statistica: help su calcolo combinatorio

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

sei stato chiarissimo....

quindi se desidero verificare se due eventi sono congiunti(dipendenti) è sufficiente prendere due sottoinsiemi dello spazio degli eventi ed attraverso le operazioni dell'insiemistica fare le mie verifiche, almeno: credo di aver capito così

hmmm non esattamente.

con le operazioni insiemistiche è possibile verificare se 2 eventi sono compatibili o incompatibili. ad esempio, su un tiro di dado: esce_pari e esce_dispari sono eventi incompatibili; esce_minore_di_4 e esce_dispari sono eventi compatibili (1 e 3 sono numeri sia dispari che minori di 4).
per verificarlo è sufficiente fare l'intersezione dei 2 eventi sullo spazio campionario: se l'insieme risultante è vuoto allora sono incompatibili, viceversa sono compatibili.

parlando della dipendenza/indipendenza le cose non sono così immediate: la dipendenza di un evento A rispetto all'evento B implica un restringimento dello spazio campionario, in particolar modo lo spazio campionario diventa coincidente con l'insieme B, e l'evento A diventa coincidente con l'insieme A disgiunto B.
per verificare che A è indipendente da B deve risultare P(A|B) = P(A) e quindi P(A disgiunto B) = P(A)*P(B) (la probabilità che si verifichi sia A che B è uguale alla probabilità che si verifichi A moltiplicato per la probabilità che si verifiche B) ovverosia dobbiamo tirare in ballo la funzione probabilità P associata agli eventi, non sono sufficienti le operazioni insiemistiche sugli eventi (disgiunzione, negazione).

si potrebbe dire (ipotizzando di lavorare sul continuo e sacrificando un po' il rigore matematico) che 2 eventi A e B sono indipendenti se il rapporto tra l'area di A e l'area dello spazio campionario è uguale al rapporto tra l'area di A disgiunto B e l'area di B. viceversa se i 2 rapporti sono differenti, allora gli eventi sono dipendenti.
questo perchè P(A) è uguale all'area A diviso l'area dello spazio campionario (casi favorevoli diviso totalità dei casi); P(A|B) è uguale all'area di A disgiunto B diviso l'area del nuovo spazio campionario ridefinito, coincidente con B.
Assunto come detto sopra che P(A) = P(A|B) <==> A e B sono indipendenti.


spero di esser stato sufficientemente chiaro

[misterx]

scusa ma il pipe | ha valore di disgiunzione ?

Ho un'altra domanda basata su un esempio e riferito al 3° assioma della probabilità che dice:

se due eventi A e B sono mutuament esclusivi allora P(A U B) = P(A) + P(B)


esempio:
si osserva la durata di alcune batterie esi vuole stimare la probabilità relativa di........(il resto non è importante)
Evento A = "la batteria dura almeno 3 anni"
Evento B = "la batteria dura meno di 1 anno"

per l'evento A sia ha un dato = 94 batterie su 800
per l'evento B sia ha un dato = 61 batterie su 800


il 3° assioma mi suggerische che potrei scrivere:

P("la batteria dura almeno 3 anni","la batteria dura meno di 1 anno") = 94 + 61/800 = 19,...% circa


ma posso scrivere una cosa del genere ?
La domanda nasce esclusivamente per farmi capire come si può fare dei conti con insiemi e numeri che li rappresentano





p.s.
scusa, ma si può fare quanto ho esposto, l'ho trovato poi in un esercizio

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

scusa ma il pipe | ha valore di disgiunzione ?

il pipe ha valore "supposto che sia verificato"
P(A|B) significa "la probabilità che si verifichi A supposto che sia verificato B"

Ho un'altra domanda basata su un esempio e riferito al 3° assioma della probabilità che dice:

se due eventi A e B sono mutuament esclusivi allora P(A U B) = P(A) + P(B)


esempio:
si osserva la durata di alcune batterie esi vuole stimare la probabilità relativa di........(il resto non è importante)
Evento A = "la batteria dura almeno 3 anni"
Evento B = "la batteria dura meno di 1 anno"

per l'evento A sia ha un dato = 94 batterie su 800
per l'evento B sia ha un dato = 61 batterie su 800


il 3° assioma mi suggerische che potrei scrivere:

P("la batteria dura almeno 3 anni","la batteria dura meno di 1 anno") = 94 + 61/800 = 19,...% circa


ma posso scrivere una cosa del genere ?
La domanda nasce esclusivamente per farmi capire come si può fare dei conti con insiemi e numeri che li rappresentano

p.s.
scusa, ma si può fare quanto ho esposto, l'ho trovato poi in un esercizio

certo che si può scrivere: P(AUB) = 94/800 + 61/800 (probabilità che la batteria duri almeno 3 anni oppure che la batteria duri meno di un anno)

