[matematica] questione di infiniti

[CioKKoBaMBuZzo]

ieri alcuni miei amici mi hanno detto che la loro prof gli aveva dimostrato che l'insieme dei numeri naturali è minore dell'insieme dei numeri compresi tra 0 e 1 (ad esempio)...però non hanno saputo spiegarmi molto bene il prchè...qualcuno mi può far luce?

[AleX_ZeTa]

con "minore" si intende che la cardinalità dei naturali è minore di quella dei reali (o del continuo): non esiste una funzione iniettiva da R in N.

La dimostrazione è abbastanza semplice, la puoi trovare qui: http://it.wikipedia.org/wiki/Argomen...nale_di_Cantor

EDIT: scusa, ho visto ora che parlavi dei numeri [0,1]. Beh la cosa è ugualmente valida, visto che la cardinalità di [0,1] è la stessa di R.
La dimostrazione di questo è abbastanza semplice: dimostriamo che #[0,1] >= #R (con # indico la cardinalità di un insieme)... consideriamo l'insieme (0,1) contenuto in [0,1], e la funzione così definita:

f(x) = tg(x*pi - pi/2)

dove pi = pigreco

è evidente che questa funzione da (0,1) in R è biettiva, quindi - per definizione di cardinalità - #(0,1) = #R. Ma (0,1) è contenuto in [0,1] e la cardinalità è crescente... quindi #[0,1] >= #R.
Allo stesso tempo però [0,1] è contenuto in R: segue che #[0,1] <= #R
Dalle due disuguaglianze si deduce #[0,1] = #R
(in realtà io uso quei <>= con troppa leggerezza... dietro quello che scrivo c'è un teorema, noto come Teorema di Bernstein... ma almeno a livello intuitivo se ne può fare a meno)

E visto che noi sappiamo già che #N < #R, #N < #[0,1]

[Lucrezio]

Il solito sbanfone...
Adesso invio il tutto per mail ad ambrosio e poi si ride!!!


P.S.: Dai, lo sai che ti voglio bene, non lo farei mai...

[AleX_ZeTa]

fottiti

almeno posta qualcosa di utile: non mi ricordo la funzione biettiva da [0,1] in R... e ho dovuto girarci intorno...

[Lucrezio]

Originariamente inviato da AleX_ZeTa

fottiti

almeno posta qualcosa di utile: non mi ricordo la funzione biettiva da [0,1] in R... e ho dovuto girarci intorno...

La vedo duretta... per essere biettiva serve che l'immagine sia tutto R, no?
quindi niente estremi...


P.S.: quando torni giù?

[AleX_ZeTa]

già, infatti non è continua... l'avevo vista ma non me la ricordo proprio.

(torno domani mattina)

[JL_Picard]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

ieri alcuni miei amici mi hanno detto che la loro prof gli aveva dimostrato che l'insieme dei numeri naturali è minore dell'insieme dei numeri compresi tra 0 e 1 (ad esempio)...però non hanno saputo spiegarmi molto bene il prchè...qualcuno mi può far luce?

Bene. ad ogni numero naturale puoi associare biunivocamente il suo inverso.

Tutti gli inversi dei numeri naturali sono minori o al più uguali ad uno.

In questo modo hai associato ad OGNI naturale un numero

o < k <= 1

E' facile dimostrare inoltre che esistono infiniti numeri < 1 che non sono l'inverso di un numero intero.

ad esempio i numeri del tipo K = m / (m+1) [con m > 1] [otterresti la serie 2/3, 3/4, 4/5, ...]

oppure K = (radice n-esima) di m con m < 1

E tutto quanto senza far ricorso a teoremi complicati.

[Banus]

Originariamente inviato da JL_Picard

E' facile dimostrare inoltre che esistono infiniti numeri < 1 che non sono l'inverso di un numero intero.

Questo argomento non basta: ad esempio i numeri razionali in [0,1] sono infiniti eppure Q e N hanno la stessa cardinalità.

