Compito di matematica svolto BENE, da uno studente dello scientifico di Ischia...

[ChriD]

mi permetto di dire, alla faccia e di studenti.it... questa mattina mi sono messo e ci ho dato, se volete confrontare i vostri elaborati ecco qua il problema n°1

il suddetto compito è stato svolto personalmente da me, quindi non deriva da nessun sito...
per qualsiasi chiarimento non avete che da chiedere!


Procedo con una veloce analisi della funzione che a dire il vero è abbastanza semplice da studiare!

f(x)= 2x-3x^3
il dominio della funzione è chiaramente tutto l'insieme dei numeri reali dato che la funzione è un semplicissimo polinomio di terzo grado....

la prossima cosa che bisogna fare è vedere se la funzione è positiva o negativa f(-x)=3x^3-2x la funzione è chiaramente dispari il che indica che la funzione si ripeterà simetricamente ribaltata nel 3° e 4° quadrante.

La prossima cosa che si procede a fare e vedere i punti d'intersezione con gli assi.
Si mette la funzione y=2x-3x^3 con y=o
se ne deriva l'equazione 2x-3x^3=0 da cui x(2-3x^2)=0
procedendo con i calcoli ne viene x=0 per cui la funzione passerà per l'origine (questo fatto costituisce la consizione che poi successivamente ci permetterà di evitare di verificare il sistema con x=0)
l'altra equaione precedente è -3x^2+2=0 da cui si hanno due soluzioni e cioè x=+/- radical(2/3)

La funzione quindi passerà per l'origine e per +/- radical 2/3

La prossima cosa che si procede a fare è di verificare come la funzione si mantiene per y>0 e quindi studiare le sue positività
attraverso il sitema si troverà che la funzione si mantiene >0 e ancora assume valori compresi tra +/- radical(2/3)
attraverso un semplice schema rappresentativo dei segni se ne ricava che la funzione è positiva per ]-oo;-radical2/3] e [0; radical 2/3] negativa per [-radical 2/3;0[ e ]radical 2/3; +oo[

Se s'iniziano a tracciare questi parametri si potrà iniziare a capire qualcosa del grafico (io purtroppo non posso farlo su questo forum)

La prossima cosa che si deve fare è verificare se esistono asintoti orizzontali o altrimenti obliqui (verticali no perchè il dominio è tutto R)
facendo un semplice limite che tende a infinito (tenuto in considerazione solo il coefficiente di grado massimo) si scopre che la funzione continua a tendere a infinito e quindi asintoti orizzontali non esistono al limite solo obliqui....
adesso lo verifichiamo....
apllicando la semplice formula per calcolare il coefficiente angolare m dell'eventuale asintoto ne deriva (2x-3x^3)/x e anche in questo caso facendo le dovute semplificazioni nulla se ne deriva.... e neanche asintoti obliqui esistono... menomale

Adesso si procede a calcolare i punti stazionari calcolando la derivata prima che è 2-9x^2
per calcolare i punti stazionari bisogna prendere la funzione e porla = a 0
da cui 2-9x^2=0 e facendo i calcoli si ha +/-(radical2)/3
adesso però occorre vedere quali di questi punti stazionari sono i massimi o i minimi per la funzione e quindi bisogna riconsiderare la derivata prima ma porla maggiore di 0
quindi se ne deriva che 2-9x^2>0 allora x>-(radical2)/3 e x<(radical2)/3
il primo punto (-radical2 etc...) è chiaramente (attraverso il grafico dei segni) un punto di minimo relativo, il secondo punto è di massimo relativo!

L'analisi semplicistica della funzione però non finisce qui, bisogna analizzare la presenza dei flessi....
Ci dirigiamo quindi verso la derivata seconda dove ƒ''(x)=-18x
allora quindi ponendo la funzione =0 avremo che essa ha nel punto x=0 un flesso e per divertirci un pò vediamo anche dove sono rivolte le concavità della funzione....
ponendo -18x>0 avremo x<0 che indica che la funzione per X<0 rivolge la concavità verso l'alto e x>0 verso il basso!



