Ricerca scientifica con il calcolo distribuito

[Lucrezio]

C'è voluto un po' di tempo ma ho mantenuto la mia promessa

[T3d]

Originariamente inviato da Lucrezio

...

sarebbe questo il famigerato messaggio specifico?

non ho capito un paio di crocette sopra le variabili, sono morte?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da T3d

sarebbe questo il famigerato messaggio specifico?

non ho capito un paio di crocette sopra le variabili, sono morte?

Ho usato il dagger al posto dell'asterisco per dire complesso coniugato... il latex su forum ha qualche problema tecnico con queste cose...

[Tommy81]

Originariamente inviato da Lucrezio

C'è voluto un po' di tempo ma ho mantenuto la mia promessa

Ma hai finito di far frullare il pc con Gaussian? che molecole hai testato?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Tommy81

Ma hai finito di far frullare il pc con Gaussian? che molecole hai testato?

Ci ho fatto la tesina con gaussian, ho fatto girare un b3lyp su un cluster di 10 molecole di pentacene simulando un intorno anisotropo con pcm
Altro che benchmark
Ci ha messo 12 ore

[Tommy81]

Originariamente inviato da Lucrezio

Ci ho fatto la tesina con gaussian, ho fatto girare un b3lyp su un cluster di 10 molecole di pentacene simulando un intorno anisotropo con pcm
Altro che benchmark
Ci ha messo 12 ore

Ma il modello pcm è implementato su Gaussian, perchè io non ho mai fatto calcoli con il pcm ma con il scrf (Self Consistent Reaction Field o modello di Onsager, meno sofisticato del tuo ) e ho sempre usato Gamess. Cmq non ci hai messo neanche tanto come tempo, diciamo il giusto. Certo qualche risultato potevi pure farcelo vedere , che solvente hai utilizzato?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da Tommy81

Ma il modello pcm è implementato su Gaussian, perchè io non ho mai fatto calcoli con il pcm ma con il scrf (Self Consistent Reaction Field o modello di Onsager, meno sofisticato del tuo ) e ho sempre usato Gamess. Cmq non ci hai messo neanche tanto come tempo, diciamo il giusto. Certo qualche risultato potevi pure farcelo vedere , che solvente hai utilizzato?

Self made, perché doveva simulare un reticolo cristallino.
Abbiamo impostato l'eptano per via delle caratteristiche chimico - fisiche, poi abbiamo cambiato il tensore di inerzia.
Comunque PCM è implementato in Gaussian dalla versione G03, inoltre l'implementazione (e il modello) sono stati fatti in gran parte dalla mia relatrice, quindi mi aspettavo che me lo facesse usare
Ah, i calcoli erano su una macchina biprocessore con 4 giga di ram e dischi scsi in raid... quindi 12 ore sono effettivamente tantine

[Tommy81]

Originariamente inviato da Lucrezio

Self made, perché doveva simulare un reticolo cristallino.
Abbiamo impostato l'eptano per via delle caratteristiche chimico - fisiche, poi abbiamo cambiato il tensore di inerzia.
Comunque PCM è implementato in Gaussian dalla versione G03, inoltre l'implementazione (e il modello) sono stati fatti in gran parte dalla mia relatrice, quindi mi aspettavo che me lo facesse usare
Ah, i calcoli erano su una macchina biprocessore con 4 giga di ram e dischi scsi in raid... quindi 12 ore sono effettivamente tantine

Capito... interessante! Ma ha scopi pratici questo studio o era puramente teorico? Vedo cmq che sei un esperto in materia , se ho qualche intoppo "computazionale" ora so chi tartassare . Certo 12 ore per quella macchina non sono poi pochine, io pensavo che lo avessi fatto girare su un computer + "casalingo"

[7D9]

Ciao a tutti. Scusate l'intromissione...
Io faccio elaborare il mio pc su QMC ormai da parecchio tempo e sono convinto della sua utilità, perlomeno dal punto di vista della ricerca di base.
Volevo chiedere a voi esperti se i risultati ottenuti da QMC vengono in qualche modo utilizzati da qualcuno in qualche ricerca o cosa simile.
Cioè... mi piacerebbe capire in che modo i calcoli che esegue il mio computer diventano poi utili all'atto pratico.

