Calcolo degli interessi su base bimestrale con il criterio di giorni 360/360

[havanalocobandicoot]

Non riesco a risolvere un banale problema di economia. Ve lo pongo nella maniera più semplice possibile.

Capitale: 1 euro
Tasso d'interesse: 1.60%
Tipo d'interesse: composto.

Gli interessi vengono calcolati su base bimestrale con il criterio di giorni 360/360.
Calcolare gli interessi allo scadere di 1 anno e 2 mesi.

Il risultato dovrebbe essere 1.01938667 euro, ma non conosco la formula per calcolarlo. Mi potreste suggerire come fare?

Mi sono pure accorto che la differenza tra il risultato e il montante al primo anno (1.016 euro) è pari a quest'ultimo diviso 300, e quindi...
1.01938667 - 1.016 = 1.016 / 300
1.01938667 = 1.016 + 1.016 / 300 = 1.016 * (1 + 1/300) dà il risultato corretto, ma non capisco cosa possa c'entrare. Secondo logica, l'interesse relativo al bimestre dovrebbe essere 1/6 del tasso d'interesse annuo, no? Quindi secondo me dovrebbe essere:
1.016 * (1 + 1.6/600). Ma dà un risultato sbagliato. In cosa sbaglio?

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Non riesco a risolvere un banale problema di economia. Ve lo pongo nella maniera più semplice possibile.

Capitale: 1 euro
Tasso d'interesse: 1.60%
Tipo d'interesse: composto.

[...] Secondo logica, l'interesse relativo al bimestre dovrebbe essere 1/6 del tasso d'interesse annuo, no? Quindi secondo me dovrebbe essere:
1.016 * (1 + 1.6/600). Ma dà un risultato sbagliato. In cosa sbaglio?

La risposta è sì e no...
mi spiego meglio: l'interesse bimestrale è un sesto di quello annuale, ma solo in capitalizzazione semplice.
Invece il tuo problema presuppone un interesse composto

Mettiamolo in decimale che è meglio:
i = 0,0160

Se è un tasso annuo puro (ovvero non di quelli nominali convertibili) allora per convertire da annuo a bimestrale devi fare
i (bimestrale) = (1 + 0,0160)^(1/6) - 1 = 0,002649... = 0,2649 %

Spero di essere stato abbastanza chiaro
Un saluto!

[zip87]

Ma l'interesse dell'1,60% è bimestrale o annuale?

[smorgan]

Originariamente inviato da zip87

Ma l'interesse dell'1,60% è bimestrale o annuale?

1,60% è l'int annuale
usando la formula postata da King Crimson diventa bimestrale

[zip87]

quindi l'interesse maturato bimestralmente su 1€ con tasso al 1,60% non viene calcolato così?

(1*1,60%*2)\12

cioè 0,0027€ bimestrali....

quindi annuali: 0,016€
(1*1,60%*12)\12

quindi se ci prestano 1€ a quel tasso dopo un anno dobbiamo restituire 1,016€

Sono giusti i procedimenti o no?

[smorgan]

in questo caso siamo in capitalizzazione composta
dovrebbe essere cosi
1*[(1,016)^(2/12)]=1,002649
al 1° bimestre

dopo un anno hai:
1*[1,016^(12/12)]=1,016^1=1,016

[havanalocobandicoot]

Allo scadere del primo anno il tasso d'interesse è 1.60%, ma non tenevo in considerazione che l'interesse del bimestre successivo (cioè quando sono passati 1 anno e 2 mesi dall'inizio) va calcolato sul tasso d'interesse del 2° anno (che è 2%). Pensavo si tenesse in considerazione ancora il tasso d'interesse del 1° anno.

Quindi:

1.016 · (1 + 0.02 · (2/12)) = 1,01938667 euro

Corretto.
Grazie comunque.

Però non capisco la formula di King Crimson... non conosco il concetto di tasso annuo puro.

[smorgan]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Allo scadere del primo anno il tasso d'interesse è 1.60%, ma non tenevo in considerazione che l'interesse del bimestre successivo (cioè quando sono passati 1 anno e 2 mesi dall'inizio) va calcolato sul tasso d'interesse del 2° anno (che è 2%). Pensavo si tenesse in considerazione ancora il tasso d'interesse del 1° anno.

Quindi:

1.016 · (1 + 0.02 · (2/12)) = 1,01938667 euro

Corretto.
Grazie comunque.

Però non capisco la formula di King Crimson... non conosco il concetto di tasso annuo puro.

