statistica: help su calcolo combinatorio

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

dammi pure dell'imbranato ma a me quella famiglia di sottoinsieme crea ancora dei problemi

dire che A è una famiglia di eventi sottoinsiemi di omega e poi dire che A è una sigma-algebra se contiene omega, fa apparire omega come se fosse un sottoinsieme di A


no ho mai fatto insiemistica e riconosco che è un grosso limite

infatti omega stesso è un sottoinsieme di A, questo è vero! forse ora ci siamo
l'intero spazio campionario omega infatti può essere tranquillamente considerato un evento, in particolare è un evento certo con probabilità 1.

esempio, lancio di un dado: omega = {1,2,3,4,5,6}
considera l'evento E: esce 1 oppure 2 oppure 3 oppure 4 oppure 5 oppure 6
risulta quindi che E = {1,2,3,4,5,6} = omega, e l'evento E si verifica di sicuro (racchiude tutti gli elementi dello spazio campionario, non può uscire alcun altro numero!)

Ed E, in quanto evento, è incluso nello spazio degli eventi A

[misterx]

ho la seguente situazione che mi è oscura parlando del modello binomiale

probabilità di estrazioni di palline nere da un'urna: con reimissione

P(k) =  m  * P^k * (1-P)^n-k * Ik{0,..,m}
       ---
        k

m = numero di palline estratte nera o bianca
k = è un volore che va da 0 a m
n = numero di palline totali nell'urna
I = è una funzione indicatice, mah...

Leggo che quando k = 2m la funzione indicatrice I vale zero: perchè secondo te ?



img.gif

[Krammer]

boh sinceramente quella formula non mi dice nulla
sicuro di averla scritta bene?

o sono io che so fuso, riguarderò meglio domani

[misterx]

la formula è giusta

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

la formula è giusta

ah ho visto ora l'edit di ieri.
così con k{1,..,m} come pedice mi pare già più sensata la formula
restano 2 "problemi": onestamente non ho idea di cosa intendano per funzione indicatrice (indicatrice di cosa?), e soprattutto perchè k sarebbe compreso tra 1 ed m, se poi gli si da valore 2m?

in che ambito hai trovato questo esempio? dammi qualche elemento in più pls

[misterx]

scusa, per il momento accantono quella formula; me la lascio per quando avrò più confidenza con tale materia

Un dubbio: P(X = 2) = 1/4
dove X è la variabile aleatoria e P è la probabilità che non ho capito se è anch'essa una funzione in quanto di depista la scrittura P( X = a qualche cosa) all'interno di un argomento...mah....
continuo con la domanda....scrive X = 2 significa che mi aspetto almeno 2 successi e che la probabilità che ho di ottenerli è 1/4 ?

Per farti capire, l'esercizio parla di una moneta nella quale X viene definita come il numero di teste T in due lanci della moneta: suppongo che intendesse dire che si aspetta due volte testa da due lanci.

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

scusa, per il momento accantono quella formula; me la lascio per quando avrò più confidenza con tale materia

Un dubbio: P(X = 2) = 1/4
dove X è la variabile aleatoria e P è la probabilità che non ho capito se è anch'essa una funzione in quanto di depista la scrittura P( X = a qualche cosa) all'interno di un argomento...mah....

significa che P è la probabilità della variabile aleatoria X quando X è uguale ad un qualche valore. in questo caso la probabilità che X = 2 è 1/4

continuo con la domanda....scrive X = 2 significa che mi aspetto almeno 2 successi e che la probabilità che ho di ottenerli è 1/4 ?

Per farti capire, l'esercizio parla di una moneta nella quale X viene definita come il numero di teste T in due lanci della moneta: suppongo che intendesse dire che si aspetta due volte testa da due lanci.

si esatto. nel caso di 2 lanci di una moneta, con la v.a. X definita in questo modo ci sono solo 3 casi possibili: X=0 (2 lanci 2 croci), X=1 (2 lanci, 1 croce e 1 testa, in questo esempio l'ordine non conta), X=2 (2 lanci 2 teste)
le rispettive probabilità saranno:
P(X = 0) = 1/4
P(X = 1) = 2/4 = 1/2
P(X = 2) = 1/4

dipende tutto da come viene definita la v.a.: in questo caso X rappresenta il numero dei successi

[misterx]

ciao krammer,
visto che sei molto navigato su questa materia provo a chiederti questa cosa. Ci è stato fatto un esempio circa due avvenimenti allo scopo di spiegare il teorema di Bayes.
In un foglio di excel sono stati inseriti in una colonna A 100 osservazioni di un fenomeno accaduto 100 anni prima e cioè se il tal giorno pioveva si segnava 1 in caso contrario si segnava 0.

