

grazie mille mi andrò a guardare anche il sito ed il 3d in rilievo

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

veramente per il quarto, la soluzione mi fornisce (cos t, sen t) con t tra 0 e pi/2

E' una parametrizzazione diversa; ma l'insieme è lo stesso.
Tieni conto che, nel primo quadrante, seno e coseno sono entrambi non negativi, per cui, se cos alpha = t, allora sen alpha = sqrt(1-t^2).

cmq grazie

Di nulla.

[Lucrezio]

Non è più facile con i moltiplicatori di Lagrange?
Ti scrivi il bordo in forma implicita e quindi vai a macchina...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Lucrezio

Non è più facile con i moltiplicatori di Lagrange?
Ti scrivi il bordo in forma implicita e quindi vai a macchina...

OK, tu dici: trovare massimo e minimo della funzione f(x,y) con il vincolo phi(x,y)=0, essendo quest'ultima l'equazione del bordo.
Solo che in questo caso il bordo non è una curva regolare semplice, e phi ha un'espressione alquanto complicata... sei sicuro che ci siano dei vantaggi veri?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Tieni conto che, nel primo quadrante, seno e coseno sono entrambi non negativi, per cui, se cos alpha = t, allora sen alpha = 1-t^2.

EDIT! manca una radice quadrata!
La frase esatta è:

se cos alpha = t,
allora sen alpha = sqrt(1-t^2)

Provvedo a modificare i post precedenti

[giannola]

ziosilvio grazie, il fatto di avermi detto di disegnare le rette ed il quarto di cerchio sul piano, mi ha perfettamente chiarito, lo svolgimento dell'esercizio.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da giannola

ziosilvio grazie, il fatto di avermi detto di disegnare le rette ed il quarto di cerchio sul piano, mi ha perfettamente chiarito, lo svolgimento dell'esercizio.

Prego.
Peccato che ho anche sbagliato a dare una delle parametrizzazioni... mi dispiace, ma a volte mi succede.
Rileggi i post precedenti, ho fatto qualche modifica.

[giannola]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Prego.
Peccato che ho anche sbagliato a dare una delle parametrizzazioni... mi dispiace, ma a volte mi succede.
Rileggi i post precedenti, ho fatto qualche modifica.

no vabbè a parte quello del quarto di cerchio nell' intervallo che va da 0 a Pi/2 sono tutti corretti.
casomai posso postare l'esercizio completo....

e sempre grazie!