è una formula per trasformare un tasso annuale in un tasso con durata inferiore in capitalizzazione composta
in gen. è:
i =(1+I)^(1/m)
dove m sta per i periodi del tasso all'interno dell'anno, in questo caso è 6 (ci sono 6 bimestri in un anno)
I è il tasso annuale, i è il tasso di periodo

[King Crimson]

Originariamente inviato da smorgan

è una formula per trasformare un tasso annuale in un tasso con durata inferiore in capitalizzazione composta
in gen. è:
i =(1+I)^(1/m)
dove m sta per i periodi del tasso all'interno dell'anno, in questo caso è 6 (ci sono 6 bimestri in un anno)
I è il tasso annuale, i è il tasso di periodo

Esattamente così, non avrei saputo spiegarlo meglio!

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Allo scadere del primo anno il tasso d'interesse è 1.60%, ma non tenevo in considerazione che l'interesse del bimestre successivo (cioè quando sono passati 1 anno e 2 mesi dall'inizio) va calcolato sul tasso d'interesse del 2° anno (che è 2%). Pensavo si tenesse in considerazione ancora il tasso d'interesse del 1° anno.

Quindi:

1.016 · (1 + 0.02 · (2/12)) = 1,01938667 euro

Corretto.
Grazie comunque.

Però non capisco la formula di King Crimson... non conosco il concetto di tasso annuo puro.

[Premessa: chiedo scusa per il ritardo nella risposta, spero che ti possa ancora essere d'aiuto]

mmmh, no... non è corretto

Cerchiamo di ricapitolare
- il tuo capitale iniziale è 1 euro, chiamiamolo C
- il primo anno l'interesse è 1,60% annuo, chiamiamolo i1a
- il secondo anno l'interesse è 2,00% annuo , chiamiamolo i2a
- ritiri il capitale dopo un anno + un bimestre.

allora prima converti il tasso annuo del secondo periodo in bimestrale
i2b = (1 + i2a)^(1/6) - 1 = (1 + 0,02)^(1/6) - 1 = 0,00330589
perchè come ti hanno fatto giustamente notare in un anno ci sono 6 bimestri.

Il tuo montante, parziale, a fine del primo anno sarà
M1 = C(1 + i1a) = 1 * (1 + 0,016) = 1,016

Al ritiro, il montante finale sarà invece
M = M1(1 + i2b) = 1,016 * (1 + 0,00330589) = 1,019358784 = ~1,02 euro.

[havanalocobandicoot]

Originariamente inviato da King Crimson

[Premessa: chiedo scusa per il ritardo nella risposta, spero che ti possa ancora essere d'aiuto]

mmmh, no... non è corretto

Cerchiamo di ricapitolare
- il tuo capitale iniziale è 1 euro, chiamiamolo C
- il primo anno l'interesse è 1,60% annuo, chiamiamolo i1a
- il secondo anno l'interesse è 2,00% annuo , chiamiamolo i2a
- ritiri il capitale dopo un anno + un bimestre.

allora prima converti il tasso annuo del secondo periodo in bimestrale
i2b = (1 + i2a)^(1/6) - 1 = (1 + 0,02)^(1/6) - 1 = 0,00330589
perchè come ti hanno fatto giustamente notare in un anno ci sono 6 bimestri.

Il tuo montante, parziale, a fine del primo anno sarà
M1 = C(1 + i1a) = 1 * (1 + 0,016) = 1,016

Al ritiro, il montante finale sarà invece
M = M1(1 + i2b) = 1,016 * (1 + 0,00330589) = 1,019358784 = ~1,02 euro.

Con il tuo metodo c'è però una discrepanza tra quello che dovrebbe essere il risultato (1.01938667 euro) e il tuo (1,019358784 euro). La differenza sarà pure minima, ma c'è; invece col mio metodo no.
Forse ti induce in errore una cosa: gli interessi sono calcolati su base bimestrale in regime di capitalizzazione semplice e capitalizzati annualmente in regime composto. Hai tenuto conto di questo?

Inoltre, continuo ad ignorare il concetto di tasso annuo puro e a non comprendere concettualmente la tua formula: prende il tasso annuale, ci aggiunge 1, eleva alla radice ennesima (con n pari al numero di periodi) e poi sottrae 1. Non capisco tutto il ragionamento che porta alla formula, tra cui quella radice ennesima.

Oltre a questo, chiedo se qualcuno ha la pazienza di spiegarmi perché il tasso effettivo di rendimento lordo (di cui non conosco a fondo il concetto) è pari alla media dei tassi nominali annui lordi.

Su tutto questo ci sto sbattendo da ore ma non arrivo a conclusioni utili...

