Matrice pseudo-inversa problematica

[r_howie]

Studiando le dispense dell'esame di robotica, non ho capito una cosa di algebra lineare.

In sintesi il mio problema è: come si calcola la pseudo-inversa della matrice J qua sotto?

Ho letto cos'è una matrice pseudo-inversa, tutto chiaro. Se il rango di una matrice J è pieno (rho = m = n), allora vale l'uguaglianza J# = J^(-1), dove con J# indico la matrice pseudo-inversa mentre con J^(-1) la matrice inversa.

Nel caso più generale (cioè rho = m < n... invece il caso m > n in questa materia non interessa), si ha J# = J^T (J J^T)^(-1) avendo indicato con J^T la trasposta (in realtà sarebbe la trasposta coniugata, ma in questa materia non ci sono numeri complessi) e sottointendendo l'operazione di moltiplicazione.

Prendiamo ora questa matrice:

La mia domanda è: come si calcola la sua pseudoinversa, visto che applicando la formula di cui sopra si ottiene e questa matrice prodotto non è certo invertibile, avendo determinante nullo?

La soluzione è , ho verificato che effettivamente rispetta tutte le proprietà della pseudo-inversa, ma non capisco come la si calcoli analiticamente.

s e c indicano seno e coseno dello stesso angolo. Il lucido su cui ho studiato è il numero 12 (pagine 5-6) di questo sito; il pedice 1 di s e c nel pdf si può ignorare: in questo esercizio è irrilevante.

[pietro84]

Originariamente inviato da r_howie

Studiando le dispense dell'esame di robotica, non ho capito una cosa di algebra lineare.

In sintesi il mio problema è: come si calcola la pseudo-inversa della matrice J qua sotto?

Ho letto cos'è una matrice pseudo-inversa, tutto chiaro. Se il rango di una matrice J è pieno (rho = m = n), allora vale l'uguaglianza J# = J^(-1), dove con J# indico la matrice pseudo-inversa mentre con J^(-1) la matrice inversa.

Nel caso più generale (cioè rho = m < n... invece il caso m > n in questa materia non interessa), si ha J# = J^T (J J^T)^(-1) avendo indicato con J^T la trasposta (in realtà sarebbe la trasposta coniugata, ma in questa materia non ci sono numeri complessi) e sottointendendo l'operazione di moltiplicazione.

Prendiamo ora questa matrice:

La mia domanda è: come si calcola la sua pseudoinversa, visto che applicando la formula di cui sopra si ottiene e questa matrice prodotto non è certo invertibile, avendo determinante nullo?

La soluzione è , ho verificato che effettivamente rispetta tutte le proprietà della pseudo-inversa, ma non capisco come la si calcoli analiticamente.

s e c indicano seno e coseno dello stesso angolo. Il lucido su cui ho studiato è il numero 12 (pagine 5-6) di questo sito; il pedice 1 di s e c nel pdf si può ignorare: in questo esercizio è irrilevante.

ma nemmeno J è invertibile....sei sicuro che è possibile calcolare la pseudoinversa di una matrice non invertibile?
io non ricordo bene ma non mi sembra si possa fare...

[r_howie]

Originariamente inviato da pietro84

ma nemmeno J è invertibile

Ah, vero.

Originariamente inviato da pietro84

....sei sicuro che è possibile calcolare la pseudoinversa di una matrice non invertibile?

Sì. A differenza della matrice inversa (definibile solo quando la matrice di partenza è quadrata e non singolare), la pseudo-inversa esiste sempre. È proprio una generalizzazione dell'inversione, creata per le matrici rettangolari.

[pietro84]

Originariamente inviato da r_howie

Ah, vero.