[Lucrezio]

Originariamente inviato da 7D9

Ciao a tutti. Scusate l'intromissione...
Io faccio elaborare il mio pc su QMC ormai da parecchio tempo e sono convinto della sua utilità, perlomeno dal punto di vista della ricerca di base.
Volevo chiedere a voi esperti se i risultati ottenuti da QMC vengono in qualche modo utilizzati da qualcuno in qualche ricerca o cosa simile.
Cioè... mi piacerebbe capire in che modo i calcoli che esegue il mio computer diventano poi utili all'atto pratico.

Per ora non credo, ma il progetto è di fare in modo che il qmc diventi davvero utile!
Ora come ora ha dei problemi piuttosto gravi: la funzione d'onda che si ottiene deve essere sottoposta a dei vincoli esterni per essere fisicamente accettabile, il che impone dei limiti all'accuratezza... inoltre non si fanno ancora le derivate dell'energia analiticamente.
D'altra parte il metodo scala molto bene con le dimensioni del sistema e rappresenta una grande speranza!
Qmc@home fornisce dati per poter investigare meglio sulle caratteristiche del metodo stesso... ovvero: ricerca pura

[7D9]

Interessante..
Questi problemi di cui parli sono risolvibili o sono proprio teoricamente impossibili da inserire nel metodo?

[Lucrezio]

Originariamente inviato da 7D9

Interessante..
Questi problemi di cui parli sono risolvibili o sono proprio teoricamente impossibili da inserire nel metodo?

Non me ne intendo abbastanza per risponderti, l'idea è che non si è ancora riusciti a far produrre a qmc una funzione d'onda antisimmetrica se non imponendo dei vincoli (ovvero i nodi della funzione)... e questo provoca dei casini.
Spero di affrontare un po' meglio questo argomento l'anno prossimo

[iuccio]

Stando ai dati riportati dal noto sito di statistiche BOINCStats, BOINC ha raggiunto e superato la soglia del PetaFLOP di potenza elaborativa.
Nella giornata di ieri, 30 gennaio, sono stati assegnati in totale ben 106 millioni di crediti, equivanenti a 1.06 PetaFLOP/sec. Dalla news sulla homepage del progetto BOINC arrivano i complimenti a tutti i progetti ed a tutti i partecipanti per il traguardo raggiunto.

Il "flop" in informatica è l'unità di misura della capacità di calcolo, ed quivale ad un'operazione in virgola mobile (in inglese Floating Point). Tali opearazioni, abbastanza complesse, sono usate in tutte le simulazioni scientifiche. "Peta" è un prefisso che significa 10^15, cioè 1.000.000.000.000.000. Quindi un computer da un petaflop al secondo può effettuare 1.000.000.000.000.000 operazioni in virgola mobile al secondo. O, per renderla semplice, 1 petaflop = un milione di miliardi di istruzioni/calcoli al secondo.
E' un traguardo notevole ed impressionante, se confrontato con quello del più potente supercomputer attualmente in funzione, l'IBM Blue Gene/L che ha una potenza di 478 TeraFLOP al secondo (circa mezzo PetaFlop), e soprattutto se si pensa che tutta quella potenza è offerta da normali PC di volontari sparsi su tutta la terra. La rete di computer creata da BOINC permette ai ricercatori di usufruire di una grande potenza di calcolo a costo praticamente nullo e poter investire soldi nella ricerca piuttosto che nell'acquisto e nel mantenimento si un supercomputer a prezzi proibitivi (che praticamente nessuno potrebbe permettersi!).

La potenza totale dedicata ai progetti BOINC, come si può vedere sempre da BOINCStats è in costante crescita, e attualmente la media è di circa 900milioni di crediti al giorno (0,9 PetaFLOP).
Giusto per curiosità: la potenza attuale del nostro team, BOINC.Italy, è circa lo 0,25% del totale della potenza BOINC. Praticamente servirebbero (solo) 400 BOINC.Italy per fare tutto quello che viene fatto attualmente nel mondo!

(autore: Ghz fonte: www.boincitaly.org)

[Lucrezio]

Ah, preparatevi perché quest'anno faccio QMC in un corso quindi... post pieno di formule in arrivo

[Lucrezio]

In arrivo un post di spiegazione sul Quantum Montecarlo!


