Debye approach

[dario fgx]

Salve a tutti!
Mi rivolgo agli addetti ai lavori:
L'approccio di Debye allo studio della capacità termica dei solidi è in contrapposizione a quello della meccanica classica:
al posto di atomi indipendenti che oscillano tutti alla stessa frequenza con 3 gradi di libertà, le vibrazioni termiche di un atomo vengono pensate come la sovrapposizione di onde stazionarie elastiche fatta su un grande ragne di frequenze.
questi modi vibrazionali sono pensati come:

indipendenti: ogni onda è un oscillatore armonico con i suoi autovalori quantizzati.

distinguibili:chiaramente in base alla terna nx,ny,nz che definisce in maniera univoca il valore k del vettore d'onda tra quelli consentiti.

Ora vi chiedo non sembra anche a voi che ci sia una qualche analogia con la definizione del pacchetto d'onda necessario ad identificare una particella?

Spero di non dire fandonie.
Dario

[Torav]

beh io ho studiato l'approssimazione di debye che consiste nel considerare le curve di dispersione dell'energia dei fononi come rette e quindi considerando costante la "velocità del suono" (cioè indipendente da k). tutto questo presuppone però l'identificazione di questi oscillatori armonici come fononi, cioè "quasi particelle" che hanno (come hai detto tu) numeri quantici propri (in particolare il vettore d'onda, dato che hanno spin 0). Questi fononi sono a tutti gli effetti particelle quantistiche che sottostanno quindi alle stesse leggi delle altre particelle...
forse non ho capito bene cosa intendi?

edit: peraltro debye approssima bene solo il calore a basse temperature, quando quindi non ci sono fononi ottici ma solo acustici.

[dario fgx]

Originariamente inviato da Torav

beh io ho studiato l'approssimazione di debye che consiste nel considerare le curve di dispersione dell'energia dei fononi come rette e quindi considerando costante la "velocità del suono" (cioè indipendente da k). tutto questo presuppone però l'identificazione di questi oscillatori armonici come fononi, cioè "quasi particelle" che hanno (come hai detto tu) numeri quantici propri (in particolare il vettore d'onda, dato che hanno spin 0). Questi fononi sono a tutti gli effetti particelle quantistiche che sottostanno quindi alle stesse leggi delle altre particelle...
forse non ho capito bene cosa intendi?

edit: peraltro debye approssima bene solo il calore a basse temperature, quando quindi non ci sono fononi ottici ma solo acustici.

Ciao!
Io studio dal Kittel e da Quantum Physics.
Purtroppo non ho approfondito la questione dello spin (mi pare di capire che tu studi fisica, io scienza dei materiali) per cui vorrei risparmirmela.
Si anche sul Kittel tratta fononi acustici perchè scrive w=vk e stabilisce che v sia quella del suono per tutti gli oscillatori.
Io però non parlavo di identificare il fonone, ma del fatto che sul mio libro dice:
" the temperature vibrations of the atoms of a solid are equivalent to a large combination of standing elastic waves of a great range of frequeincies"

Questo fatto della "large combination" mi viene da asscociarlo alla combinazione lineare che si fa per definire il pacchetto d'onda.

Comunque un'altra cosa vorrei chiederti:
su entrambi i miei libri parla del fatto che Eiinstein sbaglio nel considerare gli atomi come non interagneti fra di loro, mentre Debye col suo approccio li considerò strettamente interconnessi nelle loro vibrazioni.
E fin qui ok
Poi dice che E. considerò il reticolo come tanti oscillatori della stessa frequenza fondamentale e rimpiazzò il termine KT (rpoveniente dalla legge dell'equipartizione) con la distribuzione di Plank per le energie degli oscillatori armonici!

Ma questo si contrddice! Prima dice che sono tutti della stessa freq fondamentale, poi dice che usa la distribuzione di Plank

[dario fgx]

E' semplice ed ero io che intrpretavo male la funzione di distribuzione di Plank

In principio

E=3NKT pro mole con N n.di Avogadro.