Sì. A differenza della matrice inversa (definibile solo quando la matrice di partenza è quadrata e non singolare), la pseudo-inversa esiste sempre. È proprio una generalizzazione dell'inversione, creata per le matrici rettangolari.

a me non sembra che esista sempre.... se J*J^T non esiste(edit:o meglio non è invertibile)la pesudoinversa non esiste...domani se ho tempo trovo qualche link...io cmq ricordo che se quel prodotto non si può fare la pseudoinversa non esiste

[r_howie]

Originariamente inviato da pietro84

a me non sembra che esista sempre.... se J*J^T non esiste(edit:o meglio non è invertibile)la pesudoinversa non esiste...domani se ho tempo trovo qualche link...io cmq ricordo che se quel prodotto non si può fare la pseudoinversa non esiste

Ti ringrazio. Io ho fatto lo stesso tuo ragionamento quando all'inizio ho scritto che non è invertibile.

Eppure, il J# della soluzione dell'esercizio è proprio la pseudo-inversa di quella J, come si può verificare dal fatto che (grazie alle identità della trigonometria) soddisfa le proprietà/definizioni della pseudo-inversa tipo prodotto J J# J = J, etc.

[pietro84]

Originariamente inviato da r_howie

Ti ringrazio. Io ho fatto lo stesso tuo ragionamento quando all'inizio ho scritto che non è invertibile.

Eppure, il J# della soluzione dell'esercizio è proprio la pseudo-inversa di quella J, come si può verificare dal fatto che (grazie alle identità della trigonometria) soddisfa le proprietà/definizioni della pseudo-inversa tipo prodotto J J# J = J, etc.

allora qualcosa c'è qualcosa di sbagliato o nella traccia o nella soluzione.
il fatto che soddisfi quella proprietà non è una condizione sufficiente per definire quella matrice pseudoinversa di J...cmq vedo meglio domani
ecco un link che ho trovato a volo: http://www.ce.unipr.it/people/medici...try/node2.html

vado a dormire...

[Banus]

Originariamente inviato da r_howie

Nel caso più generale (cioè rho = m < n... invece il caso m > n in questa materia non interessa),

Attenzione: il ragionamento funziona solo se la matrice è rettangolare di rango massimo. Nel caso di matrice quadrata si riduce all'inversa.
La matrice J che hai usato come esempio non rispetta queste condizioni (rho < m = n) ed è per questo che J*J^T non è invertibile.

[pietro84]

Originariamente inviato da pietro84

allora qualcosa c'è qualcosa di sbagliato o nella traccia o nella soluzione.
il fatto che soddisfi quella proprietà non è una condizione sufficiente per definire quella matrice pseudoinversa di J...cmq vedo meglio domani
ecco un link che ho trovato a volo: http://www.ce.unipr.it/people/medici...try/node2.html

vado a dormire...

ho controllato i tuoi conti,non soddisfa nessuna proprietà, non ho capito come fai a dire che la matrice da te citata soddisfa le proprietà della pseudoiversa:
1.se una matrice è quadrata la pseudoinversa coincide con l'inversa,J non è invertibile,quindi nemmeno la pseudoinversa esiste.
2.JJ#(indicando con J# la matrice da te proposta come pseudoinversa) non da assolutamente la matrice identità quindi non vedo come possa accadere che JJ#J=J

[Banus]

Originariamente inviato da pietro84

2.JJ#(indicando con J# la matrice da te proposta come pseudoinversa) non da assolutamente la matrice identità quindi non vedo come possa accadere che JJ#J=J

Devono essere rispettate le condizioni (cioè deve esistere l'inversa di J*J^T), non rispettate dalla J di esempio. Se sono rispettate, J*J# = (J J^T)*(J J^T)^(-1) = I e tutto torna.
EDIT: la J# del primo post non la rispetta

[pietro84]

Originariamente inviato da Banus

Devono essere rispettate le condizioni (cioè deve esistere l'inversa di J*J^T), non rispettate dalla J di esempio. Se sono rispettate, J*J# = (J J^T)*(J J^T)^(-1) = I e tutto torna.

lo so! infatti ricordavo cosi io...
però l'autore del 3d ha scritto che quella matrice da lui proposta nel primo post soddisfa tutte le proprietà della matrice pseudoinversa di J anche se non era possibile calcolarla analiticamente...perciò sono rimasto un po meravilgliato

[Banus]

