statistica: help su calcolo combinatorio

[misterx]

nell'immagine, quello che mi sfugge dell'esempio è ciò che ho racchiuso in un rettangolo Immagine.GIF

Siccome ho palline rosse e nere, dove diamine sta una eventuale intersezione ?

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

nell'immagine, quello che mi sfugge dell'esempio è ciò che ho racchiuso in un rettangolo Allegato 54122

Siccome ho palline rosse e nere, dove diamine sta una eventuale intersezione ?

nel calcolo delle probabilità non sempre quel simbolo (la U rovesciata) sta ad indicare una vera e propria intersezione di eventi (esce pallina rossa evento A, esce pallina nera evento B) nell'accezione classica ovvero "in contemporanea" (un elemento di A fa parte contemporaneamente anche di B: impossibile perchè se esce una pallina rossa, quindi si verifica A, non può contemporaneamente verificarsi anche B perchè quella stessa pallina dovrebbe essere nera e non rossa)! nei cosiddetti "eventi a due fasi" l'intersezione ha il significato di "E POI".
ovvero A intersecato B significa, come scritto nel riquadro che mi hai segnalato in allegato, esce una pallina rossa E POI una pallina nera.

il tuo dubbio è sacrosanto e anzi dimostra che hai compreso bene i concetti alla base: infatti usare il simbolo della intersezione per descrivere il concetto E POI è una inesattezza del tuo libro di testo, che può portare a incomprensioni


se non ti è chiara la cosa leggi l'ultimo paragrafo "Osservazioni sui Teoremi sul CdP" in questa pagina, è spiegato molto semplicemente mi pare (ti consiglio anche di dare una letta a tutti i paragrafi di quel sito, sono scritti bene, semplici, sufficientemente precisi e con esempi illuminanti: qui c'è l'indice)

[Zebra75]

cavolo com'è progredito il mio 3D, basta mancare qualche giorno eh

Statistica pure voi ?
Bene!
Qualcuno sa spiegarmi l'utilità del teorema di Bayes ?
Se non ho compreso male, serve a definire la causa di un evento

[Krammer]

Originariamente inviato da Zebra75

cavolo com'è progredito il mio 3D, basta mancare qualche giorno eh

Statistica pure voi ?
Bene!
Qualcuno sa spiegarmi l'utilità del teorema di Bayes ?
Se non ho compreso male, serve a definire la causa di un evento

più che altro direi che definisce la probabilità della causa di un evento.

[misterx]

ciao Krammer,
mi sto perdendo su una semplice definizione

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_ripartizione

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore x la probabilità dell'evento "la variabile casuale X assume valori minori o uguali ad x".


In altre parole, F(x) : R --> R è la funzione con dominio la retta reale e immagine l'intervallo [0,1] definita da


significa che la mia partenza sono tutti i numeri reali e l'arrivo è un insieme fatto di elementi del tipo: {0, 0.001, 0.02, 0.05, 0.09, 0.15, ... , 1}

Scusate la banalità ma alle volte ci si perde

[misterx]

mannaggia a quando rispondete solo alle cose difficili e non a quelle che vi paiono ovvie

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

mannaggia a quando rispondete solo alle cose difficili e non a quelle che vi paiono ovvie

m'ero scordato

Originariamente inviato da misterx

ciao Krammer,
mi sto perdendo su una semplice definizione

http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_ripartizione

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore x la probabilità dell'evento "la variabile casuale X assume valori minori o uguali ad x".


In altre parole, F(x) : R --> R è la funzione con dominio la retta reale e immagine l'intervallo [0,1] definita da


significa che la mia partenza sono tutti i numeri reali e l'arrivo è un insieme fatto di elementi del tipo: {0, 0.001, 0.02, 0.05, 0.09, 0.15, ... , 1}

Scusate la banalità ma alle volte ci si perde

si l'esempio che hai fatto va bene. indicando la funzione di ripartizione una probabilità "cumulativa" P(X<=x), al crescere di x crescerà anche la relativa probabilità che "si realizzi il valore x oppure valori minori di x", e questa probabilità varia ovviamente tra 0 (per il valore più piccolo di x) e 1 (per il valore più grande di x).

solo 2 considerazioni: non per forza il dominio di una funzione di ripartizione è dato dalle retta reale: può essere anche solo la semiretta dei valori positivi (o negativi) o in generale un qualunque intervallo chiuso di numeri reali.
seconda cosa, il dominio non deve per forza essere continuo (quindi numeri reali) bensì può essere anche discreto (ad esempio numeri naturali, o un qualsivoglia insieme di numeri ben definiti).