allora passiamo al secondo quesito dove le cose non risultano essere ancora complesse....
come bisogna fare per calcolare l'area R delimitata dall'ordinata dalla funzione e da y=c
la cosa impiegava un leggero ragionamento...
bisognava tenere in considerazione i punti in cui s'incontava la retta con la funzione....
chiamiamo il primo punto a e il successivo b
la prima cosa da fare è quella di calcolare l'area di tutto il rettangolo di cordinate (a;c) (considerando c appunto la retta e cioè il punto in cui essa s'incontra con l'ordinata)
essendo l'area del rettangolo base per altezza ne abbiamo che essa è ac
poi a quest'area dobbiamo calcolare qulla sottesa dalla funzione sempre limitatamente al punto a e quindi bisogna fare l'integrale definito della funzione iniziale (2x-3x^3) dal punto 0 al punto a e quindi....
R= ac-integrale da 0 ad a di 2x-3x^3
da cui ac-[a^2-3/4a^4-0]
da cui ac-a^2+3/4a^4 e poi ordinando 3/4a^4-a^2+ac
ECCO CHE L?AREA DI R è CALCOLATA!!!!!!!!!!!!!!!!!

passiamo al calcolo dell'area che il problema chiama S
in questo caso dobbiamo tenere presente la sezione sottesa dalla funzione dal punto a a quello b
una volta calcolata quest'area poi gli va sottratta quella del rettangolino che si viene a formare sotto la cui area si calcola facendo [(b-a)c]

faccimo l'integrale da a a b della funzione 2x-3x^3 e poi gli sottraiamo [(b-a)c]
[(b^2-3/4b^4)-(a^2-3/4b^a)]-[(b-a)c]
da cui b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac

il gioco è fatto è stata calcolata anche l'area S

adesso non dobbiamo fare altro che uguagliarle per ottenere che siano uguali!
quindi R=S
da cui 3/4a^4-a^2+ac=b^2-3/4b^4-a^2+3/4a^2-bc-ac

effettuando le dovute semplificazioni ne abbiamo che....
3/4b^4-b^2+bc=0

l'equazione si è semplificata di molto...

c'è bisogno tuttavia di una condizione fondamentale per poter proseguire....

la condizione:
ƒ(a)=ƒ(b)=c

se quindi ƒ(b)=c allora riprendendo la funzione iniziale avremo 2b-3b^3=c

riprendendo la funzione che ci era venuto prima uguagliando le due aree
3/4b^4-b^2+bc=0


faccio il minimo comune multiplo e poi metto in evidenza la b ottenendo un'equazione di terzo grado (poi capirete perchè è meglio)

b(3b^3-4b+4c)=0
b=0 è impossibile (si può vedere anche dal grafico che avrete fatto)
quindi abbiamo soltanto da considerare 3b^3-4b+4c=0

allora adesso bisogna fare un sistema considerando la funzione travata precedentemente
e otteniamo
2b-3b^3-c=0
3b^3-4b+4c=0

riscrivo in forma più corretta in modo da poter procedere anche con la tecnica della somma ( e qui capiamo perchè prima avevo messo in evidenza):
-b^3+2b-c=0
3b^3-4b+4c=0
----------------------------- (applico il teorema della somma)
/////-2b+3c=0
da cui c=2/3b e da cui b=3/2c

sostituendo b nell'equazione 3b^3-4b+4c=0

otteniamo
-3(27/8c^3)+3c-c=0
da cui
-81/8c^3+2c=0
da cui mettendo c in evidenza
c(2-81/8c^2)=0
c=0 e impossibile (visibile anche dal grafico che avrete fatto)
quindi si considera solo 2-81/8c^2=0
da cui
c^2=2*8/81 ---------> c^2=16/81 -------> c=+/- 4/9
prendiamo in considerazione solo i valori positivi perchè lo studio viene fatto nel 1° quadrante quindi c=4/9

ECCO COME VOLEVASI DIMOSTRARE LA RETTA y=c DIVENTA y=4/9

il punto 3 è stato pienamente risolto!!!!!



allora ecco come calcolare i punti d'intersezione....

bisogna fare un sistema tra la funzione originaria
y=2x-3x^3
e la retta y=4/9

quindi ne otteniamo 2x-3x^3-4/9=0

da cui dopo aver fatto l'm.c.m e dopo aver messo un pò in ordine il tutto abbiamo:

27x^3-18x+4=0

alcuni hanno detto che la funzione non era risolvibile con ruffini (quindi si potevano solo ipotizzare le tre intersezioni visibili dall'equazione di 3° grado), io non mi sono arreso però e ho provato con alcuni numeri razionali fratti tra cui 2/3 e guarda caso dopo aver apllicato ruffini la funzione è così composta:
(27x^2+18x-6)(x-2/3)

quindi la prima soluzione è x=2/3
poi bisogna risolvere 27x^2+18x-6=0

semplifichiamo tutta l'equazione per 3
e otteniamo: 9x^2+6x-2=0
risolvendo abbiamo le seguenti soluzioni: [(-6+/-radical 108)/18]
a questo punto bisogna semplificare e tirare fuori da quella radice qualcosa....
quella che cmq c'interessa è solo la soluzione positiva in quanto ricordo stiamo lavorando nel 1° quadrante e il resto poco c'interessa

fatte le dovute semplificazioni ne otteniamo [(-1+/-radical3)/3]