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Con il tuo metodo c'è però una discrepanza tra quello che dovrebbe essere il risultato (1.01938667 euro) e il tuo (1,019358784 euro). La differenza sarà pure minima, ma c'è; invece col mio metodo no.
Forse ti induce in errore una cosa: gli interessi sono calcolati su base bimestrale in regime di capitalizzazione semplice e capitalizzati annualmente in regime composto. Hai tenuto conto di questo?

Inoltre, continuo ad ignorare il concetto di tasso annuo puro e a non comprendere concettualmente la tua formula: prende il tasso annuale, ci aggiunge 1, eleva alla radice ennesima (con n pari al numero di periodi) e poi sottrae 1. Non capisco tutto il ragionamento che porta alla formula, tra cui quella radice ennesima.

Oltre a questo, chiedo se qualcuno ha la pazienza di spiegarmi perché il tasso effettivo di rendimento lordo (di cui non conosco a fondo il concetto) è pari alla media dei tassi nominali annui lordi.

Su tutto questo ci sto sbattendo da ore ma non arrivo a conclusioni utili...

Ah ok, non avevo letto che gli interessi bimestrali erano in capitalizzazione semplice.
In tal caso allora è giusto il tuo di risultato.

Per quanto riguarda il tasso annuo
- per tasso annuo puro si intende semplicemente il tasso annuo, infatti si può tranquillamente omettere il termine "puro"
- alcuni aggiungono il termine puro per distinguere tale tasso dal cosiddetto "nominale convertibile", che è semplicemente un valore di comodo (talvolta usata per dare impressione di maggior vantaggio nello stipulare il contratto... ma alla realtà dei fatti non serve a nulla, perchè appunto devi convertirlo).

La formula è una semplice applicazione/derivazione della formula generale presente in matematica finanziaria (per quanto riguarda la capitalizzazione composta) che stabilisce l'uguaglianza dei tassi al cambiare la stuttura dei periodi
Tale formula è, se non ricordo male, (1 + i[h])^h = (1 + i[k])^k.
Dove h è la scansione temporale iniziale, nel tuo caso bimestri; e k quella finale, cioè anni.
Facendo qualche semplificazione algebrica si arriva alla formula che ho scritto nel post precedente.

Spero di averti tolto qualche dubbio.
Un saluto!

[havanalocobandicoot]

Originariamente inviato da King Crimson

La formula è una semplice applicazione/derivazione della formula generale presente in matematica finanziaria (per quanto riguarda la capitalizzazione composta) che stabilisce l'uguaglianza dei tassi al cambiare la stuttura dei periodi
Tale formula è, se non ricordo male, (1 + i[h])^h = (1 + i[k])^k.
Dove h è la scansione temporale iniziale, nel tuo caso bimestri; e k quella finale, cioè anni.
Facendo qualche semplificazione algebrica si arriva alla formula che ho scritto nel post precedente.

Non ho mai fatto matematica finanziaria, ma solo un po' di estimo.
Avresti la pazienza di spiegarmi come si arriva a quella formula?

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Non ho mai fatto matematica finanziaria, ma solo un po' di estimo.
Avresti la pazienza di spiegarmi come si arriva a quella formula?

Allora partiamo dalla formula generale della capitalizzazione composta, che è: M = C * (1 + i)^t
(dove C è il capitale investito ed M il montante finale)

Vediamo perché si eleva a potenza nella capitalizzazione composta.
Facciamo un esempio: investi un capitale di 1000 euro per tre anni, al 10% annuo.
Meccanicamente si può fare
1000(1+0,1) = 1100 --> 1100(1+0,1) = 1210 --> 1210(1+0,1) = 1331

Matematicamente, visto che moltiplichi sempre per uno stesso fattore, puoi riscrivere
1000 * (1+0,1)^3 = 1331
Finanziariamente si spiega con il fatto che gli interessi sono fruttiferi, cioè anch’essi sono reinvestiti di anno in anno.

Andiamo ora ad analizzare la formula (1 + i[h])^h = (1 + i[k])^k

Poniamo che fai un investimento di 1000 euro al 1° gennaio che ti porta ad avere a fine anno 1200.
La banca ti paga gli interessi solamente alla fine del periodo. Il tasso di interesse applicato è quindi il 20% annuo
A te il risultato sta bene, però, hai delle spese varie da effettuare e ti serve liquidità a breve termine.