Einstein
Il semplice termine KT per grado di libertà non basta, non è adeguato.
Ad una certa temperatura T gli atomi oscillano tutti alla stessa frequenza W°
Infatti la densità degli stati per E. è: delta(W-W°)
Magari per ogni temperatura una frequenza.
Il termine di Plank serve a dare il valore di aspettazione dell'energia degli atomi a quella frequenza.

Debye
Fanculo Einstein, non c'è ragione di credere che i nostri atomi oscillino tutti alla stessa frequenza ma le loro vibrazioni termiche sono il risultato dell'effetto combinato di numerose onde elastiche di un ampio range di frequenze contemporaneamente presenti alla stessa temperatura.
Dobbiamo trovare una nuova espressione per la densità degli stati (trovare le frequnze permesse e questo lo si sa fare) ed integrare su questo range di frequenze per avere l'energai totale.
Il termine di Plank serve a dirci quanti bosoni oscillano ad una frequenza e quanti ad un'altra.


Spero di non sbagliare

[Torav]

beh sono 2 approcci entrambi utili ma che servono per approssimare cose diverse. quando hai un reticolo monoatomico hai solo 3 modi di vibrazione (acustici) e si può usare debye per calcolare il calore specifico. quando invece hai più di un atomo per cella si hanno anche modi ottici (che hanno relazioni di dispersione qualitativamente molto diverse da quelle acustiche) che possono essere approssimati (in primiiiiiiiissima approssimazione ) con una relazione di dispersione costante, e questo è ciò che fa einstein mettendo w=w°.

Per quanto riguarda la combinazione lineare, in meccanica quantistica si combina tutto linearmente! quello che intendo è che puoi sempre rappresentare la tua funzione d'onda in una base qualsiasi e quindi esprimerla come combinazione lineare di autofunzioni della base scelta. In particolare in questo caso ti accorgi di poter quantizzare il campo di vibrazione perchè se sviluppi gli operatori nell'hamiltoniana ti viene fuori la somma su tutti i vettori d'onda dell'energia associata ad oscillatori armonici aventi quel vettore d'onda. Quindi ti viene fuori un'hamiltoniana separabile (cioè somma di hamiltoniane di particelle indipendenti) che ha come soluzione un prodotto di funzioni d'onda dell'oscillatore armonico con vettore d'onda differente.

Non sono sicuro di essere stato abbastanza chiaro mi sa
è che non so cosa tu abbia fatto di meccanica quantistica e cosa no

cmq il kittel è un ottimo libro! anche io uso quello!

[Lucrezio]

Ho dato ieri un esame su queste cose
Se nel pomeriggio ho tempo rispondo anch'io

[dario fgx]

Originariamente inviato da Torav

beh sono 2 approcci entrambi utili ma che servono per approssimare cose diverse. quando hai un reticolo monoatomico hai solo 3 modi di vibrazione (acustici) e si può usare debye per calcolare il calore specifico. quando invece hai più di un atomo per cella si hanno anche modi ottici (che hanno relazioni di dispersione qualitativamente molto diverse da quelle acustiche) che possono essere approssimati (in primiiiiiiiissima approssimazione ) con una relazione di dispersione costante, e questo è ciò che fa einstein mettendo w=w°.

Per quanto riguarda la combinazione lineare, in meccanica quantistica si combina tutto linearmente! quello che intendo è che puoi sempre rappresentare la tua funzione d'onda in una base qualsiasi e quindi esprimerla come combinazione lineare di autofunzioni della base scelta. In particolare in questo caso ti accorgi di poter quantizzare il campo di vibrazione perchè se sviluppi gli operatori nell'hamiltoniana ti viene fuori la somma su tutti i vettori d'onda dell'energia associata ad oscillatori armonici aventi quel vettore d'onda. Quindi ti viene fuori un'hamiltoniana separabile (cioè somma di hamiltoniane di particelle indipendenti) che ha come soluzione un prodotto di funzioni d'onda dell'oscillatore armonico con vettore d'onda differente.

