Quaternioni, ottonioni e sedenioni in ingegneria.

[MaxArt]

Si tratta di estensioni del campo dei numeri complessi C.

I quaternioni sono un corpo (cioè un campo non commutativo) che si indica con H (da Hamilton, lo scopritore). I suoi elementi si possono scrivere nella forma a + ib + jc + kd, dove a, b, c, d sono reali e i, j, k sono unità immaginarie per le quali i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Ogni quaternione q si può scrivere come quaterna (a, b, c, d) o anche nella coppia scalare/vettore (a, v), dove v = (b, c, d). L'addizione è puntuale, mentre la moltiplicazione interna (detta anche di Grassmann) è data dalle regole su menzionate, e risulta

(a, v)*(b, w) = (ab - v.w, aw + bv + vxw),

dove con il punto ho indicato il prodotto scalare euclideo e con x il prodotto vettoriale. A causa proprio del prodotto vettoriale, il prodotto tra quaternioni non è commutativo.
Ogni quaternione q = (a, v) ha il suo coniugato q* = (a, -v), la sua norma |q|^2 = qq* ed il suo inverso q^(-1) = q*/|q|^2.

I quaternioni sono spesso usati per le rotazioni nello spazio tridimensionale. Ogni rotazione di SO(3) può essere rappresentata da una coppia scalare/vettore (t, d) dove il vettore (versore) indica la direzione dell'asse di rotazione e lo scalare è l'angolo di rotazione. A tale rotazione si associa il quaternione q = (cos t/2, d sin t/2) ed al punto generico p il quaternione p' = (0, p). Per ottenere il punto p ruotato dell'angolo t intorno all'asse d si calcola semplicemente qp'q*. Si noti che q è un quaternione di norma unitaria.

I quaternioni sono molto usati in ambito ingegneristico per le rotazioni, soprattutto in computer grafica ed in robotica.

Gli ottonioni, od ottetti, sono un'estensione a 8 dimensioni dei numeri complessi. Scoperti da Cayley (da cui il simbolo Ca, meno usato però di O), hanno una unità reale e 7 immaginare, con regole di calcolo che non sto a descrivere (vale sempre che un'unità immaginaria al quadrato dà -1). Rispetto ai quaternioni, gli ottetti perdono anche l'associatività.
Gli ottetti sono usati in fisica per la descrizione di spazi ad 8 dimensioni.

I sedenioni sono un'ulteriore estensione dei complessi, a 16 dimensioni. Questa volta non si tratta nemmeno di un dominio di integrità.

Quello che volevo chiedervi è se conoscete altri usi in ambito soprattutto ingegneristico di queste algebre. Il mio professore di Robotica mi ha chiesto se potevo se potevo preparare una relazione riguardo al loro uso in ingegneria, ma oltre all'applicazione dei quaternioni in coordinate omogenee tramite la rappresentazione matriciale non so che dirgli...

[lowenz]

Ci sono anche i bestemmioni?























OK, torno nel mio angolino

[pietro84]

Originariamente inviato da MaxArt

Si tratta di estensioni del campo dei numeri complessi C.

I quaternioni sono un corpo (cioè un campo non commutativo) che si indica con H (da Hamilton, lo scopritore). I suoi elementi si possono scrivere nella forma a + ib + jc + kd, dove a, b, c, d sono reali e i, j, k sono unità immaginarie per le quali i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1. Ogni quaternione q si può scrivere come quaterna (a, b, c, d) o anche nella coppia scalare/vettore (a, v), dove v = (b, c, d). L'addizione è puntuale, mentre la moltiplicazione interna (detta anche di Grassmann) è data dalle regole su menzionate, e risulta

(a, v)*(b, w) = (ab - v.w, aw + bv + vxw),

dove con il punto ho indicato il prodotto scalare euclideo e con x il prodotto vettoriale. A causa proprio del prodotto vettoriale, il prodotto tra quaternioni non è commutativo.
Ogni quaternione q = (a, v) ha il suo coniugato q* = (a, -v), la sua norma |q|^2 = qq* ed il suo inverso q^(-1) = q*/|q|^2.