ECCO TROVATE LE INTERSEZIONI

_________________________________________

prima di passare allo svolgimento del 4° e ultimo punto, vorrei ricordare che per una precisione grafica, nonchè di sviluppo del problema, precedentemente quando sono stati calcolati il massimo relativo e il minimo relativo, oltre a calcolare la loro locazione sull'asse delle ascisse, bisognava anche calcolare il corrispettivo sull'asse delle ordinate.... semplicemendo mettendo a sistema il valore di x nel massimo e nel minimo con la funzione iniziale!
calcolo solo il valore di y positivo, l'altro negativo sarà l'opposto...
svolgiamo il sistema
y=(radical2)/3
y=2x-3x^3

ne deriva che y=(2radical2)/3-(2radical2)/9
dopo aver fatto l'm.c.m.
abbiamo come risultato (4radical2)/9


passiamo al 4° e ultimo punto con cui vorrei concludere l'analisi

in questo caso bisogna ragionare sul grafico e disegnare il simmetrico di G rispetto alla retta y=4/9

la cosa importante da fare è capire quale relazione lega le due funzioni G e g....
bisogna tener conto delle regole di traslazione e poi graficamente si visualizza che appunto la funzione e simmetrica rispetto a y=4/9 e quindi sarà all'opposto di G e cioè a 2*4/9
...in definitiva, tenendo conto anche del resto dei punti la formula è 2*4/9-y che deve essere sostituita alla y della funzione originari y=2x-3x^3

quindi ne avremo che 8/9-y=2x-3x^3

da cui y=27x^3-18x+8


il problema è così definitivamente risolto....

esso è stato svolto da me questa mattina all'esame, non si tratta di una copia fasulla presa da internet, ma di un elaborato estremamente preciso....
se qualcuno ha dei dubbi o ho fatto degli errori di forma o di altro... siete pregati di avvertirmi...

per ciò che concerne i quesiti dico solo che ho optato per il 1°, il 4°, il 6°,7° e 9°

non li svogerò per questione di tempo, ma se qualcuno è realmente interessato, vedrò cosa si può fare

Saluti
Christian

[Bandit]

Mostruoso,vero? io invece oltre al probl. ho fatto il 4°,5°,6°,7°,8°

[Chromo]

Gli esami non finiscono mai... aspetta a gioire..

[Bandit]

Originariamente inviato da Chromo
Gli esami non finiscono mai... aspetta a gioire..

a chi ti riferisci?

[luckye]

Originariamente inviato da Chromo
Gli esami non finiscono mai... aspetta a gioire..

Più che altro aspetta di essere al 4° anno di ingegneria per odiare la matematica che ora tanto ti appassiona !

[_Xel_^^]

Originariamente inviato da luckye
Più che altro aspetta di essere al 4° anno di ingegneria per odiare la matematica che ora tanto ti appassiona !

Io ero bravissimo in mate... non studiavo e capivo tutto subito, mi piaceva!

Questo alle superiori...

Ad ingegneria ho cominciato ad odiare la matematica... ora sto per finire e la odio profondamente... oltre ad avere dimenticato tutto... nemmeno mi ricordo come si fanno derivate e intergrali più difficili di X^2


Ciau!

[Bandit]

Originariamente inviato da _Xel_^^
Io ero bravissimo in mate... non studiavo e capivo tutto subito, mi piaceva!

Questo alle superiori...

Ad ingegneria ho cominciato ad odiare la matematica... ora sto per finire e la odio profondamente... oltre ad avere dimenticato tutto... nemmeno mi ricordo come si fanno derivate e intergrali più difficili di X^2


Ciau!

perchè la odi? ti sembra che non sia + matematica e quindi non c'è nulla di preciso?

[SaMu]

Originariamente inviato da ChriD
f(x)= 2x-3x^3
il dominio della funzione è chiaramente tutto l'insieme dei numeri reali dato che la funzione è un semplicissimo polinomio di terzo grado....

Non è un po' facile, per essere una maturità scientifica?

Ai miei tempi (oddio, 5 anni fa, come passa il tempo) ricordo una funzione molto più difficile.. c'è un link dove recuperare i testi delle maturità passate?