Nel medesimo foglio è stata riempita con 100 osservazioni i giorni che un tizio portava l'ombrello, ma 100 anni dopo; 1 se lo portava e 0 l'opposto.

Prese le due osservazioni si è cercato di unirle per vedere se ci fossero dei legami ma, in statistica si può mettere assieme anche eventi così differenti ?

E se ci fossero delle coincidenze, che valore avrebbero ?
E' con bayes che si studiano fenomeni di questo tipo ?


p.s.
è come se mettessi assieme i giorni che mangio pasta ed i giorni in cui piove


potresti chiedermi a questo punto, se io i libri li leggo e studio ma, mi è stato detto che ognuno la statistica la spiega a modo suo

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

ciao krammer,
visto che sei molto navigato su questa materia

non sono molto navigato, tutt'altro: anch'io sto ripassando con te questi concetti che avevo studiato per un esame dato un bel po' di anni fa ma la statistica e il calcolo delle probabilità è sempre stato per me un campo interessante e anche utile

provo a chiederti questa cosa. Ci è stato fatto un esempio circa due avvenimenti allo scopo di spiegare il teorema di Bayes.
In un foglio di excel sono stati inseriti in una colonna A 100 osservazioni di un fenomeno accaduto 100 anni prima e cioè se il tal giorno pioveva si segnava 1 in caso contrario si segnava 0.

Nel medesimo foglio è stata riempita con 100 osservazioni i giorni che un tizio portava l'ombrello; 1 se lo portava e 0 l'opposto.

Prese le due osservazioni si è cercato di unirle per vedere se ci fossero dei legami ma, in statistica si può mettere assieme anche eventi così differenti ?

non mi sembrano gli eventi di questo esempio così slegati come dici, anzi! entrambi rappresentano in qualche modo le probabilità che ci sia "brutto tempo": se il cielo è coperto è molto probabile che piova e che il tizio porti l'ombrello, viceversa se il cielo è sereno è improbabile che piova e che il tizio porti l'ombrello.
certo bisogna fare delle precisazioni: ad esempio si suppone che il tizio porti l'ombrello secondo logica (quasi sempre se piove o se il cielo è coperto) e non "a caso" (indipendentemente dalla situazione meteorologica), altrimenti si che i 2 eventi non hanno alcuna correlazione tra loro come sostieni.
in secondo luogo gli esperimenti sono tanto più correlati ed chiari quanto più i "domini" delle osservazioni coincidono: se l'osservazione delle precipitazioni viene svolta in india e il tizio con l'ombrello sta in canada, e/o se le precipitazioni vengono trascritte nell'inverno di 100 anni fa e il tizio con l'ombrello è stato controllato nell'estate di quest'anno, allora la correlazione tra i 2 eventi è quasi assente (il che non significa cmq che non esiste alcuna correlazione tra loro, ma solamente che il "dominio" viene enormemente "dilatato" - clima a livello mondiale e nell'arco dei secoli/stagioni, rispetto al clima di una determinata regione in una determinata stagione di un anno preciso - per cui le osservazioni perdono valore visto che campionano malamente il suddetto dominio).

E se ci fossero delle coincidenze, che valore avrebbero ?

nel campo della statistica tutti gli eventi sono coincidenza! si tratta di capire quali coincidenze sono più probabili di altre e di calcolarne in qualche modo il valore

E' con bayes che si studiano fenomeni di questo tipo ?

anche si, ma dipende da cosa viene richiesto di studiare...

[misterx]

scusa ma mi sono dimenticato di scrivere che il tizio con l'ombrello è stato osservato 100 dopo

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

scusa ma mi sono dimenticato di scrivere che il tizio con l'ombrello è stato osservato 100 dopo

in tal caso i 2 eventi sono sicuramente poco correlati tra loro.

ma alcune inferenze si possono cmq dedurre a partire da questi, anche se il loro valore sarà "limitato". dai test effettuati si possono stilare le probabilità che piova o non piova e le conseguenti probabilità che il tizio prenda l'ombrello se piove o meno.con bayes quindi si possono calcolare ad esempio le probabilità che abbia piovuto 100 anni prima nel caso che il tizio abbia preso l'ombrello o meno.
lascia un bel po' il tempo che trova come inferenza, visto la scarsa correlazione tra i 2 eventi, ma un valore almeno nominale potrebbe avercelo...