[misterx]

grazie Krammer come sempre

Facendo esercizi emergono sempre dubbi che si devono limare
Lancio di una moneta esce testa o croce quindi, evento A={T} evento B={C}

le probabilità sono:
P(A)=1/2
P(B)=1/2
P(A intersec B) = 0
P(A U B) = 1

volevo sperimentare il caso della probabilità condizionata che dice:
(1)
P(B|A)=P(A intersec B) / P(A)

mi chiedevo: ma se l'intersezione tra A e B è l'insieme vuoto e quindi applicando la (1) ottengo 0, che significato gli si attribuisce, sempre che un tale modo di applicare la (1) abbia un senso ?

Ho visto anche che facendo la moltiplicazione:
P(A intersec B) = P(A)*P(B)
è possibile scoprire se due eventi sono indipendenti ma: 1/2*1/2=1/4


Spero di non aver scritto troppe cose senza senso

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

grazie Krammer come sempre

Facendo esercizi emergono sempre dubbi che si devono limare
Lancio di una moneta esce testa o croce quindi, evento A={T} evento B={C}

le probabilità sono:
P(A)=1/2
P(B)=1/2
P(A intersec B) = 0
P(A U B) = 1

volevo sperimentare il caso della probabilità condizionata che dice:
(1)
P(B|A)=P(A intersec B) / P(A)

mi chiedevo: ma se l'intersezione tra A e B è l'insieme vuoto e quindi applicando la (1) ottengo 0, che significato gli si attribuisce, sempre che un tale modo di applicare la (1) abbia un senso ?

Ho visto anche che facendo la moltiplicazione:
P(A intersec B) = P(A)*P(B)
è possibile scoprire se due eventi sono indipendenti ma: 1/2*1/2=1/4


Spero di non aver scritto troppe cose senza senso

come hai scritto P(A intersec B) = 0, quindi P(B|A) = 0/0.5 = 0 (la probabilità che si verifichi B, supposto che si verifichi A, è uguale a 0)
infatti se si verifica A (esce testa) non c'è nessuna possibilità che si verifichi B (non può uscire croce, essendo uscita testa: tieni a mente infatti che si sta considerando un unico lancio di moneta!): è questo che sta a significare lo zero della probabilità condizionata, correttamente

il passo successivo: se P(B|A) = 0 e P(B) = 1/2, significa che P(B) e P(A) NON sono indipendenti bensì sono dipendenti (infatti se si verifica A non può verificarsi B e viceversa).
essendo eventi dipendenti non puoi usare la formula P(A intersec B) = P(A)*P(B) perchè questa riguarda esclusivamente eventi indipendenti!

la formula corretta da usare è P(A intersec B) = P(A)*P(B|A), che se noti è la stessa formula che hai scritto tu all'inizio (la (1)) solo che sono stati moltiplicati entrambe i membri dell'equazione per P(A). l'equazione rimane la stessa di fatto...

[misterx]

e che diamine con sto concetto di indipendenza
Sempre e solo lui

Ora ho ben chiaro il concetto di indipendenza/dipendenza; due eventi sono indipendenti se la probabilità che avvenga l'uno non influenza minimamente la probabilità che si verifichi l'altro. Se ad esempio l'evento A si verifica(vince il milan) o non si verifica(improbabile ), un evento B(vince l'nter ) può o meno verificarsi(scherzo). Nel caso da me citato invece, se esce testa, non può uscire croce quindi, gli eventi sono giocoforza dipendenti

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

e che diamine con sto concetto di indipendenza
Sempre e solo lui

Ora ho ben chiaro il concetto di indipendenza/dipendenza; due eventi sono indipendenti se la probabilità che avvenga l'uno non influenza minimamente la probabilità che si verifichi l'altro. Se ad esempio l'evento A si verifica(vince il milan) o non si verifica(improbabile ), un evento B(vince l'nter ) può o meno verificarsi(scherzo). Nel caso da me citato invece, se esce testa, non può uscire croce quindi, gli eventi sono giocoforza dipendenti

esatto!
a meno che non ci sia il derby, in quel caso i 2 eventi A e B sono dipendenti

[misterx]

grazie Krammer

Mi stavo richiedendo perchè si fa distinzione tra La binomiale bernoulliana o più semplicemente solo "bernoulliana" e binomiale.
Io ho capito che nel caso del lancio di una moneta siamo nel caso della bernoulliana mentre, se i lanci della moneta sono n, allora si parla di binomiale

Quindi la bernoulliana ha come probabilità "successo/insuccesso" ma considerando una sola prova.