E' una cosa molto più semplice di quanto si possa immaginare
Se riesco posto anche un programmino in fortran per calcolare l'energia dell'atomo di elio commentandolo, in modo da chiarire bene il funzionamento della tecnica.
E' uno dei primissimo programmi che scrivo, quindi i programmatori esperti sono pregati di non sbranarmi e - possibilmente - di darmi qualche buon suggerimento

[Lorekon]

se a qualcuno interessa ci sonbo un pò di calcoletti da fare qua
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1838179

thanks

[killercode]

Originariamente inviato da Lorekon

se a qualcuno interessa ci sonbo un pò di calcoletti da fare qua
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1838179

thanks

In università da voi non c'è un elaboratore per queste cose?
Tipo questo da noi http://www.fis.unipr.it/dokuwiki/dok...ervizi:calcolo

[Lorekon]

si ma è troppo complicato accedere, bisognerebbe fare dei passaggi burocratici, dovrei installare del software, troppe spiegazioni da dare, sarebbe troppo complicato.

mi pareva la via più breve

[Lucrezio]

Quantum Montecarlo

Introduzione
Il metodo "Quantum Montecarlo" e' uno dei metodi piu' recenti della chimica teorica e prevede un approccio completamente differente da quello "classico".
Uno dei grandi problemi della chimica teorica e' sempre stato associato alla difficolta' di fare velocemente integrali in molte dimensioni. La funzione d'onda elettronica di un sistema come una molecola, dotata di n elettroni, e' un oggetto che dipende dalle coordinate di ognuno di essi: gia' per un atomo piccolo come il Berillio (4 elettroni) ci si trova a dover lavorare con una funzione di 12 variabili!
Calcolare l'energia di un simile sistema richiederebbe, in linea di principio, di calcolare un integrale di questo genere:

dove con

si intende l'Hamiltoniano elettronico (in unita' atomiche), in questo caso particolare dell'atomo di berillio.
Supponendo di voler applicare il principio variazionale e di proporre una certa forma della funzione d'onda dipendente da alcuni parametri, per ottenere la miglior stima dell'energia bisognerebbe calcolare l'energia e minimizzarla rispetto ai parametri stessi, ripetendo l'integrale riportato un numero considerevole di volte.
Il modo "classico" per calcolare un integrale del genere (non si fa a mano, purtroppo difficilmente e' mai analitico!) consiste nel fissare una certa griglia di punti e quindi stimare l'integrale con la regola dei trapezi, o di Cavalieri - Simpson o altre forme di quadratura.
Per un integrale di questo calibro (12 dimensioni), supponendo di prendere anche solo 10 punti per dimensione si dovrebbero fare 10^12 valutazioni di funzione (mille miliardi!!!), impresa laboriosa anche per un calcolatore piuttosto potente... e parliamo di un solo atomo con solo quattro elettroni!!!
Se si considera poi che i primi calcoli di chimica teorica sono stati effettuati piu' di 50 anni fa... beh, non c'e' bisogno di dire che tale strada e' del tutto impercorribile!

L'approccio tradizionale a questo problema introduce la cosiddetta approssimazione orbitalica: le funzioni d'onda variazionali vengono scritte come prodotto di funzioni ognuna delle quali dipende dalle coordinate di un solo elettrone (questa funzione viene detta "orbitale", per chi vuole avventurarsi in qualcosa di un po' "tecnico" il terzo post di questo thread contiene un esempio di tecnica variazionale basata sugli orbitali). Si puo' dimostrare che questo comporta il calcolo di integrali al piu' in sei variabili; una scelta opportuna delle funzioni di base (gli orbitali, appunto!) permette di ridurre la dimensionalita' degli integrali fino a 2.
Questa strategia - e' tutt'ora in assoluto la piu' utilizzata! - presenta alcuni vantaggi notevoli:

• Permette di ricondurre la soluzione di un'equazione differenziale alla soluzione di un sistema di equazioni lineari
• Comporta il calcolo di integrali "facili"
• E' esatta per elettroni non interagenti (il cosiddetto gas ideale di fermi)
• Si presta con grande facilita' ad interpretazioni intuitive

Per chiarire il punto dolente di questa approssimazione e' necessario scendere un po' piu' nel dettaglio della struttura elettronica.