Il teorema che hai menzionato è un caso speciale del teorema più generale P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A disgiunto B), valido in tutti i casi.
Nel caso di 2 eventi A e B incompatibili allora si riduce nella formula che hai scritto. I 2 eventi sono incompatibili: se si verifica uno non si può verificare l'altro ==> P(A disgiunto B) = 0 in qualsiasi caso.

poniamo caso che l'evento A sia "la batteria dura almeno 1 anno"
e l'evento B sia "la batteria dura meno di 3 anni"
in questo caso A e B sono eventi compatibili (è possibile che si verifichi contemporaneamente A e B) e bisogna usare la formula più generale P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A disgiunto B)

per risolverla bisogna conoscere la probabilità P(A disgiunto B) (la probabilità che la batteria duri almeno un anno e meno di 3 anni), che si può calcolare trovando l'area dell'insieme A disgiunto l'insieme B diviso l'area dello spazio campionario

edit: presupponendo che lo spazio campionario sia continuo e vada per esempio da 0 a 10 anni (nessuna batteria dura più di 10 anni) e che la probabilità sia per tutti i punti campionari eguale, si trova che
P(A) = 9/10
P(B) = 3/10
P(A disgiunto B) = (3-1)/10 = 2/10
P(AUB) = 9/10 + 3/10 - 2/10 = 10/10 = 1 (evento certo: infatti qualsiasi batteria, nell'esperimento fatto, dura almeno 1 anno oppure meno di 3 anni!)

[misterx]

l'assioma che ho postato P(AUB)=P(A)+P(B) dovrebbe essere di kolmogorov e come tale, leggo che non dev'essere dimostrato in quanto viene dato per vero: è giusto ?

però ve ne sono anche altri di assiomi da usarsi per ogni caso specifico del tipo:

P(ins vuoto) = 0
P(A complementato) = 1 - P(A)
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersec B)
P(A - B) = P(A intersec B complementato) = P(A) - P(A intersec B)

e altri......

Scusa per la domanda ingenua, ma ognuna di queste formule va usata per il caso specifico vero ?
Beh, se così fosse, non è facile identificare sempre i vari casi

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

l'assioma che ho postato P(AUB)=P(A)+P(B) dovrebbe essere di kolmogorov e come tale, leggo che non dev'essere dimostrato in quanto viene dato per vero: è giusto ?

si esatto, gli assiomi sono dati a priori, nessuna dimostrazione, come dire che 2 rette parallele non si intersecano mai nella geometria euclidea
è una convenzione per costruire un sistema coerente e logico, e in questo caso è anche particolarmente intuitivo: se la probabilità che si verifichi A è P(A), la probabilità che si verifichi B è P(B), e presupposto che se si verifica A non può verificarsi B e viceversa, viene da sè che la probabilità che si verifichi A oppure B è la somma di P(A) e P(B).

però ve ne sono anche altri di assiomi da usarsi per ogni caso specifico del tipo:

P(ins vuoto) = 0
P(A complementato) = 1 - P(A)
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersec B)
P(A - B) = P(A intersec B complementato) = P(A) - P(A intersec B)

e altri......

Scusa per la domanda ingenua, ma ognuna di queste formule va usata per il caso specifico vero ?
Beh, se così fosse, non è facile identificare sempre i vari casi

a parte che le formule che hai scritto non sono assiomi ma teoremi derivati dai tre assiomi di Kolmogorov:
1) Ad ogni evento casuale a corrisponde un certo numero P(a), chiamato "probabilità di a", che soddisfa la disuguaglianza 0 <= P(a) <= 1.
2) La probabilità dell'evento certo è 1.
3) La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi mutuamente esclusivi è pari alla somma delle probabilità di questi eventi.