La binomiale invece, prende in considerazione la medesima probabilità ma somma e sottrae n volte tali probabilità in luogo di una sola

Ma è così ?


provo con un esempio:
laura, paolo e maria devono prendere un autobus, vogliamo calcolare quale probabilità hanno di prendere o perdere l'autobus.
Se considero tale evento una sola volta, stiamo parlando di una prova bernolliana ma, se considero un numero di n volte che i tre possono perdere l'autobus, diventa una binomiale.

A quanto pare abbiamo nella bernoulliana n=1 e nella binomiale n=....+oo, o no ?

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

grazie Krammer

Mi stavo richiedendo perchè si fa distinzione tra La binomiale bernoulliana o più semplicemente solo "bernoulliana" e binomiale.
Io ho capito che nel caso del lancio di una moneta siamo nel caso della bernoulliana mentre, se i lanci della moneta sono n, allora si parla di binomiale

Quindi la bernoulliana ha come probabilità "successo/insuccesso" ma considerando una sola prova.

La binomiale invece, prende in considerazione la medesima probabilità ma somma e sottrae n volte tali probabilità in luogo di una sola

Ma è così ?


provo con un esempio:
laura, paolo e maria devono prendere un autobus, vogliamo calcolare quale probabilità hanno di prendere o perdere l'autobus.
Se considero tale evento una sola volta, stiamo parlando di una prova bernolliana ma, se considero un numero di n volte che i tre possono perdere l'autobus, diventa una binomiale.

A quanto pare abbiamo nella bernoulliana n=1 e nella binomiale n=....+oo, o no ?

si ma con alcune imprecisioni.
la bernoulliana l'hai capita: determina la probabilità di successo/insuccesso in una prova secca, ed è dicotomica (solo 2 valori possibili)
la binomiale potremmo intenderla come la probabilità su n bernoulliane ripetute; "sommate" tra loro.

ma la somma di variabili devi intenderla in senso lato: infatti le probabilità di n bernoulliane in una binomiale non sono sommate/sottratte come hai scritto tu ma bensì moltiplicate (come abbiamo già detto, la probabilità di eventi a più fasi, indipendenti tra loro, è data moltiplicando tra loro le probabilità di ogni evento).
se osservi bene la formula della binomiale P(X=k) vedi che è composta da p (probabilità di successo di una bernoulliana) moltiplicata per sè stessa k volte (numero di successi), per 1-p (probabilità di insuccesso di una bernoulliana) moltiplicata per sè stessa n-k volte (numero di insuccessi), per un moltiplicatore (il coefficiente binomiale).
in questa formula se prendi il caso specifico n=1 (una sola prova) ti ritroverai esattamente con la formula della bernoulliana (il risultato dà p in caso di successo e 1-p in caso di insuccesso).
se prendi k=n il coefficiente binomiale è pari a 1 così come il fattore (1-p)^(n-k), e la formula si riduce semplicemente in p^n: infatti quel numero è la probabilità di n successi su n tentativi, ottenibile moltiplicando p per sè stesso n volte (esempio: probabilità che esca 4 volte testa su 4 lanci di moneta = 1/2*1/2*1/2*1/2 = 1/16)

la seconda imprecisione è che in una binomiale n può essere grande quanto ti pare ma finito, non può assumere valore di +oo

[misterx]

scusa Krammer,
ma la densità di probabilità esiste solo nel continuo o anche nel discreto ?



e poi...
si ha un'arma da testare con la quale si spara una raffica di 20 colpi. Tale arma spara distribuendo i proiettili su un raggio di 25 cm; il raggio del centro da colpire è di 20 cm.
L'arma è buona se la probabilità che almeno il 60% dei proiettili colpisce il centro è > 0.8.

