somma degli interi positivi

[CioKKoBaMBuZzo]

ho letto una cosa che mi ha turbato parecchio:
la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12...

primo: quale risultato è giusto?
secondo: come si è arrivati a questo rusiltato?

[p.NiGhTmArE]

come fa la somma di tutti gli interi positivi a essere un numero finito?
negativo per di più?

[danny2005]

Originariamente inviato da p.NiGhTmArE

come fa la somma di tutti gli interi positivi a essere un numero finito?
negativo per di più?

Mah...forse è qualche successione che converge; avrà letto male o ha fumato roba buona....

[stbarlet]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

ho letto una cosa che mi ha turbato parecchio:
la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12...

primo: quale risultato è giusto?
secondo: come si è arrivati a questo rusiltato?

direi di no, va contro peano.

[CioKKoBaMBuZzo]

oh vi assicuro che c'è scritto proprio quello

pagina 141 del libro "dietro lo specchio" di lawrence krauss

"quando viene analizzata sulla base di adeguati strumenti matematici, sviluppati appositamente per gestire serie infinite, si può dimostrare che la somma della serie 1+2+3+4+5+... non è eguale all'infinito, ma piuttosto a -1/2!"

però 2 pagine dopo dice che è uguale a -1/12 (il che sarebbe ugualmente sconvolgente)

[stbarlet]

non so se sia una distorsione del traduttore, ma quando dice "piuttosto" credo che la cosa sia abbastanza arbitraria.

[CioKKoBaMBuZzo]

no perchè nel discorso ha senso che sia negativo.

quando nell'altra pagina dice che è uguale a -1/12, lo dice in realzione alla teoria delle stringhe duali (credo si chiami così...quella di gabriele veneziano).
perchè la teoria soddisfi l'unitarietà (considerando tutti i possibili risultati di un esperimento, se si esegue quell'esperimento si manifesterà uno di quei risultati) c'è bisogno di uno spazio a 26 dimensioni, in modo che 1+[1/2(D-2)(1+2+3+4+5+....)]=0
dove D è il numero di dimensioni dello spazio...

[lowenz]

Ci vuole Zio Silvio

[Banus]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

però 2 pagine dopo dice che è uguale a -1/12 (il che sarebbe ugualmente sconvolgente)

Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini)

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:



Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio

[p.NiGhTmArE]

ok, mi eclisso

[stbarlet]

Originariamente inviato da Banus

Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini)

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:



Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio

quel x=-1 nasconde qualcosa

[CioKKoBaMBuZzo]

ok...non ho capito niente

ci ripenserò quando avrò le conoscenze per capire almeno il procedimento

[bjt2]

Originariamente inviato da Banus

Il numero -1/2 è probabilmente un errore di stampa.
La somma ha perfettamente senso, una volta che si comprende che non è una somma nel senso intuitivo (cioè limite della somma dei primi n termini)

In particolare la definizione di "somma" usata è quella che si chiama "somma alla Ramanujan". I particolari sono al di là della mia preparazione matematica, ma quello che viene fatto a grandi linee è esprimere la serie come:



Valutata in x=-1. La formula definisce la famosa funzione zeta di Riemann, ma in una regione di convergenza che non comprende -1.
Quello che viene fatto quindi è considerare una funzione olomorfa estesa su tutto il piano complesso che coincide con i valori della serie nella regione di convergenza (un teorema ne garantisce l'unicità) e prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie
In questo caso ζ(-1) = -1/12, da qui il risultato.

ZioSilvio se passa di qui probabilmente lo saprà spiegare ancora meglio

Ah... Ricordo di metodi matematici per l'ingegneria...
Confermo. Penso che bisognerebbe calcolare (se esiste) il limite di quella funzione per x tendente a -1... Chi si cimenta?

[Banus]

Originariamente inviato da bjt2

Penso che bisognerebbe calcolare (se esiste) il limite di quella funzione per x tendente a -1... Chi si cimenta?

Non è necessario prendere il limite, la funzione zeta è continua in -1 (di più, è olomorfa) e quindi si può calcolare direttamente il suo valore
Il valore è già stato calcolato ed è -1/12... chi non si fida può usare questa formulaccia:



e controllare, ricordando che:



Ma non ne vale la pena
E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula

[Beppe82]

Originariamente inviato da Banus

E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula

ad occhio direi teorema dei residui, ma :

1) c'è grossa probabilità che abbia detto una caSSata
2) oltre a questo non mi vieen in mente altro

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

la somma di tutti gli interi positivi è uguale a -1/2

questo risultato sarebbe già abbastanza sconvolgente, se non fosse che nel libro in questione dopo una pagina dice che è uguale a -1/12

Direi che ha già spiegato tutto molto bene Banus nei suoi due post, quindi non mi pronuncio.

Originariamente inviato da CioKKoBaMBuZzo

pagina 141 del libro "dietro lo specchio" di lawrence krauss

"quando viene analizzata sulla base di adeguati strumenti matematici, sviluppati appositamente per gestire serie infinite, si può dimostrare che la somma della serie 1+2+3+4+5+... non è eguale all'infinito, ma piuttosto a -1/2!"

Però non dice quali sono questi metodi. Bah...

[bjt2]

Originariamente inviato da Banus

Non è necessario prendere il limite, la funzione zeta è continua in -1 (di più, è olomorfa) e quindi si può calcolare direttamente il suo valore
Il valore è già stato calcolato ed è -1/12... chi non si fida può usare questa formulaccia:



e controllare, ricordando che:



Ma non ne vale la pena
E non chiedetemi come è stata ottenuta la prima formula

La è quella funzione olomorfa che per s intero positivo vale n! (o (n-1)! , non mi ricordo mai... ) ?

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da bjt2

La è quella funzione olomorfa che per s intero positivo vale n! (o (n-1)! , non mi ricordo mai... ) ?

(n-1)!

Più in dettaglio,



per ogni z che non sia un intero non positivo.
L'identità (valida per n intero positivo) Gamma(n)=(n-1)! si ottiene facilmente integrando per parti.
Osserva che Gamma(z+1)=z*Gamma(z), mentre il fattoriale soddisfa (n+1)!=(n+1)*n!.
EDIT: leggo inoltre QUI che, se f : (0,+oo) --> IR soddisfa
1) f(1)=1,
2) f(x+1)=x*f(x) per ogni x>0, e
3) ln f(x) è una funzione convessa
allora f(x)=Gamma(x) per ogni x>0.

[CioKKoBaMBuZzo]

Originariamente inviato da Ziosilvio

Però non dice quali sono questi metodi. Bah...

bhè è un libro di divulgazione scientifica...una storia romanzata delle dimensioni addizionali

[lowenz]

Originariamente inviato da Banus

prendere il valore della funzione al di fuori della regione come definizione della somma della serie

Mi sfugge il motivo di questo