qualche domanda sulla relatività

[CioKKoBaMBuZzo]

è tempo di tesine

volevo chiedere due cose:
a cosa servivano le trasformazioni di lorentz prima della relatività ristretta? cioè perchè lorentz si è dato il disturbo di ricavarle?

quest'altra non è proprio sulla relatività ma è collegata:
il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro compiuto da una forza è l'integrale definito da A a B della forza in dr...ma dr che differenziale è? da dove salta fuori?

[CioKKoBaMBuZzo]

altra domanda...è giusto dire che le onde elettromagnetiche quando si propagano seguono la struttura perturbata o meno dello spazio-tempo? se si, come lo posso dimostrare?

[cristiano c.]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

altra domanda...è giusto dire che le onde elettromagnetiche quando si propagano seguono la struttura perturbata o meno dello spazio-tempo? se si, come lo posso dimostrare?

come lo puoi dimostrare metematicamente non lo so
ma la luce viene deviata dal campo gravitazionale del sole quando ci sono le eclissi si vedono stelle che dovrebbero essere in posizione diversa

[cristiano c.]

o ancora la radiazione che oltrepassa un orizzonte degli eventi non ne esce
sempre la gravita?

[CioKKoBaMBuZzo]

si quello va bene...ma io volevo sapere se è giusto dire che la luce viene deviata perchè viene perturbato lo spazio tempo...cioè le masse hanno effetto sulla luce indirettamente, perchè l'effetto delle masse è quello di perturbare lo spazio-tempo...è giusto questo?

[CioKKoBaMBuZzo]

altra domanda di cui non trovo la risposta...da dove è saltata fuori l'idea che le masse incurvano lo spazio-tempo?

[Banus]

E' il thread "calderone"?

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

a cosa servivano le trasformazioni di lorentz prima della relatività ristretta? cioè perchè lorentz si è dato il disturbo di ricavarle?

Lorentz era fermamente convinto che i corpi si contraessero effettivamente in direzione del moto, e ipotizzava che l'effetto fosse dovuto all'interazione degli atomi con l'etere. L'interpretazione geometrica invece è stata portata avanti da Poincaré prima, e Einstein successivamente.

il teorema dell'energia cinetica dice che il lavoro compiuto da una forza è l'integrale definito da A a B della forza in dr...ma dr che differenziale è? da dove salta fuori?

L'integrale del lavoro è un integrale di linea. Il differenziale dr rappresenta lo spostamento infinitesimo, ed è un vettore: ad esempio (dx,dy) in due dimensioni.

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

...cioè le masse hanno effetto sulla luce indirettamente, perchè l'effetto delle masse è quello di perturbare lo spazio-tempo...è giusto questo?

Sì. Più precisamente i raggi di luce seguono sempre i percorsi di "lunghezza" nulla, dove la "lunghezza" è definita come (ct)^2 - (x^2 + y^2 + z^2). Nel caso di spazio non curvo sono rette; in presenza di masse invece sono generalmente percorsi curvi.

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

altra domanda di cui non trovo la risposta...da dove è saltata fuori l'idea che le masse incurvano lo spazio-tempo?

Einstein non è partito dall'idea che le masse curvassero lo spazio. L'idea era invece di conciliare la relatività speciale (che prevede una velocità di propagazione massima, c) con la "azione a distanza" istantanea della gravitazione di Newton. Sviluppando questa idea ha scoperto che per ottenere questo risultato doveva ricorrere a uno spazio-tempo curvo, e si è messo a studiare geometria differenziale, che a quel tempo non faceva parte del bagaglio matematico di un fisico

[cristiano c.]

newton?

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da Banus

Lorentz era fermamente convinto che i corpi si contraessero effettivamente in direzione del moto, e ipotizzava che l'effetto fosse dovuto all'interazione degli atomi con l'etere.

Sì. Quella citata di Lorentz si chiama Teoria elettronica della materia ed è una delle cosiddette teorie ad hoc, quelle tipiche dell'atteggiamento riformista della Fisica, atteggiamento che sorse in conseguenza delle esperienze di Michelson-Morley e di aberrazione stellare e che si proponeva di salvare il paradigma classico. Dette teorie, ovviamente, erano del tutto compatibili con la meccanica classica.

Credo che basti consultare Google per trovare spiegazioni esaustive, probabilmente anche su Wikipedia.

Originariamente inviato da Banus

Sì. Più precisamente i raggi di luce seguono sempre i percorsi di "lunghezza" nulla, dove la "lunghezza" è definita come (ct)^2 - (x^2 + y^2 + z^2). Nel caso di spazio non curvo sono rette; in presenza di masse invece sono generalmente percorsi curvi.