Io sono partito con una binomiale in quanto i colpi (le prove) sono più di una ed in quanto ho solo la possibiltà che colpisca o non colpisca il centro.

Quando è stato corretto l'esercizio però, si è scritta la formula della binomiale in aggiunta ad una sommatoria, ovviamente di binomiali: ma perchè ?

Ultima domanda: abbiamo fatto diversi modelli: bernoulliano, binomiale, geometrica, etc.... in alcuni di tali modelli appare la f e la F battezzata al mio corso F grande ed f piccola; sbaglio oppure queste due non esistono per tutti i modelli ?
E' probabile che la f piccola nella binomiale si chiama densità ed e definita come (n/k)*p^k*(1-p)^(n-k)?

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

scusa Krammer,
ma la densità di probabilità esiste solo nel continuo o anche nel discreto ?

solo nel continuo. nel caso discreto assume nomi diversi (in wiki si parla nel campo discreto di funzione di probabilità, o funzione di massa di probabilità, o densità discreta...)
ma sono convenzioni, basta mettersi d'accordo sul nome da dare alla funzione f.
nel caso continuo si trova la probabilità integrando f, nel caso discreto con la sommatoria su f.

e poi...
si ha un'arma da testare con la quale si spara una raffica di 20 colpi. Tale arma spara distribuendo i proiettili su un raggio di 25 cm; il raggio del centro da colpire è di 20 cm.
L'arma è buona se la probabilità che almeno il 60% dei proiettili colpisce il centro è > 0.8.

Io sono partito con una binomiale in quanto i colpi (le prove) sono più di una ed in quanto ho solo la possibiltà che colpisca o non colpisca il centro.

Quando è stato corretto l'esercizio però, si è scritta la formula della binomiale in aggiunta ad una sommatoria, ovviamente di binomiali: ma perchè ?

si usa la sommatoria perchè la probabilità richiesta è che almeno il 60% dei proiettili colpisca il centro. su 20 colpi disponibili significa che devono centrare il bersaglio esattamente 12 o 13 o 14 o 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20 proiettili. per cui per calcolare la probabilità totale fa fatta la somma della probabilità che 12 facciano centro + quella che 13 facciano centro + quella che 14 facciano centro + quella che 15 facciano centro etc etc fino al 20.
dovrebbe venirti infatti una sommatoria di binomiali con n = 20 e k che vanno da 12 a 20, se non ho sbagliato a fare i conti.

se l'esercizio ti avesse chiesto di trovare la prob che esattamente il 60% dei colpi vadano a segno, bastava fare una sola binomiale con n=20 e k=12

Ultima domanda: abbiamo fatto diversi modelli: bernoulliano, binomiale, geometrica, etc.... in alcuni di tali modelli appare la f e la F battezzata al mio corso F grande ed f piccola; sbaglio oppure queste due non esistono per tutti i modelli ?
E' probabile che la f piccola nella binomiale si chiama densità ed e definita come (n/k)*p^k*(1-p)^(n-k)?

la f piccola indica (o per lo meno di solito indica) la funzione di probabilità (caso discreto) oppure la funzione di densità di probabilità (caso continuo).
per darti l'idea (anche se non glielo spiegherei così al prof ): f ti dice la probabilità esattamente di un punto preciso dello spazio campionario.
la F grande invece indica la probabilità di un insieme di punti dello spazio campionario e si ottiene, come scritto sopra, integrando f nel caso continuo oppure con una sommatoria su f nel caso discreto (esattamente quello che abbiamo fatto nell'esempio: f è una binomiale generica con n=20 e k non definito; F si trova con la sommatoria della binomiale f per valori di k che vanno da 12 a 20)

[misterx]

la prossima volta vengo con te a fare lo scientifico



nella figura la F grande e la f piccola
Immagine.gif

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

la prossima volta vengo con te a fare lo scientifico



nella figura la F grande e la f piccola
Allegato 54562

esatto, non mi ero sbagliato quindi
ma tu hai capito o ti sfugge ancora qualcosa?

[misterx]

e che diamine!
Per me non ho ben chiara la differenza tra la 4.1(funzione di densità discreta o di probabilità) e la 4.2(funzione di distribuzione) della figura che ho postato.