ma indipendentemente da questo, la tua domanda non ha molto senso imho: ogni formula matematica ha valore in un ben determinato contesto, che può essere più o meno "ampio"
possiamo dire cmq che le formule da te riportate sono generali e valgono in tutti i casi classici di studio delle probabilità.
certo, alcuni si possono generalizzare molto di più considerando ad esempio i casi con n eventi, e non solo con 2

tutte le formule sono molto intuitive se leggi il problema in ottica insiemistica/geometrica: associando gli eventi a degli insiemi e questi insiemi a figure geometriche (presupposto che la figura dello spazio campionario racchiude tutte le figure-eventi ed ha area uguale a 1), e conoscendo che la probabilità dell'evento X è data dall'area della figura associata, è immediato intuire la verità delle formule:
P(ins vuoto) = 0 (evento che non si può verificare, non esiste nello spazio campionario, non ha figura e ha area 0)
P(A complementato) = 1 - P(A) (l'area di tutto ciò che sta al di fuori della figura-evento A è data da 1 (area dello spazio campionario dove operiamo) meno l'area di A
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersec B) (l'area della figura-evento A unita alla figura-evento B è uguale alla somma delle aree A e B meno l'area della figura risultante dall'intersezione di A con B)
etc etc...

[misterx]

e lo so che alcune domande possono apparire nonsense se viste al di fuori del mio cervello è una questione di spazi
Mi serviva la conferma che qualcosina la avevo individuata.

Ad ogni buon conto, è una materia del tutto nuova per me e mi sento ancora fuori dalla porta, in aggiunta ho pochissima dimestichezza con l'insiemistica, ma sto notando che lavorandoci sopra insistentemente le cose migliorano.....

Tra un pò ti chiedero lumi sul modello bernoulliano e quello binomiale

grazie 1000


p.s.
però la sigma algebra è poco chiara: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_campionario

al link non si capisce se omega è un sottoinsieme della famiglia degli eventi A oppure è il contrario




p.p.s
idea

al link si parla di famiglia e quindi, pensavo che una famiglia di sottoinsiemi fosse ancora un sottoinsieme ma....forse avrebbe creato confusione usare lo stesso termine, per cui; se A è un insieme di eventi e A una famiglia, significa che contiene A1, A2, A3 etc....sembra logico ?

vedi immagine
Immagine.GIF

[Krammer]

omega è il simbolo con cui normalmente viene definito lo spazio campionario.
in wiki, omega = spazio campionario (che è un insieme, in particolare l'insieme di tutti gli eventi elementari)

per sigma algebra, riferito alle probabilità, si intende lo spazio degli eventi: ovvero l'insieme di tutti i sottoinsiemi dello spazio campionario (omega), ovvero l'insieme di tutti gli eventi.

considerando che l'insieme omega è anche un sottoinsieme di se stesso (un sottoinsieme improprio visto che trattasi dello medesimo insieme) allora si può certamente affermare che omega è un sottoinsieme della sigma-algebra A (lo spazio degli eventi).
infatti come abbiamo già detto nei post precedenti lo spazio campionario è incluso nello spazio degli eventi, che è la stessa cosa che dire omega è incluso in sigma-algebra, e ugualmente è lo stesso che dire omega è un sottoinsieme di sigma-algebra (sono un po' ridondante, lo so )
sempre degli stessi concetti stiamo parlando, solo che cambiano i nomi

lo spazio degli eventi è un insieme di eventi (ciò che tu indichi con A), e in particolare è l'insieme di tutti gli eventi possibili (gli eventi ricordo che sono insiemi di eventi elementari) che equivale, come ripetuto più volte, all'insieme di tutti i sottoinsiemi di omega (o insieme delle parti di omega), che equivale alla famiglia che tu indichi con A. infatti come puoi leggere qui, quando si parla di un insieme che ha per elementi a sua volta degli insiemi (come ad esempio l'insieme delle parti), invece del cacofonico "insieme di insiemi" si usa "famiglia di insiemi" (o classe o collezione), non necessariamente intendendo nel senso di famiglia indiciata
A e A sono sostanzialmente la stessa cosa, con queste premesse: chiamali come preferisci sempre dello spazio degli eventi stiamo parlando

è effettivamente un po' un casino definire rigorosamente questi concetti, ma l'idea di fondo è molto semplice e intuitiva.
c'è omega/spazio campionario/insieme di tutti gli eventi elementari
c'è sigma-algebra/spazio degli eventi/A/A/insieme di tutti gli eventi/famiglia di tutti i sottoinsiemi di omega/insieme delle parti di omega/insieme di tutti i sottoinsiemi di omega.
stop, tutto qua

ps: in realtà ho semplificato un po' le cose. ad essere rigorosi si dovrebbe parlare di una particolare sigma-algebra costruita a partire da omega, e non sempre lo spazio degli eventi coincide con l'insieme delle parti di omega, nel caso che omega abbia cardinalità infinita. ma direi che a questi "dettagli" per ora si può soprassedere, l'importante è che tu capisca i concetti di base imho