I quaternioni sono spesso usati per le rotazioni nello spazio tridimensionale. Ogni rotazione di SO(3) può essere rappresentata da una coppia scalare/vettore (t, d) dove il vettore (versore) indica la direzione dell'asse di rotazione e lo scalare è l'angolo di rotazione. A tale rotazione si associa il quaternione q = (cos t/2, d sin t/2) ed al punto generico p il quaternione p' = (0, p). Per ottenere il punto p ruotato dell'angolo t intorno all'asse d si calcola semplicemente qp'q*. Si noti che q è un quaternione di norma unitaria.

I quaternioni sono molto usati in ambito ingegneristico per le rotazioni, soprattutto in computer grafica ed in robotica.

Gli ottonioni, od ottetti, sono un'estensione a 8 dimensioni dei numeri complessi. Scoperti da Cayley (da cui il simbolo Ca, meno usato però di O), hanno una unità reale e 7 immaginare, con regole di calcolo che non sto a descrivere (vale sempre che un'unità immaginaria al quadrato dà -1). Rispetto ai quaternioni, gli ottetti perdono anche l'associatività.
Gli ottetti sono usati in fisica per la descrizione di spazi ad 8 dimensioni.

I sedenioni sono un'ulteriore estensione dei complessi, a 16 dimensioni. Questa volta non si tratta nemmeno di un dominio di integrità.

Quello che volevo chiedervi è se conoscete altri usi in ambito soprattutto ingegneristico di queste algebre. Il mio professore di Robotica mi ha chiesto se potevo se potevo preparare una relazione riguardo al loro uso in ingegneria, ma oltre all'applicazione dei quaternioni in coordinate omogenee tramite la rappresentazione matriciale non so che dirgli...

che io sappia si usano in computer graphics, in robotica(naturalmente), e in alcuni problemi di controllo automatico,per esempio controllo di posizione e orientamento di satelliti,capsule spaziali e sistemi simili...
prova a cercare nell'ambito di questi due ulteriori campi

[fsdfdsddijsdfsdfo]

a me ha sempre affascinato il fatto che ad ogni estensione del dominio corrispondesse la perdità di qualche proprietà....

e questo vale passando dall'insieme vuoto ad N, da N a Q e cosi via...

Mi iscrivo a qeusta discussione!

[MaxArt]

Originariamente inviato da dijo

a me ha sempre affascinato il fatto che ad ogni estensione del dominio corrispondesse la perdità di qualche proprietà....

e questo vale passando dall'insieme vuoto ad N, da N a Q e cosi via...

Ma perché, che proprietà perdi da N a Q? Perdi il fatto che sia non-denso?

[Beppe82]

giochi/simulazioni di auto credo

per la gestione di forse, reazioni, posizionamento e trikkebalakke

[D.O.S.]

ottonioni e sedenioni mai usati in vita mia .
quaternioni invece si , sono il pane quotidiano in robotica.

perché non ti colleghi alla biblioteca dell'IEEE e fai una ricerca estesa in letteratura ?
http://ieeexplore.ieee.org/
però devi essere loggato per vedere i risultati, quindi ti consiglio di andare in biblioteca di facoltà e chiedere se hanno l'accesso .

[bjt2]

Mai sentiti i quaternioni... Per le trasformazioni affini nello spazio 3D uso sempre matrici 4x4, con la quarta coordinata a 1 (si vedano per esempio le pipeline grafiche come OpenGL e DirectX)...

[pietro84]

Il mio professore di Robotica mi ha chiesto se potevo se potevo preparare una relazione riguardo al loro uso in ingegneria, ma oltre all'applicazione dei quaternioni in coordinate omogenee tramite la rappresentazione matriciale non so che dirgli...

strutturerei così la relazione:

1. Introduzione e definizione formale dei quaternioni
2. Rappresentazione dell'orientamento di un corpo rigido nello spazio alternative ai quaternioni ( matrici di rotazione, angoli di Eulero, rappresentazione Asse/Angolo)
3. Problemi di singolarità cinematica delle rappresentazioni elencate il precedenza.
4. Uso dei quaternioni per risolvere il problema della singolarità cinematica
5.Uso dei quaternioni in robotica , in grafica , nei controlli automatici e in fisica (dopo una ricerca su internet).

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da bjt2

Mai sentiti i quaternioni... Per le trasformazioni affini nello spazio 3D uso sempre matrici 4x4, con la quarta coordinata a 1 (si vedano per esempio le pipeline grafiche come OpenGL e DirectX)...

non credo che cosi tu ottenga un campo.