Gli elettroni di un atomo o di una molecola, infatti, si muovono in modo non indipendente fra di loro. Banalizzando un po' il discorso la correlazione elettronica e' conseguenza di due caratteristiche fisiche degli elettroni: sono fermioni (particelle dotate di spin semintero) indistinguibili e sono carichi.
E' possibile dimostrare che l'indistinguibilita' degli elettroni (non e' possibile pensare ad un esperimento che permetta di "etichettare" gli elettroni di una molecola, in modo da sapere qual e' il primo, qual e' il secondo e cosi' via) si riflette sulla funzione d'onda che li descrive tramite una proprieta' di simmetria: scambiando le coordinate di due elettroni essa deve cambiare segno e quindi essere antisimmetrica per permutazioni dispari (per i bosoni, invece, essa rimarrebbe invariata). La dimostrazione di questo teorema (cosiddetto Teorema Spin-Statistica) richiede di entrare nell'ambito della teoria dei campi; l'antisimmetria della funzione d'onda viene quindi solitamente presa come un postulato (principio di esclusione di Pauli) in chimica quantistica.
Una conseguenza di questo teorema e' che elettroni con spin parallelo tendono ad evitarsi fra di loro: in questo modo possono avvicinarsi di piu' al nucleo carico positivamente e dunque si ha un guadagno di energia (detto barbaramente: se uno sta da una parte e uno dall'altra si danno meno "fastidio" fra di loro che se stanno dalla stessa parte, dunque possono avvicinarsi di piu' al nucleo!). Questo contributo - favorevole - all'energia viene detto energia di scambio, ed e' relativamente facile da calcolare anche nell'ambito dell'approssimazione orbitalica in quanto e' una conseguenza dello spin che viene imposta semplicemente scegliendo funzioni d'onda antisimmetriche.
Il vero "busillis" della chimica quantistica e' rappresentato dal contributo all'energia dovuto alla correlazione istantanea fra i oti degli elettroni. Fisicamente quello che avviene e' che gli elettroni, essendo carichi, tendono ad evitarsi a prescindere dal loro stato di spin proprio grazie alla repulsione elettrostatica. Questo fenomeno non puo' essere descritto bene in termine di un modello a particelle indipendenti (come il modello orbitalico: ogni orbitale, infatti, dipende solo dalle coordinate di un elettrone!), in quanto e' proprio la fisica che gli sta dietro a gridare che si tratta di un contributo che dipende dalla posizione reciproca delle particelle e non da quella assoluta!
Di conseguenza, per riuscire a calcolare l'energia di correlazione, e' necessario ricorrere a tecniche piuttosto complicate.
Se, infatti, si scrive la funzione d'onda come un signolo prodotto antisimmetrizzato (detto anche singolo determinante, in quanto il modo piu' semplice di scrivere tale prodotto e' di vederlo come un determinante di Slater) non si puo' avere energia di correlazione, dato che gli elettroni sono trattati l'uno indipendentemente dall'altro.
La chimica teorica classica utilizza un teorema di completezza che afferma che i determinanti di slater formano una base completa di un certo spazio di funzioni al quale deve appartenere la funzione d'onda esatta: dunque questa sara' esprimibile come una combinazione lineare di determinanti (metodo Full-CI).
Detta in poche parole, due determinanti saranno meglio di uno, tre meglio di due e cosi' via. L'idea e' sicuramente buona, ma e' praticamente impercorribile: infatti il numero di determinanti che si possono costruire a partire da N funzioni di base scala piu' o meno come il fattoriale di N: gia' sistemi piccoli come l'acqua sono alla portata solo di computer estremamente potenti.
E' quindi necessario troncare questa espansione ed utilizzare un numero ridotto di funzioni, oppure adottare altre tecniche (come la teoria delle perturbazioni).
In tutti i casi si ottengono dei metodi che scalano male e che sono di difficile applicazione a sistemi dell'estensione di una molecola di importanza biologica, pur fornendo dei risultati eccezionali sui sistemi dove sono applicabili - mi occupo, per la tesi, proprio di uno di questi metodi (Coupled-Cluster), posso garantire che e' uno spettacolo, ma per fare dei conti su un sistema con un centinaio d'atomi ci vuole un supercomputer!