Originariamente inviato da pietro84

però l'autore del 3d ha scritto che quella matrice da lui proposta nel primo post soddisfa tutte le proprietà della matrice pseudoinversa di J anche se non era possibile calcolarla analiticamente...perciò sono rimasto un po meravilgliato

Allora... sono riuscito a sciogliere la matassa.
La matrice J# riportata nel primo post è sbagliata, la reale J# è quella trasposta. La formula J^T (J J^T)^(-1) vale solo per J di rango massimo, condizione ovviamente non soddisfatta in questo caso, e quindi non si può usare. Per questi casi c'è un'altra formula (grazie planethmath ), cioè questa:

J# = C^T (B B^T)^(-1) (C^T C)^(-1) B^T

dove J = BC con B e C matrici di rango massimo rho. I segni di trasposta diventano trasposta coniugata nel caso di matrici complesse (ma non è il nostro caso).
Ora, J può essere espressa come prodotto delle matrici:

B^T = [-s c]
C = [2 1]

e svolgendo i calcoli esce la matrice trasposta di quella scritta da r_howie. Attenzione perchè è necessario usare la proprietà s^2 + c^2 = 1, essendo s e c seno e coseno dello stesso angolo. Calcolando J*J#*J si ottiene ancora J (sempre usando le proprietà di s e c).

PS: gli appunti del corso non mi sono serviti granchè, anzi aumentano la confusione non citando esplicitamente il caso r < n,m

[pietro84]

Originariamente inviato da Banus

Allora... sono riuscito a sciogliere la matassa.
La matrice J# riportata nel primo post è sbagliata, la reale J# è quella trasposta. La formula J^T (J J^T)^(-1) vale solo per J di rango massimo, condizione ovviamente non soddisfatta in questo caso, e quindi non si può usare. Per questi casi c'è un'altra formula (grazie planethmath ), cioè questa:

J# = C^T (B B^T)^(-1) (C^T C)^(-1) B^T

dove J = BC con B e C matrici di rango massimo rho. I segni di trasposta diventano trasposta coniugata nel caso di matrici complesse (ma non è il nostro caso).
Ora, J può essere espressa come prodotto delle matrici:

B^T = [-s c]
C = [2 1]

e svolgendo i calcoli esce la matrice trasposta di quella scritta da r_howie. Attenzione perchè è necessario usare la proprietà s^2 + c^2 = 1, essendo s e c seno e coseno dello stesso angolo. Calcolando J*J#*J si ottiene ancora J (sempre usando le proprietà di s e c).

PS: gli appunti del corso non mi sono serviti granchè, anzi aumentano la confusione non citando esplicitamente il caso r < n,m

ottimo! quindi ricapitolando la pseudoinversa di una matrice quadrata esiste anche quando l'inversa non esiste?!
ma in pratica esiste per qualsiasi matrice quadrata o rettangolare?

edit:quindi stando cosi le cose è la soluzione J# a essere sbagliata

[r_howie]

Che dire... vi ringrazio entrambi di cuore!

L'esame ce l'ho domani. Comunque vada, prossimamente mando una bella email alla docente con le osservazioni (già ne ho una certa lista, i lucidi sono considerati solo "complemento" del libro di testo quindi a volte sono imprecisi o addirittura errati).

[Sberloz]

Originariamente inviato da pietro84

ottimo! quindi ricapitolando la pseudoinversa di una matrice quadrata esiste anche quando l'inversa non esiste?!
ma in pratica esiste per qualsiasi matrice quadrata o rettangolare?

edit:quindi stando cosi le cose è la soluzione J# a essere sbagliata

La pseudoinversa esiste sempre, che la matrice sia rettangolare o quadrata e, in quest'ultimo caso, invertibile o meno. Se la matrice è invertibile semplicemente la pseudoinversa coincide con l'inversa.

[pietro84]

Originariamente inviato da Sberloz

La pseudoinversa esiste sempre, che la matrice sia rettangolare o quadrata e, in quest'ultimo caso, invertibile o meno. Se la matrice è invertibile semplicemente la pseudoinversa coincide con l'inversa.

si ci arrivammo alla fine,esiste sempre

o meglio Banus capi il problema più che io

[Sberloz]