Analisi 2: massimi e minimi relativi con hessiano nullo

[ozeta]

ragazzi sto impazzendo, non riesco a capire come si svolgono questi esercizi! l'eserciziario salta tutti i passaggi nella risoluzione degli esercizi svolti, non c'è la minima traccia di un metodo di risoluzione, mette in mezzo rette e frecce inutili nell'unico esempio che riporta, senza dare altre spiegazioni.

qualche santo mi aiuta a risolvere questo problema e mi dice come si determinano max e min quando l'hessiano è nullo ?

[ozeta]

dai ragazzi, non siate timidi

[*nicola*]

Per cercare (e trovare ) i massimi e minimi di una funzione devi calcolare il gradiente della funzione e vedere quando è uguale al vettore nullo (poni tutte le componenti uguali a zero in un sistema).
Calcoli poi la matrice Hessiana e ci metti dentro i valori che hai trovato prima.
Se viene definita positiva è un punto di minimo, se negativa è di massimo, se non è definita nel segno è di sella.
Devi inoltre considerare a parte i punti non derivabili (quelli che non appartengono al "dominio del gradiente") sempre con la matrice hessiana.

E qui finisce il discorso riguardante gli estremi liberi.
Ci sono degli esercizi invece dove bisogna calcolare i massimi e i minimi di una funzione ristretta ad un certo intervallo (es un disco chiuso).

In quel caso si usano i moltiplicatori di Lagrange, la parametrizzazione della curva e, molto più raramente per quanto mi riguarda, le curve di livello. In pratica cerchi i massimi e minimi sul bordo anzichè cercarli (come hai fatto prima) all'interno.

Sono questi gli esercizi che ti servono?

Cmq la funzione potrebbe anche non avere massimo e minimo assoluti. Risulta molto utile il teorema di Weiestrass che dice che se la funzione è continua e la consideri ristretta ad un insieme chiuso e limitato devono per forza esistere almeno un punto di max (assoluto) e uno di min (assoluto).

[*nicola*]

Qui trovi degli esercizi svolti (alcuni un poco "standard" forse) sugli estremi vincolati di funzioni in più varialibili. Nello stesso sito del mio prof di Analisi trovi una dispensa dove viene secondo me spiegato abbastanza bene la ricerca dei minimi e massimi (la trovi sotto il corso di Analisi 2, questo è il link diretto al file, torvi quello che cerchi a pagina 16).
Questo è il sito di un altro professore (che invece cura le esercitazioni oltre ad insegnare in un liceo) invece che tratta l'argomento con meno formalisimi e un po' più praticità (ci sono anche qui degli esempi svolti), tieni a mente questo sio perchè secondo me è veramente utile per superare Analisi 1 e 2.

[thotgor]

Scusa, ma quando l'hessiano è nullo , non ci può dare informazioni, non è che è necessariamente di sella.

Devi annullare prima una delle due cordinate...stringendo devi vedere come si comporta la nostra funzione nell'intorno di quel punto "sospetto"... provi ad annullare e vedi come si comporta la funzione, se è sempre crescente o descrescente in quell'intorno vedrai che la funzione è di massimo o minino...se vedi che invece in quell'intorno può assumere valori negativi o positivi a seconda del valore di una delle due variabili, è un punto di sella.

Un trucchetto è che quando trovi la relazione tra x e y nella derivata prima (nello studio..) la sostituisci ad una delle due coordinate, e vedi cosa succede...

esempio, trovi che :

x=y^2 nel sistema di equazioni della derivata prima, ce lo butti dentro alla funzione al posto della x (o della y) e vedi come si comporta (trovi infatti una funzione in una sola variabile)

[*nicola*]

Originariamente inviato da thotgor

Scusa, ma quando l'hessiano è nullo , non ci può dare informazioni, non è che è necessariamente di sella.
(cut)

Infatti, io ho detto che quando la matrice hessiana (calcolata nel punto trovato nel passaggio precedente) è indefinita nel segno è un punto di sella. Una matrice indfinita nel segno è una matrice che ha determinante negativo (almeno per quanto riguarda il caso con n=2). La matrice nulla è un'altra cosa.

[pietro84]

OT
Nicola hai mica un link che tratta di moltiplicatori di Lagrange?
devo applicarli ma ho quasi totalmente dimenticato questo metodo...

[*nicola*]

Originariamente inviato da pietro84

OT
Nicola hai mica un link che tratta di moltiplicatori di Lagrange?
devo applicarli ma ho quasi totalmente dimenticato questo metodo...

Qui a pagina 20 se ne parla e secondo me è abbastanza comprensibile. In pratica si tratta solamente di impostare un sistema (come indicato dove ti ho detto) e risolverlo.

[ChristinaAemiliana]

Sposto in Scienza e Tecnica.

[Lucrezio]

Si può sempre usare lo sviluppo di Taylor...
Per quanto in più variabili non sia particolarmente semplice...
Direi che l'andare a tentativi, studiando la crescenza della funzione in funzione di una direzione generica, è il metodo più veloce!
Per i moltiplicatori di Lagrange - se non ti serve dimostrare il teorema (è stata la mia domanda all'esame di matematica I...) - non ci sono problemi:
Se hai una funzione che ti esprime il vincolo (implicita, di solito, del tipo G(x,y,z...)=0, basta che tu ponga
.
Ne ottieni un sistema in n+1 equazioni ed n incognite, risolvi e (si fa per dire...) sei a posto!

[ozeta]

ringrazio tutti per l'aiuto, purtroppo sono stato occupato e non ho potuto leggere. mi scuso anticipatamente con i mod perché non avevo letto l'avviso (meaculpa ) e adesso leggo i vostri commenti, così cerco di farmi un'idea sul da farsi