Vettori e dipendenza Lineare

[cagnaluia]

sto rivedendo qualche esercizio di Discreta, ma mi sono trovato davanti a questo:

1. siano v1, v2, v3, v4 vettori di R3. Allora è SEMPRE vero che:
a. sono linearmente dip.
b. sono linearmente indip.
c. generano R3
d. NON generano R3
e. nessuna delle altre risp. è esatta.


allora.. qui io vedo due risposte (il test ne tollera non piu di una).
La (a) e la (d).
La (a) in quanto la dimensione è 3.. si parla di R3 e la presenza di un quarto vettore porta una dipendeza certa con almeno un altro rimanente.
La (d) in quanto 4 vettori non possono generare un R3.. (Tutt'al più genererebbero R4....).

Che cosa non torna?

[gtr84]

Originariamente inviato da cagnaluia

sto rivedendo qualche esercizio di Discreta, ma mi sono trovato davanti a questo:


La (a) in quanto la dimensione è 3.. si parla di R3 e la presenza di un quarto vettore porta una dipendeza certa con almeno un altro rimanente.
La (d) in quanto 4 vettori non possono generare un R3.. (Tutt'al più genererebbero R4....).

Che cosa non torna?

Questo! In matematica c'è la totale arbitrarietà
per la scelta di un sistema di riferiento.

Quindi, se nello spazio a 3 dimensioni, esistono
infiniti vettori, nulla toglie che se ne possano
scegliere tre di questi, normalizzati e ortonormali,
per istituire un SDR.

Quindi il fatto che ci sia un quarto vettore non
influisce sulla possibilità che gli altri 3 siano
ortonormali, e che quindi possono costituire un
SDR

[cagnaluia]

si ma...

(da quel poco che so) 4 vettori per generare R3 devono essere in primo luogo... indipendenti... ma su R3, 4 vettori non saranno mai indipendendi contemporaneamente.

[SilverF0x]

se sono tutti nulli. La risposta corretta è la E.

[pavel86]

Originariamente inviato da cagnaluia

1. siano v1, v2, v3, v4 vettori di R3. Allora è SEMPRE vero che:
a. sono linearmente dip.
b. sono linearmente indip.
c. generano R3
d. NON generano R3
e. nessuna delle altre risp. è esatta

a)non è necessariamente vero
b)non necessariamente (in r3 esistono infiniti vettori indipendenti)
c)non abbiamo le condizioni sufficienti a far sì che ciò sia vero
d)non abbiamo le condizioni sufficienti a far sì che ciò NON sia vero
e) per esclusione...

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da cagnaluia

1. siano v1, v2, v3, v4 vettori di R3. Allora è SEMPRE vero che:
a. sono linearmente dip.
b. sono linearmente indip.
c. generano R3
d. NON generano R3
e. nessuna delle altre risp. è esatta.

La dimensione di uno spazio vettoriale è, per definizione, equivalentemente:
- il massimo numero di elementi di un insieme di vettori linearmente indipendenti;
- il minimo numero di elementi di un sistema di generatori;
- il numero di elementi di una base.
Quindi, la risposta a è sicuramente corretta, e le risposte b ed e sono sicuramente sbagliate.
Anche c e d sono sbagliate, perché quattro vettori di R3 possono sia generarlo (una base più un quarto vettore) che non generarlo (quattro multipli distinti di uno stesso vettore non nullo).

[uC.ArTaX]

Originariamente inviato da Ziosilvio

La dimensione di uno spazio vettoriale è, per definizione, equivalentemente:
- il massimo numero di elementi di un insieme di vettori linearmente indipendenti;
- il minimo numero di elementi di un sistema di generatori;
- il numero di elementi di una base.
Quindi, la risposta a è sicuramente corretta, e le risposte b ed e sono sicuramente sbagliate.
Anche c e d sono sbagliate, perché quattro vettori di R3 possono sia generarlo (una base più un quarto vettore) che non generarlo (quattro multipli distinti di uno stesso vettore non nullo).

Quoto!
La risposta esatta è ovviamente la a, come detto sopra.

[wacko]

Originariamente inviato da cagnaluia

si ma...

(da quel poco che so) 4 vettori per generare R3 devono essere in primo luogo... indipendenti... ma su R3, 4 vettori non saranno mai indipendendi contemporaneamente.

Questo non è vero. Dei vettori dipendenti possono generare uno spazio vett. però non sono una sua base (Per esserlo dovrebbero essere indipendenti).

Cmq anche secondo me è la A.

[wacko]

Originariamente inviato da cagnaluia

si ma...

(da quel poco che so) 4 vettori per generare R3 devono essere in primo luogo... indipendenti... ma su R3, 4 vettori non saranno mai indipendendi contemporaneamente.

Questo non è vero. 4 vettori dipendenti possono generare R3 però non sono una sua base (Per esserlo dovrebbero essere indipendenti).

Cmq anche secondo me è la A.

[deggungombo]

1. siano v1, v2, v3, v4 vettori di R3. Allora è SEMPRE vero che:

a. sono linearmente dip. (si, lo sono in ogni caso, almeno uno dei 4 è sempre ottenibile come combinazione lineare degli altri 3)

b. sono linearmente indip. (mai)

c. generano R3 (non necessariamente....ad esempio non avviene se sono paralleli (cioè lin. dip.))

d. NON generano R3 (non necessarimente...se 3 di essi fossero lin. indip. basterebbero per generare R3...il 4° non farebbe parte della base dello spazio e sarebbe ottenibile tramite combinazione lineare degli altri 3, ma ciò non disturba al fine di generare R3)