Credo che se mi avessero detto anni fa che la luce segue percorsi di lunghezza nulla sarei rimasta sconvolta...

In realtà quella chiamata "lunghezza" è un oggetto appartenente allo spaziotempo a 4 dimensioni, precisamente un invariante quadratico:

s^2 = (ct)^2 - r^2

La quantità s in effetti è una sorta di distanza, di modulo del vettore posizione, ma non bisogna pensarci come alla distanza cui siamo abituati: occorre tenere presente che ci troviamo in uno spazio a 4 dimensioni la cui metrica è pseudoeucliedea e non euclidea come quella dello spazio ordinario a 3 dimensioni.

Quello che accade è che le particelle per le quali s^2=0 sono i fotoni, infatti:

s^2 = (ct)^2 - r^2 ---> c = r/t o se si preferisce dr/dt = c

quindi la velocità è quella della luce. In questo senso i fotoni seguono "percorsi di lunghezza nulla".

Similmente si può mostrare che il fatto che la distanza tra due punti sia nulla non significa che i due punti coincidano come nello spazio 3D ordinario, ma solo che essi siano collegabili mediante un raggio di luce.

Per il resto, molto ci sarebbe da dire: ad esempio si potrebbe ragionare sul fatto che s^2 possa risultare minore di zero, il che è dovuto alla metrica pseudoeuclidea, o ancora sul fatto che le particelle per cui s^2 è >0, <0 o =0 siano in realtà appartenenti a tre classi disgiunte, o ancora (e questa è secondo me l'osservazione più suggestiva) sull'invarianza di quella particolare forma quadratica in sè, che altro non è che un modo di esprimere la costanza della velocità della luce, ma andremmo decisamente oltre lo scopo del thread.

Sul resto non metto parola, sono concetti troppo complessi perché io riesca a riassumerli in poche righe.

[CioKKoBaMBuZzo]

grazie


la cosa che mi è piaciuta di più è quella della "lunghezza" nulla..che peraltro non ho capito

una domanda sul lavoro:
ma si usa il vettore dr perchè lo spostamento può avvenire in più dimensioni? se si considerasse un moto lungo un solo asse?

edit: una definizioncina di invariate quadratico in questo contesto? ho cercato un pò ma non riesco a collegare i risultati: su wikipedia l'ho trovato nominato quando parla della rappresentazione matriciale delle coniche (ed è definito come ac-b^2), in un altro sito ho letto che gli invarianti in fisica posso essere associati a stati di tensione o qualcosa del genere (mi sono venuti in mente i tensori ma non so se c'entrino)
edit: ok niente...la risposta era già in quello che ha scritto christina..è il modulo di un quadrivettore nello spazio di minkovski

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

la cosa che mi è piaciuta di più è quella della "lunghezza" nulla..che peraltro non ho capito

Eh, immaginavo. Magari più tardi ci riprovo

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

una domanda sul lavoro:
ma si usa il vettore dr perchè lo spostamento può avvenire in più dimensioni? se si considerasse un moto lungo un solo asse?

Sì. E' la generalizzazione della formuletta che esprime il lavoro come la forza moltiplicata scalarmente per lo spostamento: come saprai, il prodotto scalare serve a "estrarre" dal vettore forza la sua proiezione sul vettore spostamento, o la sua componente in quella direzione, se preferisci.

L'integrale serve semplicemente a generalizzare la medesima operazione. Il caso di moto lungo un asse è solo un caso particolare, poi dipende anche dalla forza (se è costante, se non lo è, come è messo il vettore, eccetera).

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

edit: una definizioncina di invariate quadratico in questo contesto? ho cercato un pò ma non riesco a collegare i risultati: su wikipedia l'ho trovato nominato quando parla della rappresentazione matriciale delle coniche (ed è definito come ac-b^2), in un altro sito ho letto che gli invarianti in fisica posso essere associati a stati di tensione o qualcosa del genere (mi sono venuti in mente i tensori ma non so se c'entrino)
edit: ok niente...la risposta era già in quello che ha scritto christina..è il modulo di un quadrivettore nello spazio di minkovski

Un invariante è in estrema semplicità una quantità che non cambia rispetto a qualcosa, nella fattispecie rispetto a un cambiamento di sistema di riferimento inerziale, che tecnicamente equivale a uno spostamento rigido del riferimento pseudoeuclideo nello spazio M4 (di Minkowski).