Chiedi alla banca un investimento equivalente, che però paga gli interessi trimestralmente.
Per investimento equivalente si intende un investimento che
- ti fornisce uno stesso montante
- in uno stesso lasso di tempo

Quindi passi da:

1000...................................................................1200
|------------------------------------------------------|

a:

1000..........I trim...........II trim...........III trim...........1200
|------------|-------------|-------------|-------------|

La banca deve quindi trovare il tasso trimestrale al quale ti pagherà gli interessi trimestrali. Inoltre tu alla fine dell’anno devi comunque avere a disposizione 1200 euro

Quindi le due capitalizzazioni sono matematicamente uguali perché
- annualmente si ha: 1000 * (1 + 0,2)^1 = 1200
- trimestralmente si ha: 1000 * (1 + x)^4 = 1200… con x tasso di interesse incognito, e 4 perché in un anno ci sono 4 trimestri

Manipolo algebricamente
(1 + 0,2)^1 = (1 + x)^4 <---> (1 + i[h])^h = (1 + i[k])^k
1,2 = (1 + x)^4
1 + x = 1,2^(1/4)
x = 1,2^(1/4) – 1 <---> x = (1+i[h])^(h/k) – 1
x = 0,0466
x = 4,66 % trimestrale

Ed ecco come salta fuori la formula.

-----

Tornerei, inoltre, un attimo sulla soluzione dell’esercizio che hai postato (quando mi hai detto se avevo tenuto conto che la capitalizzazione degli interessi bimestrali era di tipo semplice):
un altro aspetto importante nella risoluzione di questa tipologia di problemi, è quello di tener conto della convenzione utilizzata nella capitalizzazione composta
Esistono due convenzioni
- capitalizzazione composta convenzione esponenziale (CCCE): hai un tasso annuale e disinvesti il capitale, ad esempio, dopo due anni e due mesi. Gli interessi dell’ultimo bimestre (che quelli dei due precendeti periodi)vengono calcolati sempre in capitalizzazione composta [è l’esercizio come l’ho risolto io nel post del 02-03-2009]
- capitalizzazione composta convenzione lineare (CCCL): anche qui hai un tasso annuale e disinvesti il capitale dopo due anni e due mesi. Gli interessi dei primi due anni sono calcolati in capitalizzazione composta, mentre quelli dell’ultimo bimestre sono calcolati in capitalizzazione semplice [ovvero l’esercizio come tu l’hai risolto].

Sono metodi entrambi corretti, bisogna solo specificare quello che si usa.

-----

Mi pare di aver detto tutto.
Se c’è qualche punto oscuro chiedi pure.

Un saluto!

[havanalocobandicoot]

Grazie davvero, King Crimson. Difficilmente mi sarei aspettato una spiegazione così dettagliata, e soprattutto di capirla, dato l'argomento di matematica finanziaria di cui non sono molto pratico.

Scusate il fuori tema, ma ti vorrei chiedere se per comporre il messaggio hai usato un editor di testo particolare, vista la formattazione precisa (vedasi i due schemini "1000-1200" con i puntini bianchi e i trattini neri) e l'utilizzo di caratteri particolari (mi riferisco all'apostrofo ’ al posto dell'apostrofo ' che fa la mia tastiera, e nella seconda formula alla à che avevi usato prima di editare il messaggio con -->).

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Grazie davvero, King Crimson. Difficilmente mi sarei aspettato una spiegazione così dettagliata [...]

Nessun problema, è stato un piacere!

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Scusate il fuori tema, ma ti vorrei chiedere se per comporre il messaggio hai usato un editor di testo particolare, [...]

No nessun editor particolare... ho semplicemente usato Word.
Solo che mi sono dimenticato di riscrivere manualmente i caratteri (come ad es. le frecce) che l'HTML non vede.

[havanalocobandicoot]

Originariamente inviato da King Crimson

No nessun editor particolare... ho semplicemente usato Word.

Che furbo...
Comunque Word è pur sempre un editor di testo . Con "particolare" intendevo "diverso rispetto all'editor integrato del forum".

[havanalocobandicoot]

Ah, un'altra cosa... L'avevo chiesto prima ma poi è sfuggito anche a me.
Perché il tasso effettivo di rendimento lordo (di cui non conosco a fondo il concetto) è pari, se non erro, alla media dei tassi nominali annui lordi?

[King Crimson]

Originariamente inviato da havanalocobandicoot

Ah, un'altra cosa... L'avevo chiesto prima ma poi è sfuggito anche a me.
Perché il tasso effettivo di rendimento lordo (di cui non conosco a fondo il concetto) è pari, se non erro, alla media dei tassi nominali annui lordi?

Mi spiace, ma a questa domanda proprio non so rispondere.
Speriamo che passi qualcun altro che possa illuminarci entrambi!