[misterx]

io invece aveo intuito che A e A fossero rispettivamente:
A = insieme di eventi
A = insieme di insiemi di eventi

e cioè Ai contenuti in A

che casino

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

io invece aveo intuito che A e A fossero rispettivamente:
A = insieme di eventi
A = insieme di insiemi di eventi

e cioè Ai contenuti in A

che casino

questo no.
casomai se vuoi puoi definire A come evento qualsiasi e A come famiglia/insieme di eventi.
io in genere un singolo evento generico lo chiamo E

ti ricordo sempre che un evento E (o A, chiamalo come vuoi ) è un insieme, non lo devi considerare un elemento!
solamente gli eventi elementari (che compongono lo spazio campionario) sono da intendersi come elementi singoli e non come insiemi.
gli eventi sono insiemi di eventi elementari, tutti gli eventi.
e A è l'insieme degli eventi, ovvero l'insieme degli insiemi degli eventi elementari. e come ti ho scritto nel post sopra A, che si può anche chiamare famiglia di eventi non è una lista indicizzata o tantomeno ordinata: è un semplice insieme di insiemi.

più schematico di così non lo riesco a scrivere

[misterx]

scusa, ma è QUI che un evento denominato A viene definito insieme e A un insieme(famiglia) di insiemi di A, dove A è sempre un insieme e che può contenere sia un singolo evento che più eventi.

La situazione che ho immaginato io poi, è quella che avevo messo in grafica: se le cose le vedo me le ricordo a vita natural durante


rettifico il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_campionario

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

scusa, ma è QUI che un evento denominato A viene definito insieme e A un insieme(famiglia) di insiemi di A, dove A è sempre un insieme e che può contenere sia un singolo evento che più eventi.

La situazione che ho immaginato io poi, è quella che avevo messo in grafica: se le cose le vedo me le ricordo a vita natural durante

nella pagina che hai linkato non mi pare si definisca A, è definito solo l'evento A, come insieme appunto.
sai forse dove fai confusione? A è un insieme di eventi elementari, ma quegli eventi elementari di omega con "combinazioni" diverse formano altri eventi, inclusi di conseguenza in A.
Ad esempio: omega = {1,2,3,4,5,6}
A = {1,2,4,6}
B = {1,2}
C = {2,4,6}
poichè ogni elemento degli eventi B e C sono inclusi anche nell'evento A, allora si può affermare che A include B e C, e quindi B e C sono sono sottoinsiemi di A. in questo senso A può contenere un singolo evento sia più eventi!

se A = {2}, avendo un unico elemento allora A non può contenere altri eventi, tranne l'evento "vuoto" (con probabilità 0)
se A = {1,2,3,4,5,6} = omega, avendo tutti gli elementi dello spazio campionario, include di conseguenza tutti gli eventi possibili.

Ma non considerare gli eventi come insiemi di insiemi che ti incasini, considerali come semplici insiemi a sè stanti.

l'immagine che avevi postato l'altro giorno dovrebbe essere errata, per il semplice motivo che hai "sdoppiato" gli elementi dello spazio campionario!

un esempio più calzante te l'ho messo in allegato, dove:
A = {1,2,3,4,5}
B = {1,2}
C = {3}
D = {2,4,5}
E = {5,6}

in questo caso si può affermare che l'evento A include gli eventi B, C e D (ma non l'evento E)
si può ugualmente affermare che gli eventi B e D come pure D e E sono compatibili (intersecati non danno un insieme vuoto), mentre B e C, come B e E sono incompatibili


[edit] uff, mi sono accorto ora che nell'immagine avevi definito A e non A! in quel caso allora va bene, essendo A propriamente un insieme di eventi, e non un evento.

[misterx]

Originariamente inviato da Krammer

uff, mi sono accorto ora che nell'immagine avevi definito A e non A! in quel caso allora va bene, essendo A propriamente un insieme di eventi, e non un evento.

però mi hai messo una pulce nell'orecchio....
Tu hai rappresentato la situazione, i vari insiemi A, B, C, ..., intersecando i vari eventi, io non ho fatto così semplicemente perchè avevo pensato che una volta costruito l'insieme A che contiene vari eventi A (nel tuo esempio A,B,C,...) si potesse attraverso e operazioni insiemistiche fare delle operazioni tra eventi e, sse da tali operazioni ne deriva un insieme che sta in A allora è una sigma-algebra in quanto A sarebbe per definizione chiuso rispetto alle operazioni di unione e complementazione



p.s.
che disastro che sono

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

rettifico il link: http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_campionario

ho seguito proprio le convenzioni di quella pagina nei miei ultimi post, visto che mi pare di capire che ti basi spesso sulla wiki per le tue considerazioni

e non c'è scritto che "A è un insieme(famiglia) di insiemi di A" come hai scritto.
se fai attenzione c'è scritto invece che A è una famiglia di eventi di omega, dove A è un evento qualsiasi: quindi A è una famiglia (insieme) di eventi, e gli eventi sono sottoinsiemi (degli elementi) di omega.