Qui l'invariante (ma ne esistono altri) è l'intervallo spaziotemporale (deltas)^2 (in generale...finora l'ho chiamato s^2 riferendomi alla "distanza" dall'origine, deltas è più genericamente la distanza spaziotemporale tra due punti qualsiasi, non tra un punto e l'origine) che è dato da:

(deltas)^2 = (c deltat)^2 -(deltar)^2

un cambiamento di sistema di riferimento inerziale altera sia l'intervallo spaziale deltar che l'intervallo temporale cdeltat, ma non altera deltas...diciamo che i due intervalli variano in modo da lasciare deltas invariato. Per questo ho detto che il segno di (deltas)^2 resta lo stesso in ogni sistema di riferimento inerziale (d'ora in poi SI per brevità); di conseguenza se (deltas)^2=0 tale valore resta zero in ogni SI, ciò che rappresenta il caso dei fotoni.

Attenzione solo a non confondere troppo questo s o deltas con una vera distanza, perché non lo è, in quanto M4 non è uno spazio metrico, ma solo uno spazio premetrico. In effetti si continua a usare il termine "distanza (spaziotemporale", ma è un abuso di linguaggio in quanto non si tratta di una quantità che rispetta gli assiomi metrici.

[lowenz]

Esauriente come al solito, la nostra ing. nucleare

[lowenz]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

o ancora (e questa è secondo me l'osservazione più suggestiva) sull'invarianza di quella particolare forma quadratica in sè, che altro non è che un modo di esprimere la costanza della velocità della luce, ma andremmo decisamente oltre lo scopo del thread.

Non puoi andare oltre lo scopo?

[CioKKoBaMBuZzo]

Originariamente inviato da lowenz

Non puoi andare oltre lo scopo?

mmmm non sono sicuro...è possibile che sia questa:

se (deltas)^2=0 tale valore resta zero in ogni SI, ciò che rappresenta il caso dei fotoni.

la spiegazione alternativa della costanza della velocità della luce per ogni sistema di riferimento?

un'altra domada sul lavoro
quell'integrale si scompone in 3 (o più a seconda delle dimensioni) integrali diversi o si risolve così? finora non ho mai fatto integrali di funzioni con più di una variabile spaziale

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

un'altra domada sul lavoro
quell'integrale si scompone in 3 (o più a seconda delle dimensioni) integrali diversi o si risolve così? finora non ho mai fatto integrali di funzioni con più di una variabile spaziale

In generale no. Un integrale di linea ha dietro una teoria non banale che viene spiegata nei corsi di analisi matematica.

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da lowenz

Non puoi andare oltre lo scopo?

Certo, non l'ho fatto perché pensavo che nessuno lo trovasse interessante.

Consideriamo la forma quadratica nei differenziali delle coordinate che è invariante rispetto al gruppo di Lorentz:

ds^2 = -(dx1)^2 -(dx2)^2 -(dx3)^2 +(dx4)^2

con

-(dx1)^2 -(dx2)^2 -(dx3)^2 = -(dr)^2

(dx4)^2 = (cdt)^2

ho usato la notazione x1, x2 etc perché è quella che si usa in letteratura per le 4 coordinate. In realtà se aprite un libro sulla Relatività noterete che gli indici 1, 2 etc sono posti spesso in alto oltre che in basso: questo non è fatto per ragioni estetiche, ma indica una proprietà particolare del vettore di cui si sta parlando e delle sue componenti, proprietà che va sotto il nome di varianza. Non è questa la sede dove approfondire il discorso, ma in linea di massima basta sapere che la varianza coinvolge la legge di trasformazione delle coordinate, le quali si trasformano secondo una matrice o secondo la sua inversa a seconda del tipo di vettore. La varianza si indica esplicitamente chiamando i vettori "covettori" o "controvettori" (e analogamente si parla di "covarianza" e "controvarianza"). In linea di massima si può pensare ai vettori riga e ai vettori colonna per avere un'idea della differenza in gioco. Un'altra convenzione notevole da tenere presente è questa: l'indice generico di tipo latino (e quindi i, j etc) indica le coordinate spaziali e quindi varia tra 1 e 3, l'indice greco (ad esempio, alfa) corre su tutte e quattro le coordinate compresa quella temporale e varia quindi da 1 a 4; questa è una cosa importante da ricordare perché è data quasi sempre per nota nei testi sulla Relatività.

