commutatore m.q.

[dario fgx]

salve.
vorrei capire una cosa:
due grandezze che non commutano (vedi momento lineare e posizione)
non posso essere note contemporaneamente con arbitraria precisione.
Questo per definizione.
Ma perchè?
Non capisco il commutatore cosa centri in sta storia!
Grazie

[fsdfdsddijsdfsdfo]

se commutassero non sapresti distinguere l'una dall'altra nel prodotto.


6=3*2=2*3

e non distingui

invece con le matrici

A=B*C diverso da C*B=D


nota: le mie motivazioni sono puramente algebriche e prescindono la fisica.

[Gargoyle]

Originariamente inviato da dario fgx

salve.
vorrei capire una cosa:
due grandezze che non commutano (vedi momento lineare e posizione)
non posso essere note contemporaneamente con arbitraria precisione.
Questo per definizione.
Ma perchè?
Non capisco il commutatore cosa centri in sta storia!
Grazie

No, non per definizione.

Si può dimostrare un teorema in cui si vede che il prodotto delle indeterminazioni di due operatori A e B è (nella migliore delle ipotesi) proporzionale al loro commutatore [A,B].
Se il commutatore è nullo, allora AB - BA = 0 e quindi le due grandezze A e B possono essere note con precisione (teoricamente) arbitraria.

[dario fgx]

forse ti seguo ma ti devo chiedere di essere + esplicito
spiegati come se lo stessi dicendo al mio bisnonno

[dario fgx]

Originariamente inviato da Gargoyle

No, non per definizione.

Si può dimostrare un teorema in cui si vede che il prodotto delle indeterminazioni di due operatori A e B è (nella migliore delle ipotesi) proporzionale al loro commutatore [A,B].
Se il commutatore è nullo, allora AB - BA = 0 e quindi le due grandezze A e B possono essere note con precisione (teoricamente) arbitraria.

ok ma c'è ancora una cosa che non va:se è nullo allora il prodotto delle indeterminazioni è nullo, ma potrebbe benissimo essere che l'indet di A sia 0 e quella di B enorme.
o no?

[dario fgx]

help
ancora nn capisco x bene

[Gargoyle]

Originariamente inviato da dario fgx

ok ma c'è ancora una cosa che non va:se è nullo allora il prodotto delle indeterminazioni è nullo, ma potrebbe benissimo essere che l'indet di A sia 0 e quella di B enorme.
o no?

Certo, può ancora esserlo, ma non c'è più una ragione fisica per cui lo debba essere!

Il Principio (o meglio teorema) di Indeterminazione pone il limite minimo: è come se dicesse << meglio di così, per quanto buono sia lo strumento, non puoi fare >>. Ma questo non impedisce che poi, nella pratica, le indeterminazioni possano essere ben maggiori di quella soglia minima.

Nel caso il commutatore sia nullo, entrambe le grandezze possono essere note con precisione arbitraria, ma non significa che, se vado a fare l'esperimento, misurerò per forza davvero valori "esatti".



PS: che testo stai usando e di che corso di laurea sei?

[dario fgx]

guarda il testo che uso sono gli incasinati appunti
il mitico libro "la fisica di feynmann"
testi nella biblioteca ecc.
l'unico mio problema è che sinceramente mi sforzo di capire il senso delle cose prima di accettare teoremi per veri.Questo mi fa perdere moltissimo tempo nello studio
faccio scienza dei materiali e sono al II anno.
sapreste aiutarmi anche con i commutatori di L ??
Comunque ti ringrazio sin d'ora per il prezioso apporto.

[Gargoyle]

Originariamente inviato da dario fgx

guarda il testo che uso sono gli incasinati appunti
il mitico libro "la fisica di feynmann"
testi nella biblioteca ecc.
l'unico mio problema è che sinceramente mi sforzo di capire il senso delle cose prima di accettare teoremi per veri.Questo mi fa perdere moltissimo tempo nello studio
faccio scienza dei materiali e sono al II anno.

Se mi permetti un consiglio, io ho trovato spiegato benissimo lo "Shankar: Principles of Quantum Mechanics".