[jumpermax]

Originariamente inviato da luckye
Più che altro aspetta di essere al 4° anno di ingegneria per odiare la matematica che ora tanto ti appassiona !

Beh guarda non a tutti succede, a me la matematica è sempre piaciuta, ma ho capito quanto sia bella solo seguendo le lezioni di analisi III... sarà che il mio professore era davvero bravissimo....

[Bandit]

Originariamente inviato da SaMu
Non è un po' facile, per essere una maturità scientifica?

Ai miei tempi (oddio, 5 anni fa, come passa il tempo) ricordo una funzione molto più difficile.. c'è un link dove recuperare i testi delle maturità passate?

se ti riferisci a quello va bene ma hai visto il 3° punto?(quello di trovare y=c e tutto il resto?

[andy_mouse]

Originariamente inviato da _Xel_^^
Io ero bravissimo in mate... non studiavo e capivo tutto subito, mi piaceva!

Questo alle superiori...

Ad ingegneria ho cominciato ad odiare la matematica... ora sto per finire e la odio profondamente... oltre ad avere dimenticato tutto... nemmeno mi ricordo come si fanno derivate e intergrali più difficili di X^2


Ciau!

io vorrei andare a ing. ma non amo la matematica ,cmq sono abbastanza bravo .. se tu la amavi e DOPO la odi, io come finirò (che non la amavo)

quando sento queste cose mi vengono molti dubbi su ing

[ChristinaAemiliana]

Originariamente inviato da SaMu
Non è un po' facile, per essere una maturità scientifica?

Ai miei tempi (oddio, 5 anni fa, come passa il tempo) ricordo una funzione molto più difficile.. c'è un link dove recuperare i testi delle maturità passate?

Toh

http://digilander.libero.it/cerreto/speciale.htm

[SaMu]

Originariamente inviato da Bandit
se ti riferisci a quello va bene ma hai visto il 3° punto?(quello di trovare y=c e tutto il resto?

Hai ragione, la funzione era semplice ma le domande no.

[majino]

io il 4 punto del problema per risolverlo ho semplicemente invertito i segni della funzione e aggiunto 8/9 dato che se la funzione normale passava per l'origine, se la ribalto sulla retta y=4/9, mi dovrà passare per 8/9.. dite che è un po' troppo empirica come dimostrazione??

[Stigmata]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Toh

http://digilander.libero.it/cerreto/speciale.htm

http://digilander.iol.it/cerreto/M96t.doc

ecco il mio

[luckye]

Originariamente inviato da andy_mouse
io vorrei andare a ing. ma non amo la matematica ,cmq sono abbastanza bravo .. se tu la amavi e DOPO la odi, io come finirò (che non la amavo)

quando sento queste cose mi vengono molti dubbi su ing

Guarda lascia stare.....solo il primo anno c'è analisi matematica A che ti viene chiesto tutto dalla nomenclatura degli insiemi fino alla geometria in 3 dimensioni + Integrali.
Almeno 6 volte più difficile di questo esercizio.
Mi ricordo che aveva dato una funzione in valore assoluto,cubica e divisa una funzione trigonometrica.E questo era solo 1 esercizio.

Poi troverai analisi B,con integrali tripli,derivate parziali,campi vettoriali,integrali di linea,cambi di variabili integrali,problema di cauchy,problema di poisson,eq. differenziali ordinarie e non di primo e secondo grado,serie di taylor,serie di fourier,campi vettoriali,integrali nello spazio,derivate direzionali.......... Devo continuare ?

Scoprirai che alle superiori hai fatto matematica come uno che per imparare l'italiano legge topolino.
Fidati di me.....mi ero diplomato itis meccanico con il "vecchio sistema" con 93

[guldo76]

Originariamente inviato da ChriD
f(x)= 2x-3x^3

E` veramente una minchiata, lasciatemelo dire.
SaMu ha decisamente ragione.
Vatti a guardare il tema d'esame che ho svolto io (a.s. 1995/96)... fai un po' te...
Che tristezza.
(grazie a ChristinaAemiliana per il link)

[Bilancino]

Con un compito del genere è chiaro che fanno le lauree di questo tipo........Quando ho fatto la maturità io altro che una funzioncina del genere..........

Ciao

[ciriccio]

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Toh

http://digilander.libero.it/cerreto/speciale.htm

mi hai fatto venire la nostalgia adesso

[ChriD]

La funzione come studio era molto semplice....

il problema era solo il 3° punto in conclusione



per la cronaca ho svolto il quesito 1,4,6,7,9


se qualcuno vuole chiarimenti sto a disposizione, tempo permettendo