Una strategia diversa per calcolare gli integrali
L'idea che sta alla base del metodo montecarlo e' piuttosto semplice. Si supponga di voler calcolare il valore di pigreco: se si considera una circonferenza di raggio unitario, pigreco sara' proprio l'aera della circonferenza stessa. Si inscriva tale circonferenza in un quadrato: esso avra' area pari a 4.
Dunque il rapporto fra le aree sara' pigreco/4
Si supponga di lanciare delle freccette dentro al quadrato in modo che ogni punto abbia la stessa probabilita' di essere raggiunto: il numero di frecce all'interno del cerchio diviso il totale delle frecce dovrebbe tendere a pigreco quarti, se le frecce lanciate sono molte!
E' possibile fare un test con il seguente programmino (scrivo in fortran 77, scusate ma e' l'unico linguaggio che conosco :strodita: ):

      program pigreco
      implicit real*8 (a-h,o-z)
      parameter (Nmax=100000000,nseed=12345)

      n=0
      call srand(nseed)
      do j=1,Nmax
         x=2*(0.5d0-rand())
         y=2*(0.5d0-rand())
         r=x**2+y**2
         if (r.le.1) then
            n=n+1
         endif
      enddo
      pigr=4.d0*n/Nmax
      write(6,*) pigr
      end

Variando il parametro Nmax (numero delle frecce) si ottengono questi risultati:
Nmax=1.000 ----> pigr=3.148000
Nmax=1.0000 ----> pigr=3.115600
Nmax=1.00000 ----> pigr=3.133360
Nmax=1000.000 ----> pigr=3.141240
Nmax=10.000.000 ----> pigr=3.141419
Nmax=100.000.000 ----> pigr=3.141656
Come si vede, andando ad aumentare il numero di "frecce", il risultato migliora.

A garanzia di quanto ottenuto c'e' un teorema di analisi matematica, il teorema del limite centrale. A partire dallo stesso (se ci fosse qualche matematico di buona volonta' disposto a farlo sarebbe molto apprezzato ) e' possibile dimostrare che i risultati ottenuti con il metodo montecarlo convergono, inoltre si puo' stimarne l'errore in quanto la varianza va come 1/N.
In un modo un po' piu' formale si puo' dire che, andando a generare dei punti distribuiti in maniera uniforme, si va a campionare l'area del quadrato in modo tanto migliore quanto piu' sono i punti generati: dunque, disponendo di un generatore di numeri casuali come rand() del fortran (che genera numeri distribuiti in modo uniforme fra 0 e 1) e' possibile calcolare pigreco in modo approssimato.


Lo stesso metodo puo' essere utilizzato per integrare una funzione. Si supponga ad esempio di voler calcolare l'integrale

La "ricetta" del metodo montecarlo prescrive di procurarsi una distribuzione uniforme definita sull'intervallo [a,b] (usero' la lettera greca "mu" per le distribuzioni), che deve essere non negativa e normalizzata ad uno:

A questo punto e' possibile scrivere:

dove i punti x_i sono distribuiti secondo mu.
D'altra parte mu e' la distribuzione uniforme, ovvero quella che afferma che tutti i punti appartenenti all'intervallo [a,b] hanno la stessa probabilita' di essere campionati: una buona funzione di distribuzione potrebbe essere la funzione caratteristica di [a,b]:

Tale funzione, pero', non e' normalizzata:
dunque va divisa per (b-a). In sintesi l'integrale sara':

con x_i distribuiti in modo uniforme.
Si puo' andare a calcolare la varianza come

Vediamo cosa succede:

      subroutine mc(func,n,ss,err)
      implicit real*8 (a-h,o-z)
      dimension x(n)
      external func
      parameter (L=1d0)
      parameter (NITMAX=1000000)
C***Inizializzazione
      fmedia=0.d0
      f2media=0.d0
      call srand(1832)
      do j=1,nitmax
         do i=1,n
            x(i)=2*L*(rand()-0.5)
         enddo
         f=func(x,n)
         fmedia=fmedia+f
         f2media=fmedia+f**2
      enddo
      ss=fmedia/NITMAX
      err=sqrt(dabs(f2media/NITMAX-ss**2)/NITMAX)
      ss=ss*(2*L)**n
      return
      end

Questa routine integra una funzione func (di n variabili: come e' facile vedere questo non porta alcuna complicazione!) fra -L ed L (eventualmente nell'ipercubo di lato 2L centrato nell'origine, se le dimensioni sono piu' di una!).
Prendendo come funzione f(x) = x^2 (l'integrale fa 2/3):
Nmax=1.0000 ----> I=0.6668659, err=5E-3
Nmax=1.00000 ----> I=0.6662768, err=1E-3
Nmax=1000.000 ----> I=0.6669116, err=5E-4
Nmax=10.000.000 ----> I=0.6664661, err=1E-4
Nmax=100.000.000 ----> I=0.6666737, err=5E-5
Come si vede l'integrale converge, anche se lentamente.