[misterx]

ciao krammer,
per quanto riguarda la varianza, leggo che se si analizzano un certo numero di dati e questi sono di molto diversi tra loro, significa che si ha elevata dispersione. Wikipedia recita un esempio di voti per un esame dove, se la varianza mostra un numero elevato allora l'esame è considerato difficile, viceversa l'esame è facile.

Mi chiedo rispetto a cosa va riferito il valore della varianza. Ho provato con una serie di dati di voti d'esame ed ho ottenuto valori poco comprensibili.

Se ad esempio ho i seguenti voti:
18
18
18
18
30

la varianza vale 23.04

invece con:
18
18
30
30
30

la varianza vale 34.56 e così viene da pensare che sia ancora più difficile passare quell'esame nonostante prevalga il 30 sul 18


forse si devono considerare più dati per avere qualcosa di più significativo ?

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

ciao krammer,
per quanto riguarda la varianza, leggo che se si analizzano un certo numero di dati e questi sono di molto diversi tra loro, significa che si ha elevata dispersione. Wikipedia recita un esempio di voti per un esame dove, se la varianza mostra un numero elevato allora l'esame è considerato difficile, viceversa l'esame è facile.
[CUT]

l'esempio citato in wiki è decisamente fuoriluogo e fuorviante in questo caso: è la media dei voti che ci può dare indicazioni adeguate sulla "difficoltà" di un esame, non la varianza.

per farti capire con un semplice esempio: se in un esame tutti prendono 18 la varianza è esattamente uguale a zero, è nulla; mentre se tutti prendono voti compresi tra il 18 e il 30 con una media del 24 (voti ben più alti, quindi l'esame dovrebbe essere più "semplice"), la varianza sarà positiva e anche abbastanza elevata. nel caso estremo si massimizza la varianza se la metà degli studenti prendono esattamente 18 e l'altra metà esattamente 30: in tal caso la varianza risulterà sempre 36, indipendentemente da quanti studenti abbiano sostenuto l'esame, che siano 10, 100, 1000 o quanti vuoi (questo per rispondere anche alla tua ultima domanda: la quantità di dati, in questo specifico caso è ininfluente).


la varianza indica, come hai ben detto all'inizio, la dispersione dei dati campionati rispetto alla media aritmetica: più i valori di questi dati si discostano dalla media complessiva e maggiore sarà la varianza, al contrario più i valori sono vicini alla media più la varianza sarà piccola, fino ad annullarsi (nel caso in cui tutti i dati abbiano valori uguali, e uguali quindi anche alla loro media).

l'esempio usato da wiki dovrebbe essere interpretato in questo modo: si deve intendere come "difficile" un esame in cui gli studenti prendono voti molto diversi tra loro, e quindi la loro preparazione è maggiormente variegata, e pochi, solo i migliori prendono il massimo dei voti. viceversa se tutti prendono voti molto simili tra di loro dovrebbe significare che hanno tutti fatto l'esame nel medesimo modo indipendentemente dalla loro bravura e preparazione (ci sono sempre studenti più capaci e altri meno), quindi l'esame è più "facile", perchè magari hanno tutti copiato o il prof regala a tutti più o meno lo stesso voto

ma come detto è un esempio mal riuscito imho, visto che per come la intendiamo di solito un esame in cui tutti prendono solo 18-19 dovrebbe essere più ostico di un esame in cui i voti sono spalmati in un range che va dal 18 al 30
e l'indicazione di "difficoltà" in questo senso ce la da la media e non la varianza

[misterx]

grazie krammer, mi guarderò bene anche su quello che leggo in wikipedia.

leggo a proposito di cose già discusse con te:

2.3 Eventi dipendenti ed indipendenti.
E' bene a questo punto precisare meglio il concetto di dipendenza o indipendenza tra due eventi.
L'indipendenza può essere logica o intuitiva quando tra gli eventi non c'è nesso plausibile. Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65."
B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo zero."
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è assolutamente indipendente dal numero estratto sulla ruota di Genova e viceversa.

I due eventi sono quindi indipendenti fra loro.

Non sempre le cose sono così chiare.


Non avendo studiato logia per me non è affatto chiaro neppure questo seppur semplice esempio ma, ripensandoci bene mi sono detto: forse intendeva dire che se sulla ruota di genova fosse uscito il 30 oppure il 45 o il 20, a L'Aquila avrebbero avuto lo stesso una temperatura notturna sotto zero; quindi, il risultato dell'estrazione è ininfluente sulla temperatura notturna di quella città.

