Problema sulla Sfera.

[wacko]

Sia data la sfera:

x^2+y^2+z^2+4x-2y+4z=0

Determinare il piano tangente alla sfera e passante per l'origine degli assi cartesiani.

Non riesco a capire come si risolve.

[Buffus]

Originariamente inviato da wacko

Sia data la sfera:

x^2+y^2+z^2+4x-2y+4z=0

Determinare il piano tangente alla sfera e passante per l'origine degli assi cartesiani.

Non riesco a capire come si risolve.

posto che non ho mai fatto problemi di geometria in 3d...
cmq non esiste, come per la circonferenza, modo di ricavarsi il raggio, di calcolare l'equazione del piano tangente e di farlo passare per il punto d'origine?

[uztop]

Spero di non sbagliare perchè sono anni che non ho fatto esercizi di questo tipo
x^2+y^2+z^2+4x-2y+4z= 0 è equivalente a
(x+2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 =9
La sfera è dunque une sfera di raggio 3 e che ha per centro (-2,1,-2)

Da qui dovresti saper risolvere, la risposta è nello spoiler (spero che sia giusta)

Spoiler:

Il piano deve essere ortogonale al vettore del raggio (2,-1,2). Il piano viene definito come k1x+k2y+k3z =0. Dato che passa da 0, un vettore del piano è (k1,k2,k3). Calcola il prodotto scalare e ottieni il risultato 2k1-k2+2k3 =0 => x+2y+z=0

[a2000.1]

Risolto l'enigma matematico
un milione di dollari in palio

PECHINO - I matematici cinesi Zhu Xiping e Cao Huaidong annunciano di aver trovato la soluzione di uno dei più grandi enigmi delle scienze esatte: la Congettura di Poincaré. Una soluzione che vale un milione di dollari poiché questo teorema è uno dei sette Millenium Prize Problems riconosciuti dal Clay Mathematics Institute di Cambridge.

...

Il padre dell'enunciato è il matematico francese Henri Poincaré. La Congettura che prende il suo nome nacque nel 1904, mentre lo studioso stava lavorando ai fondamenti di quella che poi sarà chiamata topologia algebrica.

L'enunciato di Poincaré tenta di dimostrare che la sfera è il più semplice campo in cui un qualsiasi cammino chiuso possa essere contratto fino a diventare un punto (Ogni varietà chiusa n dimensionale omotopicamente equivalente alla n-sfera è omeomorfa alla n-sfera).

...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da a2000.1

Risolto l'enigma matematico
un milione di dollari in palio

Se ne parla già in questo thread.
Chi è interessato alla storia della congettura di Poincaré, vada lì.
Chi rimane qui, dia una mano a wacko.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da wacko

Sia data la sfera:

x^2+y^2+z^2+4x-2y+4z=0

Determinare il piano tangente alla sfera e passante per l'origine degli assi cartesiani.

Non riesco a capire come si risolve.

Allora: come ti ha fatto osservare uztop, la sfera passa per l'origine, il che semplifica un po' le cose.
Inoltre, sempre uztop ti ha messo l'equazione della sfera in forma normale, quindi sai qual è il raggio e qual è il centro.

Ora: il piano tangente in un punto della sfera, è ortogonale al raggio della sfera che passa per quel punto.
Questo semplifica ancora di più le cose, perché l'equazione cartesiana di un piano non fa altro che esprimere il fatto che tutti i punti del piano hanno la stessa proiezione sulla retta ortogonale al piano e passante per l'origine.
Da qui dovrebbe essere facile

[wacko]

Ma sono proprio un deficiente. Non ci avevo pensato che il punto (0,0,0) è della sfera. A questo punto basta che faccio il piano polare rispetto alla sfera nel punto (0,0,0).

Grazie a tutti .