Il metodo, tuttavia, e' poco efficiente, in quanto si vanno a campionare allo stesso modo regioni dove la funzione e' grande e contribuisce molto all'integrale e regioni dove la funzione e' piccola e contribuisce poco. E' di Metropolis l'idea di rimediare a questo difetto scegliendo una funzione di distribuzione non piu' uniforme, ma che concentri il campionamento nelle regioni importanti!
L'idea e' sempre la stessa:

Il problema e', a questo punto, come fare a generare una successione di punti distribuiti secondo la distribuzione mu.
Metropolis risolse il problema proponendo il seguente algoritmo (detto appunto algoritmo di metropolis):

1. Si calcolano la funzione e la distribuzione in un punto i
2. Ci si muove in modo casuale da punto i al punto i+1
3. Si accetta il movimento solo se soddisfa il test di metropolis, altrimenti si rimane nel punto vecchio
4. Ad ogni step si aggiornano le somme e si procede come nel montecarlo primitivo

Il test di metropolis e' molto semplice. Si calcola la funzione di distribuzione nel punto nuovo: se

si accetta il movimento, altrimenti si estrae un numero casuale fra zero ed uno (distribuito uniformemente, come quelli che restituisce il generatore rand() di fortran per intendersi!) e si confronta con il rapporto: se il rapporto e' piu' grande del numero estratto si accetta il movimento, altrimenti lo si respinge.
Dunque, in sistesi, la probabilita' di accettazione e'

Il codice e' autoesplicativo:

      subroutine metropolis(func,dis,n,ss,err,acc)
      implicit real*8 (a-h,o-z)
      parameter (delta=1.d0, L=2.d0, NITMAX=1000000)
      parameter (pigr=3.1415d0)
      dimension xnew(n), xold(n)
      external func, distr
      fmedia=0.d0
      f2media=0.d0
      nacc=0
      call srand(183)
      do j=1,n
         xold(j)=2*L*(0.5-rand())
      enddo
      fold=func(xnew,n)
      disold=dis(xold,n)
      do i=1,NITMAX
         do j=1,n
            xnew(j)=xold(j)+(rand()-0.5d0)*delta
            if (xnew(j).lt.-L) xnew(j)=xnew(j)+2*L
            if (xnew(j).gt.L) xnew(j)=xnew(j)-2*L
         enddo
         disnew=dis(xnew,n)
         test=disnew/disold
         if ((test.ge.1.d0).or.(test.gt.rand())) then
            fold=func(xnew,n)
            disold=disnew
            nacc=nacc+1
            do j=1,n
               xold(j)=xnew(j)
            enddo
         endif
         fmedia=fmedia+fold
         f2media=f2media+fold**2
      enddo
      ss=fmedia/NITMAX
      var=f2media/NITMAX-ss**2
      err=sqrt(var/NITMAX)
      acc=nacc*100.d0/NITMAX
      return
      end

La routine integra fra -L e L una funzione func (quella che prima ho chiamato h(x)!) rispetto ad una distribuzione dis(x), entrambe di n variabili, e restituisce il valore dell'integrale, la deviazione standard e il numero di mosse accettate.
Il montecarlo primitivo non e' altro, quindi, che un caso particolare del montecarlo metropolis!

In particolare, il metodo di metropolis si adatta perfettamente al problema della chimica teorica. Si supponga di voler calcolare in modo variazionale l'energia: Se si parametrizza con un insieme di parametri p la funzione d'onda, si dovra' minimizzare il funzionale

dove ho supposto che la funzione d'onda fosse normalizzata ad uno.
Moltiplicando sopra e sotto per la funzione d'onda:

dove
viene definita ''energia locale''.
A questo punto, essendo il modulo quadrato della funzione d'onda una buona funzione di distribuzione, il gioco e' fatto e si puo' procedere all'integrazione, minimizzando il funzionale con le tecniche usuali!

[Lucrezio]

Questa e' un'idea di come funziona un Variational-Montecarlo.
Ho cercato di evitare i dettagli e di dare solo qualche idea, spero che si capisca!
Appena ho un po' di tempo posto qualche risultato per elio, litio e berillio (che sono i sistemi che ho provato a trattare)!
Suggerimenti e contestazioni sono benvenuti!