La dimostrazione più rapida del fatto che i reali in [0,1] sono "di più" dei naturali si può fare così:
- c'è un teorema (di Cantor) che afferma che la cardinalità di P(A) (insieme delle parti o insieme potenza di A) è strettamente maggiore di quella di A. In simboli:
#P(A) > #A

- si possono rappresentare i reali fra 0 e 1 in forma binaria decimale, cioè:
0,00000..
0,10100..
0,01000..

- Ora, interpretiamo la parte decimale di questi numeri come la codifica di un sottoinsieme di N. Se c'è 1 in prima posizione il sottoinsieme contiene "1", se è in seconda "2" e così via.

- Abbiamo una funzione biunivoca fra i reali in [0,1] e P(N), che quindi hanno la stessa cardinalità. Quindi per il teorema citato all'inizio:
#[0,1] > N

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

- si possono rappresentare i reali fra 0 e 1 in forma binaria decimale, cioè:

Questo mi ricorda qualcosa

[Banus]

Originariamente inviato da lowenz

Questo mi ricorda qualcosa

Si vede che ho fatto informatica teorica

[JL_Picard]

Originariamente inviato da Banus

Questo argomento non basta: ad esempio i numeri razionali in [0,1] sono infiniti eppure Q e N hanno la stessa cardinalità.

Ma io ho dimostrato che l'insieme dei reciproci (che ha certamente la stessa cardinalità dell'insieme degli interi, visto che ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento dei due insiemi) è un sottoinsieme proprio dei numeri compresi fra zero e uno.

E credo proprio che questo basti a dimostrare che i numeri fra zero e uno siano "di più" dei naturali.

Mentre scrivevo mi è venuta in mente un altro esempio:

Pensa alle frazioni del tipo K = m/n con n>m

Ora immagina di ordinarle per numeratore in questo modo (omettendo le frazioni non ridotte ai minimi termini):

prima riga 1/2, 1/3, 1/4, ...

seconda riga 2/3, 2/5, 2/7, ...

terza riga 3/4, 3/5, 3/7, ...

in questo modo puoi associare ad ogni riga, composta di un numero INFINITO di termini uno e uno solo numero naturale (il numeratore).

Ho quindi dimostrato che ad OGNI numero naturale corrispondono INFINITE frazioni proprie (< 1).

Inoltre devi sempre tener conto che "avanzano" ancora tutti gli irrazionali compresi fra 0 e 1.

[AleX_ZeTa]

il tuo argomento non è assolutamente sufficiente, anzi è inutile: i razionali hanno la stessa cardinalità dei naturali, questo significa che esiste una funziona che associa ad ogni razionale uno ed un solo naturale, e viceversa. I problemi sorgono solo quando consideri gli irrazionali... come puoi vedere dalle due dimostrazioni che abbiamo postato io e Banus

[Banus]

Originariamente inviato da JL_Picard

Ma io ho dimostrato che l'insieme dei reciproci (che ha certamente la stessa cardinalità dell'insieme degli interi, visto che ho stabilito una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento dei due insiemi) è un sottoinsieme proprio dei numeri compresi fra zero e uno.

Ma questo è sufficiente solo a dimostrare che i numeri reali fra 0 e 1 hanno cardinalità maggiore o uguale a N.
Tutte le frazioni possono essere considerate una coppia ordinata (m,n) di naturali diversi da 0, e numerate seguendo un procedimento a zig zag, esempio:
(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), ...
rimuovendo i doppioni, ad esempio (2,2) è la stessa frazione di (1,1). Avendo una funzione biunivoca, N e Q hanno la stessa cardinalità (eppure esistono infinite frazioni con lo stesso denominatore).

Puoi usare un procedimento simile associando a una tupla di k naturali ordinati un'equazione algebrica di grado k. Le soluzioni di questa equazione sono numeri algebrici e possono essere numerate; cioè anche i numeri algebrici (tutti quelli con soli radicali) sono numerabili.

Per dimostrare che i reali sono "di più" devi dimostrare che non è possibile trovare una funzione biunivoca come quelle precedenti fra N e [0,1] nei reali. Non basta trovare una funzione iniettiva.

[JL_Picard]

Ok. Ora è più chiaro.

Ammetto di essere un pò arrugginito sull'argomento.