E' un tomo, ma non perché carico di formule, quanto perché pieno di spiegazioni davvero eccellenti.

Io non sono un fisico, sono un chimico(-fisico), quindi di matematica ne so pochina, eppure mi cis ono trovato davvero benissimo.

Originariamente inviato da dario fgx

sapreste aiutarmi anche con i commutatori di L ??
Comunque ti ringrazio sin d'ora per il prezioso apporto.

I commutatori del momento angolare son bellini.

Cosa vuoi sapere?

Il modo più easy per dimostrarli è prendere il momento angolare come
L = r X p
sostituire ad x e p gli operatori quantistici e calcolare esplicitamente i commutatori.

Esistono modi più astratti e più "matematizzanti" per ricavarseli, ma questo resta il più semplice e quindi la scelta migliore per il primo impatto.

Se hai buone conoscenze di meccanica classica, si può sfruttare l'analogia tra parentesi di Poisson e commutatori quantistici: questo, però, se sai cosa siano delle parentesi di Poisson.

[Lucrezio]

Ciao!
Affinché tu possa conoscere con precisione arbitraria due grandezze, è necessario che la tua funzione d'onda sia autostato di entrambi gli operatori relativi agli osservabili in questione (questo dovrebbe esserti chiaro, sennò chiedi pure!).
Affinché questo accada gli operatori devono commutare, per dimostrarlo puoi procedere così:
- fissa una base in modo da passare da operatori a matrici (i matematici mi perdonino, tutto questo non è formalmente corretto ma funziona in qualche modo e rende bene l'idea!)
- dimostra che se le due matrici commutano, se v è autovettore di A allora anche Bv è autovettore di A
- cerca di far vedere che c'è almeno un autovettore in comune e poi estendi!

Non è proprio banalissimo, ma si può fare

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Gargoyle

Certo, può ancora esserlo, ma non c'è più una ragione fisica per cui lo debba essere!

Il Principio (o meglio teorema) di Indeterminazione pone il limite minimo: è come se dicesse << meglio di così, per quanto buono sia lo strumento, non puoi fare >>. Ma questo non impedisce che poi, nella pratica, le indeterminazioni possano essere ben maggiori di quella soglia minima.

Nel caso il commutatore sia nullo, entrambe le grandezze possono essere note con precisione arbitraria, ma non significa che, se vado a fare l'esperimento, misurerò per forza davvero valori "esatti".

PS: che testo stai usando e di che corso di laurea sei?

CALMA!!!
Il principio di indeterminazione è proprio un principio!
Sono i postulati di Dirac - Von Neumann che si possono dimostrare a partire dal fatto che l'algebra degli osservabili non è commutativa (non ne so molto, ci vorrebbe alexzeta che si occupa di queste cose...)

[Gargoyle]

Originariamente inviato da Lucrezio

CALMA!!!
Il principio di indeterminazione è proprio un principio!
Sono i postulati di Dirac - Von Neumann che si possono dimostrare a partire dal fatto che l'algebra degli osservabili non è commutativa (non ne so molto, ci vorrebbe alexzeta che si occupa di queste cose...)

Scusa, ma non è stato heisemberg a ricavare il "principio" la prima volta con ragionamenti euristici, che sfruttavano l'analogia con le onde?

E la formalizzazione corretta non è venuta dopo? Nel quadro teorico attuale della MQ il "principio di indeterminazione" non dovrebbe essere un vero e proprio teorema?

Non capisco poi cosa intendi dicendo che "i postulati si possono dimostrare": mi sembra una contraddizione.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Gargoyle

Scusa, ma non è stato heisemberg a ricavare il "principio" la prima volta con ragionamenti euristici, che sfruttavano l'analogia con le onde?

E la formalizzazione corretta non è venuta dopo? Nel quadro teorico attuale della MQ il "principio di indeterminazione" non dovrebbe essere un vero e proprio teorema?

Non capisco poi cosa intendi dicendo che "i postulati si possono dimostrare": mi sembra una contraddizione.