Ma torniamo alla nostra forma quadratica:

(ds)^2 = (cdt)^2 - (dr)^2

il significato della sua invarianza diventa evidente ponendo

(ds)^2 = 0

In tal caso la forma quadratica si riduce a

(cdt)^2 -(dr)^2 = 0

e la sua invarianza si può interpretare nel seguente modo: se in un punto dello spazio si genera una perturbazione che si propaga isotropicamente con velocità c, allora il fronte della perturbazione è una superficie sferica che si dilata con velocità c in ogni SI. Questo non è che un'espressione alternativa della costanza della velocità della luce, o della sua non sommabilità.

Per contro, si noti la povertà dello spaziotempo galileiano, che non possiede affatto invarianti e al più può servire a tracciare un diagramma orario. Questo succede perché l'accostamento delle coordinate spaziali e di quella temporale della meccanica classica non genera uno spazio dotato di una struttura metrica: di conseguenza non esistono forme nei differenziali delle coordinate, quadratiche o meno, che siano invarianti rispetto al gruppo delle trasformazioni di Galileo.

Ultima osservazione. La teoria della Relatività si può vedere come un nuovo paradigma in cui esista una velocità limite finita, indicata con c, ma è solo a livello empirico che poi si decide che questa c debba essere la velocità della luce. In verità quello che possiamo affermare è semplicemente che la velocità limite c sia empiricamente indistinguibile dalla velocità della luce. Lo stesso discorso vale anche per la proporzionalità (è questo il termine esatto, non "uguaglianza", le due quantità sono empiricamente proporzionali e si pone la costante di proporzionalità uguale a uno) tra massa inerziale e gravitazionale: è uno (stupefacente) risultato empirico, ma non c'è ragione a priori per cui debba risultare così.

Bon, con questo spero di aver soddisfatto Lowenz, almeno per oggi.

[lowenz]

Grazie

Molto interessante il discorso sulla povertà dello spaziotempo galileiano, in quanto non spazio metrico

La questione del legame c/velocità luce e massa gravitazione/massa inerziale viene approfondito nei corsi sulla Relatività o viene accennato come in un qualsiasi corso di fisica?

[lowenz]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana

Questo non è che un'espressione alternativa della costanza della velocità della luce

Ma infatti se i miei ricordi di 8 anni fa non sono confusi la costanza di c è un postulato della Relatività, non lo si ricava dalla teoria stessa. Giusto?

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da lowenz

Grazie

Ho i brividi...

Originariamente inviato da lowenz

La questione del legame c/velocità luce e massa gravitazione/massa inerziale quando viene approfondito nei corsi sulla Relatività?
Viene detto (come in un qualsiasi corso di fisica) o viene approfondito?

Nei corsi sulla RS si cerca di ripercorrere il percorso dei ragionamenti di Einstein e si arriva così a ottenere un'espressione matematica parametrizzata da una grandezza c che ha le dimensioni di una velocità; a quel punto o si prende una c infinita, ricadendo nella meccanica classica, o si ipotizza che questa c sia finita. In questo modo c diventa un limite, superiore e inferiore contemporaneamente perché la teoria è simmetrica e prevede anche l'esistenza di particelle superluminari che non possano muoversi a velocità inferiori a c (i famigerati tachioni che per ora non sono stati osservati e comunque sono compatibili solo con il mondo microscopico per via del principio di causalità e dei rapporti causa/effetto che nel mondo macroscopico non sono invertibili). In questo modo all'allievo appare evidente come non sia stato detto da alcuna parte che questa c debba essere la velocità della luce e si può introdurre il fatto che empiricamente la velocità limite c è indistinguibile dalla velocità della luce o, se piace di più, dalla velocità di alcune particelle che si chiamano fotoni.

La questione della massa inerziale e gravitazionale è più complessa perché comprende tutte le considerazioni, simili a quelle sul pensiero di Mach che ho fatto giorni fa, sull'origine dell'inerzia di un corpo da una parte, e della sua attitudine a interagire con altri corpi per mezzo della gravitazione dall'altra. Comunque si tenta di sottolineare in maniera efficace il fatto che inerzia e gravitazione siano fenomeni distinti a priori e che il legame tra le due masse sia, anche in questo caso, una sorprendente coincidenza rivelata dagli esperimenti.

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da lowenz

Ma infatti se i miei ricordi di 8 anni fa non sono confusi la costanza di c è un postulato della Relatività, non lo si ricava dalla teoria stessa. Giusto?

Sì, esatto, come ho descritto estensivamente sopra è uno dei due postulati su cui si fonda la Relatività (l'altro è il principio di relatività galileiana, la cui formulazione più semplice esprime il fatto che le leggi fisiche debbano essere le stesse in tutti i SI).