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

però mi hai messo una pulce nell'orecchio....
Tu hai rappresentato la situazione, i vari insiemi A, B, C, ..., intersecando i vari eventi, io non ho fatto così semplicemente perchè avevo pensato che una volta costruito l'insieme A che contiene vari eventi A (nel tuo esempio A,B,C,...) si potesse attraverso e operazioni insiemistiche fare delle operazioni tra eventi e, sse da tali operazioni ne deriva un insieme che sta in A allora è una sigma-algebra in quanto A sarebbe per definizione chiuso rispetto alle operazioni di unione e complementazione

dimmi una cosa ma lavori all'ufficio complicazione cose semplici?
normalmente quando devi risolvere degli esercizi di calcolo delle probabilità si lavora sullo spazio campionario omega e sui vari insiemi (eventi) contenuti in esso. gli eventi adeguati te li scegli te in base a cosa richiede l'esercizio.
non ha senso mettersi a costruire ogni volta tutto lo spazio degli eventi (la sigma-algebra), ad occhio mi pare una cosa completamente inutile, salvo forse rari casi che ora nemmeno mi vengono in mente.
anche perchè costruire una sigma-algebra con tutti i possibili eventi è un bell'elenco di roba eh con omega di cardinalità elevata ti vengono un botto di combinazioni e possibili eventi!
e poi cmq se hai un omega con cardinalità finita la sigma-algebra è sempre immediatamente definibile, basta imporla molto semplicemente uguale all'insieme delle parti di omega (ovvero tutte le possibili combinazioni); mentre se omega ha cardinalità infinita e di conseguenza si corre il rischio di dover escludere determinati eventi non ammissibili, allora rappresentare graficamente la sigma-algebra diventa proprio impossibile, in quanto ha infiniti eventi all'interno

[misterx]

Originariamente inviato da Krammer

dimmi una cosa ma lavori all'ufficio complicazione cose semplici?

infatti

[misterx]

Originariamente inviato da Krammer

per sigma algebra, riferito alle probabilità, si intende lo spazio degli eventi: ovvero l'insieme di tutti i sottoinsiemi dello spazio campionario (omega), ovvero l'insieme di tutti gli eventi.

quello che ho messo in grassetto è ancora il solito A usato anche nel tuo disegno e cioè, repetita iuvant, l'insieme degli insiemi degli eventi ?


ci scommetto che alle superiori hai fatto lo scientifico

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

quello che ho messo in grassetto è ancora il solito A usato anche nel tuo disegno e cioè, repetita iuvant, l'insieme degli insiemi degli eventi ?

deve esserci qualche problema di comunicazione tra di noi

si quello che hai messo in grassetto è A, ma A è l'insieme degli eventi, non l'insieme degli insiemi degli eventi! l'avrò scritto e riscritto almeno 10 volte
oppure se vuoi puoi dire che A è l'insieme dei sottoinsiemi di omega, perchè i sottoinsiemi di omega sono appunto gli eventi, come dicevo sulla parte che hai quotato!

e nel mio disegno NON ho usato lo spazio degli eventi A, bensi un A evento generico, come sono parimodo B, C, D e E nel mio esempio: tutti semplici eventi, non insiemi di eventi!

ci scommetto che alle superiori hai fatto lo scientifico

yes

[misterx]

Originariamente inviato da Krammer

e nel mio disegno NON ho usato lo spazio degli eventi A, bensi un A evento generico, come sono parimodo B, C, D e E nel mio esempio: tutti semplici eventi, non insiemi di eventi!


yes

allora avevo visto male

[Krammer]

Originariamente inviato da misterx

allora avevo visto male

e omega è il rettangolo grande che contiene tutti gli eventi

[misterx]

dammi pure dell'imbranato ma a me quella famiglia di sottoinsieme crea ancora dei problemi

dire che A è una famiglia di eventi sottoinsiemi di omega e poi dire che A è una sigma-algebra se contiene omega, fa apparire omega come se fosse un sottoinsieme di A


no ho mai fatto insiemistica e riconosco che è un grosso limite