Mi lancio in una materia che non conosco, anch'io ho sempre utilizzato la formulazione assiomatica di Dirac - Von Neumann...
L'idea, credo, è che a partire dal solo principio di indeterminazione (ovvero dalla regola di commutazione fra posizione e momento) si deduce che l'algebra delle osservabili non è commutativa: si dimostra che questo implica che lo stato sia un vettore in un Hilbert e che le osservabili siano operatori autoaggiunti.
Non ho idea del come, ma c'entrano le C* Algebre!
Più di così non so, provo a chiedere ad Alexzeta se ci illumina!

[dario fgx]

l'idea datami da Glodrake più "concettuale" l'ho ritrovana anche sulla treccani e mi sta bene.
La questione che invece proponeva Lucrezio, effettivamente serve a dimostrare che affinchè due operatori commutino devono avere un sistema completo di autovettori in comune.La motivazione di ciò però non mi è chiara.

ora quello che mi preme è risolvere questo[Lx,Ly]=ih'Lz
dove h'=acca tagliato.

[Gargoyle]

Originariamente inviato da dario fgx

l'idea datami da Glodrake più "concettuale" l'ho ritrovana anche sulla treccani e mi sta bene.
La questione che invece proponeva Lucrezio, effettivamente serve a dimostrare che affinchè due operatori commutino devono avere un sistema completo di autovettori in comune.La motivazione di ciò però non mi è chiara.

Esiste un vettore |v'> tale che due operatori A e B
A|v'> = a'|v'>
B|v'> = b'|v'>

Allora AB|v'> = A( B|v'> ) = A b'|v'> = b' A|v'> = b'a'|v'> = BA|v'>

Quindi se esiste un intero spazio vettoriale di vettori |v'> che verifichino questa condizione, si ha che
AB|v'> = BA|v'> e quindi AB=BA e quindi i due opratori commutano.

Originariamente inviato da dario fgx

ora quello che mi preme è risolvere questo[Lx,Ly]=ih'Lz
dove h'=acca tagliato.

"Risolvere" in che senso?

[dario fgx]

dimostrare!

[Gargoyle]

Originariamente inviato da dario fgx

dimostrare!

poniamo h=1, per semplicità.

L = r X p

Svolgi il determinante, e ricavi le tre componenti di L che chimerai Lx, Ly ed Lz.

A quel punto, fai il commutatore [Li,Lj] e sfrutti il fatto che [xi,pj]=dij

[dario fgx]

Allora una volta ricavate le componenti, cosa facile è proprio il commutatore che non riesce.
cioè io ho la dimostrazione del mio prof che fa:
[Lx,Ly] = LxLy-LyLx = (ih')^2 (y*(d\dz) - z*(d\dy))(z(d\dz) - x(d\dz))

Poi effettua l'inversione del prodotto cambiando di segno solo a ih' a causa del fatto che è l'unico a non seere hermitiano, cioè:

(z(d\dz) - x(d\dz))(y*(d\dz) - z*(d\dy)) (ih')^2
da li ricava le componenti di z ma quel passaggio non lo capisco

[dario fgx]

eeco il link:


dove dice
"Basic definition" fa la stessa cosa dei miei appunti!
ma io non capisco dopo ever espresso il commutatore tramite le componenti come fa a trasformarle in yd\dx-xd\dy???
sarà na cosa stupida ma al momento mi sfugge

[Lucrezio]

Originariamente inviato da dario fgx

eeco il link:


dove dice
"Basic definition" fa la stessa cosa dei miei appunti!
ma io non capisco dopo ever espresso il commutatore tramite le componenti come fa a trasformarle in yd\dx-xd\dy???
sarà na cosa stupida ma al momento mi sfugge

Io non lo esprimerei tramite componenti!

Svolgendo il prodotto nel primo termine:

Al secondo termine:

Essendoci il segno meno dobbiamo calcolare quattro commutatori:

anolagamente:



E quindi sommando le equazioni ottenute:


Prendere un po' di manualità sui commutatori è una cosa importante: se un giorno ti troverai a fare un po' di seconda quantizzazione non farai altro!