Ma se uno volesse dimostrarlo ?

Lo dovrebbe fare attraverso lo spazio campione e se l'intersezione dei due eventi è l'insieme vuoto allora i due eventi sono disgiunti ?

Ma se l'evento A fosse stato: "a Genova è uscito il 65 e nevicava" e l'evento B "a L'Aquila la temperatura è scesa sotto lo zero e nevicava" è ancora possibile dire che gli eventi sono disgiunti ?
Boh!


Dipendenza indipendenza

Ma due eventi sono dipendenti sse uno dei due modifica lo spazio campione per l'altro ?

Esempio: ho due dadi ed ipotizzo che escano due 6. Le possibilità(coppie) sono 36 cioè: (1,1),(1,2),...,(2,1),(2,2),..,(6,1),...,(6,6) quindi una probabilità P=1/36
Ma se lancio il primo dado ed ottengo un 6, a questo punto lo spazio campione per il secono diminuisce e quindi, credo che aumenti la probabilità che col secondo dado esca una 6 con una P=1/6


torno a studiare

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

grazie krammer, mi guarderò bene anche su quello che leggo in wikipedia.

leggo a proposito di cose già discusse con te:

2.3 Eventi dipendenti ed indipendenti.
E' bene a questo punto precisare meglio il concetto di dipendenza o indipendenza tra due eventi.
L'indipendenza può essere logica o intuitiva quando tra gli eventi non c'è nesso plausibile. Immaginiamo due eventi:
A: "Il primo estratto sulla ruota di Genova è il 65."
B: "A L'Aquila la temperatura notturna è scesa sotto lo zero."
E' del tutto evidente che la temperatura notturna a L'Aquila è assolutamente indipendente dal numero estratto sulla ruota di Genova e viceversa.

I due eventi sono quindi indipendenti fra loro.

Non sempre le cose sono così chiare.


Non avendo studiato logia per me non è affatto chiaro neppure questo seppur semplice esempio ma, ripensandoci bene mi sono detto: forse intendeva dire che se sulla ruota di genova fosse uscito il 30 oppure il 45 o il 20, a L'Aquila avrebbero avuto lo stesso una temperatura notturna sotto zero; quindi, il risultato dell'estrazione è ininfluente sulla temperatura notturna di quella città.

esatto: indipendenti in quanto il risultato dell'estrazione sulla ruota non influenza le probabilità della temperatura notturna

Ma se uno volesse dimostrarlo ?

ti basta dimostrare che P(A|B) = P(A) (oppure analogamente che P(B|A) = P(B)), ovvero la probabilità dell'evento "temperatura notturna" A rimane inalterato anche supposto che si verifichi l'evento B "estrazione sulla ruota di genova". vale a dire che B non influenza, non modifica in alcun modo la probabilità di A. per cui i 2 eventi sono indipendenti.

Lo dovrebbe fare attraverso lo spazio campione e se l'intersezione dei due eventi è l'insieme vuoto allora i due eventi sono disgiunti ?

stavamo parlando di indipendenza tra eventi e non di disgiunzione (sono 2 concetti diversi tra loro, vedi i precedenti post!)

Ma se l'evento A fosse stato: "a Genova è uscito il 65 e nevicava" e l'evento B "a L'Aquila la temperatura è scesa sotto lo zero e nevicava" è ancora possibile dire che gli eventi sono disgiunti ?
Boh!

premesso come scritto sopra che indipendenza e disgiunzione hanno significato ben diverso, in questo caso cmq i 2 eventi non sono disgiunti: l'avverarsi di A non preclude la probabilità che possa avverarsi anche B. l'intersezione tra i 2 insiemi non è vuota infatti comprende l'evento comune "a genova è uscito il 65 E a l'aquila la temperatura è scesa sottozero E nevicava"
ma da dove ti escono questi esempi?

Dipendenza indipendenza

Ma due eventi sono dipendenti sse uno dei due modifica lo spazio campione per l'altro ?