[Gargoyle]

L'uso di quaternioni come coordinate per descrivere le rotazioni è prassi consolidata (il programma di dinamica molecolare MolDy li usa, ad esempio) ma ricordo di avere letto che potrebbe essere non corretta.
In particolare, scrivere equazioni del moto per un set di coordinate come i quaternioni che non sono tra loro indipendenti penso non sia giusto.
http://www.chim.unifi.it/~neto/BasiT03.pdf
http://www.chim.unifi.it/~neto/BasiT04.pdf

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da MaxArt

Ma perché, che proprietà perdi da N a Q? Perdi il fatto che sia non-denso?

MI PARE che la misura di lebesgue diventi nulla... dopo controllo

[MaxArt]

Originariamente inviato da bjt2

Mai sentiti i quaternioni... Per le trasformazioni affini nello spazio 3D uso sempre matrici 4x4, con la quarta coordinata a 1 (si vedano per esempio le pipeline grafiche come OpenGL e DirectX)...

Sì, sono le cossiddette coordinate omogenee. E' roba presa in prestito dalla geometria proiettiva. Ma per delle semplici rotazioni ci si può limitare a delle matrici 3x3: le coordinate omogenee sono comode per le rototraslazioni.

Originariamente inviato da pietro84

strutturerei così la relazione:

1. Introduzione e definizione formale dei quaternioni
2. Rappresentazione dell'orientamento di un corpo rigido nello spazio alternative ai quaternioni ( matrici di rotazione, angoli di Eulero, rappresentazione Asse/Angolo)
3. Problemi di singolarità cinematica delle rappresentazioni elencate il precedenza.
4. Uso dei quaternioni per risolvere il problema della singolarità cinematica
5.Uso dei quaternioni in robotica , in grafica , nei controlli automatici e in fisica (dopo una ricerca su internet).

Tutto bene, se non fosse che in realtà queste cose le ha già spiegate il professore nel suo corso: io dovrei offrire qualcosa di più.

Originariamente inviato da dijo

non credo che cosi tu ottenga un campo.

Infatti non lo ottiene, ma solo perché la moltiplicazione non è commutativa (nota: credo che volesse dire che le matrici hanno l'ultima riga pari a (0 0 0 1)).

Originariamente inviato da Gargoyle

L'uso di quaternioni come coordinate per descrivere le rotazioni è prassi consolidata (il programma di dinamica molecolare MolDy li usa, ad esempio) ma ricordo di avere letto che potrebbe essere non corretta.

E che lo facciamo a fare se non è corretto?
Non capisco in che senso. Ad ogni quaternione unitario possiamo associare un elemento di SO(3) e questo tanto ci basta. Non li puoi utilizzare per descrivere le equazioni generali del moto, ma questo è evidente.

Originariamente inviato da dijo

MI PARE che la misura di lebesgue diventi nulla... dopo controllo

La misura di Lebesgue di che? Certo, se li immergi in R è chiaro che è nulla, ma N è un sottoinsieme di Q ed a maggior ragione la sua misura è nulla.
Oppure non ho capito che intendi.

[fsdfdsddijsdfsdfo]

Originariamente inviato da MaxArt

Infatti non lo ottiene, ma solo perché la moltiplicazione non è commutativa (nota: credo che volesse dire che le matrici hanno l'ultima riga pari a (0 0 0 1)).

ho detto campo pensando corpo.




e comunque avevo letto di fretta e avevo capito le matrici del tipo

[a b]
[c 1]

La misura di Lebesgue di che? Certo, se li immergi in R è chiaro che è nulla, ma N è un sottoinsieme di Q ed a maggior ragione la sua misura è nulla.
Oppure non ho capito che intendi.

domani chiedo e ti so dire

[Gargoyle]

Originariamente inviato da MaxArt

E che lo facciamo a fare se non è corretto?
Non capisco in che senso. Ad ogni quaternione unitario possiamo associare un elemento di SO(3) e questo tanto ci basta. Non li puoi utilizzare per descrivere le equazioni generali del moto, ma questo è evidente.

Esistono programmi che "infilano" i quatermioni nelle equazioni di Lagrange o Hamilton come fossero coordinate normali, cosa che, penso, non sia corretta.