Ad esempio, nella 4.2 appare una k, cosa che non appare nella 4.1.

x, a sto punto, penso che sia il valore atteso. Se ad esempio lancio una moneta 6 volte e mi aspetto che esca almeno 2 volte testa imposterò:

n=6
x=2

Ma se tale esperimento lo desidero fare 10 volte a sto punto scrivo k=10 ?

Che significa lanciare 60 volte la moneta e raccogliere i risultati ogni 6 lanci, sperando che ogni 6 lanci si abbia 2 volte testa

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

e che diamine!
Per me non ho ben chiara la differenza tra la 4.1(funzione di densità discreta o di probabilità) e la 4.2(funzione di distribuzione) della figura che ho postato.

Ad esempio, nella 4.2 appare una k, cosa che non appare nella 4.1.

x, a sto punto, penso che sia il valore atteso. Se ad esempio lancio una moneta 6 volte e mi aspetto che esca almeno 2 volte testa imposterò:

n=6
x=2

Ma se tale esperimento lo desidero fare 10 volte a sto punto scrivo k=10 ?

Che significa lanciare 60 volte la moneta e raccogliere i risultati ogni 6 lanci, sperando che ogni 6 lanci si abbia 2 volte testa

ah ok, pensavo avessi capito
provo a rispiegare nel modo più semplice possibile, visto che hai le idee ancora molto confuse.

la 4.1 indica la probabilità potremmo dire "puntuale", cioè la probabilità che si realizzi esattamente X = x, dove x sono il numero dei successi.
tornando all'esempio dei proiettili (mi sembra più chiaro di questo che hai fatto con il lancio di monete), se viene richiesta la probabilità che esattamente il 60% dei proiettili vada a segno, significa che sparando 20 colpi devono andare a segno esattamente 12 proiettili, nè di più nè di meno. i 12 proiettili a segno è il numero di successi (i restanti 8 è il numero di insuccessi).
quindi bisogna usare la formula 4.1 (che determina la probabilità di un preciso numero di successi) e impostare x = 12. n = 20 in tutti i casi (si tratta sempre di 20 spari, se per ipotesi la probabilità p che un proiettile centri il bersaglio fosse 0.5, allora sarebbe la stessa cosa che lanciare 20 monete e calcolare la probabilità che 12 di queste siano testa).

la 4.2 indica invece la probabilità di "più punti". in particolare la probabilità che si realizzi X<=x (x indica sempre il numero dei successi).
riprendendo di nuovo l'esempio di prima, il numero dei successi è il numero dei proiettili a bersaglio. il proiettili sono sempre 20 in tutto (n=20), quindi i successi possibili possono essere 0 (nessun colpo a segno), 1 (1 colpo a segno), 2 (2 colpi a segno), 3, 4, ..., 19, 20 (tutti e 20 i colpi a segno).
la 4.2 calcola la probabilità che X<=x, quindi se nell'esempio si chiede che al più il 60% dei 20 colpi vada a segno, i casi possibili sono 13: 0 colpi a segno, 1 colpo a segno, 2 colpi a segno, 3, 4, ..., 11, 12 colpi a segno. la probabilità per ogni singolo caso può essere calcolata con la 4.1 (impostando x=0, poi x=1, poi x=2 etc etc fino a x=12). e la probabilità totale richiesta (X<=12) si trova semplicemente facendo la somma di quelle 12 probabilità "puntuali".
ed è proprio questo che c'è scritto nella formula 4.2: si sommano tutte le probabilità puntuali con k che varia tra 0 (nessun proiettile a segno) e x (in questo caso 12, 12 proiettili a segno). n è, come già detto, sempre uguale a 20.

ora dovrebbe esserti tutto più chiaro (spero )



ps: in realtà l'esempio originale chiedeva la probabilità che almeno il 60% dei colpi vadano a segno, cioè 9 casi "puntuali": devono colpire il bersaglio 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 oppure 20 proiettili.
il tal caso non sarà più P(X<=x) bensì P(X>=x), quindi la formula della 4.2 si deve modificare: non sarà k che varia tra 0 e x=12, bensì k che varia tra x=12 e n=20

[misterx]

ciao Krammer,
sai se esiste una sorta di tabella riepilogo che ti fornisca indicazioni per quali casi usare una ditribuzione anzichè l'altra ?

equiprobabile/bernoulliana/binomiale/geometrica/esponenziale/gamma/poissoniana/bayesiana