Esempio: ho due dadi ed ipotizzo che escano due 6. Le possibilità(coppie) sono 36 cioè: (1,1),(1,2),...,(2,1),(2,2),..,(6,1),...,(6,6) quindi una probabilità P=1/36
Ma se lancio il primo dado ed ottengo un 6, a questo punto lo spazio campione per il secono diminuisce e quindi, credo che aumenti la probabilità che col secondo dado esca una 6 con una P=1/6


torno a studiare

si, in sostanza è come dici. A e B sono dipendenti se l'avverarsi di B modifica le probabilità che si possa verificare A (o viceversa se l'avverarsi di A modifica le probabilità che si possa verificare B): quindi l'avverarsi di B modifica il totale dei casi possibili di A (che sarebbe lo spazio campionario).
ricordiamo infatti che la probabilità di A è data da tutti i casi favorevoli diviso tutti i casi possibili (ammesso che siano equiprobabili): diminuendo la spazio campionario la probabilità aumenta.
nell'esempio che hai citato in particolare lo spazio campionario di A si trasforma da 36 a 6 (supposto che si avveri B) e quindi la probabilità si modifica da 1/36 a 1/6

[misterx]

ho un'urna con 20 palline, 15 bianche e 5 nere.
Mi si chiede la probabilità, senza reimissione, di estrarre prima una pallina bianca e poi una nera. Evento A è l'estrazione di una palline bianca, l'evento B è la seconda estrazione ma di una pallina nera.

Dovrebbe essere il caso di una probabilità combinata.

P(A) = 15/20
P(B) = 5/19 (19 in quanto una è già stata estratta)

la probabilità ora di ottenere in due estrazioni consecutive una pallina bianca e poi una nera senza reimissione vale:

P(A Ç B) = P(A)*P(B|A)

non mi è chiaro il P(A Ç B)

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

ho un'urna con 20 palline, 15 bianche e 5 nere.
Mi si chiede la probabilità, senza reimissione, di estrarre prima una pallina bianca e poi una nera. Evento A è l'estrazione di una palline bianca, l'evento B è la seconda estrazione ma di una pallina nera.

Dovrebbe essere il caso di una probabilità combinata.

P(A) = 15/20
P(B) = 5/19 (19 in quanto una è già stata estratta) //sarebbe più preciso dire che P(B|A) = 5/19, perchè P(B) senza che si verifichi l'evento A è 5/20 (le palline ci sono tutte ancora)

la probabilità ora di ottenere in due estrazioni consecutive una pallina bianca e poi una nera senza reimissione vale:

P(A Ç B) = P(A)*P(B|A)

non mi è chiaro il P(A Ç B)

non ho ben capito cosa tu non capisca di quella formula ne avevamo parlato più volte nei precedenti tread... sempre che tu al simbolo Ç associ il significato di disgiunzione

[misterx]

sinceramente mi ero perso in un bicchiere d'acqua e quindi mi sono fatto questo semplice esempio.

Ho uno spazio campionario={1,2,3,4,5,6} e due eventi A,B che mi interessa studiare; A={1,2,3} e B={2,3,4}

Se faccio l'unione dei due eventi ottengo A U B = {1,2,3,4} mentre per l'intersezione ottengo A Ç B = {2,3}.

Ora, passando alle probabilità, possedendo l'insieme A 3 possibili eventi su 6 possiede una P(A)=3/6=1/2; stesso discorso per B cioè P(B)=3/6=1/2.

Posso anche determinare la probabilità all'unione dei due eventi che risultano essere 4 quindi P(A U B) = 4/6 = 2/3 e la probabilità all'intersezione P(A Ç B) = 2/6=1/3 in quanto la cardinalità degli elementi all'intersezione è due.

Se non ho scritto castronate questa volta credo di non aver accumulato ulteriori buchi

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

sinceramente mi ero perso in un bicchiere d'acqua e quindi mi sono fatto questo semplice esempio.

Ho uno spazio campionario={1,2,3,4,5,6} e due eventi A,B che mi interessa studiare; A={1,2,3} e B={2,3,4}

Se faccio l'unione dei due eventi ottengo A U B = {1,2,3,4} mentre per l'intersezione ottengo A Ç B = {2,3}.

Ora, passando alle probabilità, possedendo l'insieme A 3 possibili eventi su 6 possiede una P(A)=3/6=1/2; stesso discorso per B cioè P(B)=3/6=1/2.

Posso anche determinare la probabilità all'unione dei due eventi che risultano essere 4 quindi P(A U B) = 4/6 = 2/3 e la probabilità all'intersezione P(A Ç B) = 2/6=1/3 in quanto la cardinalità degli elementi all'intersezione è due.

Se non ho scritto castronate questa volta credo di non aver accumulato ulteriori buchi

si questo è corretto

[misterx]

grazie Krammer, forse ora sono sulla strada giusta per capire i vari teoremi, assiomi et similia.
Anche se apparentemente semplici, per alcuni, per chi non li ha mai visti(me medesimo) è un pò duretta
Ma diamine se insisto