Non sono sicuro di essere stato abbastanza chiaro mi sa
è che non so cosa tu abbia fatto di meccanica quantistica e cosa no

cmq il kittel è un ottimo libro! anche io uso quello!

Allora immagino che il Kittel abbia trattato proprio il caso di reticolo monoatomico, mentre tratta il reticolo con 2 atomi diversi ma soltanto quando deve trovare le relazioni di dispersione (branca ottica ed acustica) poi per il calcolo della capacità termica tratta solo il modo acustico.

Lasciamo stare poi il discorso sulle hamiltoniane perchè preferisco volentiri farne a meno e sicuramente non ho le competenze per trattarlo da questo punto di vista.

comunque in linea di massima quello che ho detto sopra è corretto?

[Lucrezio]

Eccomi!

Nell'approssimazione armonica, l'Hamiltoniano di un sistema allo stato solido si puo' scrivere come una somma di termini disaccoppiati (passando - dunque - ad un sistema di coordinate normali) e quindi l'energia sara' la somma delle energie di ogni singolo oscillatore:

dove gli indici v (sono 3N, se N é il numero di particelle) sono i numeri quantici di ogni oscillatore armonico, il vettore k è il vettore d'onda a cui è associata la frequenza omega (sono N e sono tutti contenuti nella prima zona di Brillouin, per periodicità) ed infine l'indice s corre sulle 3 componenti del vettore k.
La funzione di partizione del sistema sarà:

dove sono state sfruttate le proprietà dell'esponenziale (l'esponenziale della somme è il prodotto degli esponenziali) e il fatto che la somma sui numeri quantici è sempre la stessa per ogni numero.
L'energia per unità di volume sarà quindi:

Il modello di Debye prevede di introdurre alcune approssimazioni che consentano di ottenere un'espressione analitica per la capacità termica, che si può scrivere in generale come

1) Si assume che omega sia lineare in k e che non dipenda dalla sua direzione:

2) Si assume che i vettori d'onda siano talmente fitti che da rendere lecita la sostituzione della sommatoria con un integrale esteso al volume della prima zona di Brillouin. In particolare, se il volume della prima zona è dato da

dove v è il volume della cella elementare e V è il volume totale del solido, l'elemento di volume sarà dato dal rapporto fra il volume della cella e il numero di vettori:

3) Poiché la prima zona di Brillouin è spesso complicata, si integra su una sfera che abbia il suo stesso volume, ovvero tale che

con n densità numerale.
Andando a sostituire nell'espressione generale della calore specifico quanto stabilito si trova (dopo un macello di conti, purtroppo...):


con



Ora a fare le cose per bene bisognerebbe ricostruire tutti i passaggi... magari se ne riparla

[dario fgx]

Ciao Lucrezio grazie, ma la tua trattazione va al di fuori delle mie capacità e conoscenze e, a dirla tutta lo stesso risultato per Cv può essere ottenuto (sempre tramite parecchi conti) anche con un procedimento più elementare (sicuramente meno rigoroso) utile a quelli come me che non hanno una grande confidenza con la meccanica quantistica.

In particolare mi sarebbe piaciuto potre risolvere l'integrale che compare nell'espressione per Cv ma ahimè ho postato nel thread di mate e m'hanno detto che non lo sapevano risolvere.

Cmq vorrei sapere se secondo voi quello che ho scritto sopra è corretto o meno.

[Torav]

beh quell'integrale è risolvibile "analiticamente" solo mettendoci dentro definizioni di improbabili funzioni complesse quindi lascia perdere..si fa di solito solo in approssimazione di bassa T e diventa più facile.

Quello che hai detto tu mi sembra abbastanza giusto, anche se in effetti il "fanculo einstein" in questo caso forse è un po' eccessivo dato che col metodo di einstein si trova solamente il contributo dei fononi ottici al calore specifico, non quello degli acustici

[Zontar]

Il Kittel, quanti ricordi ce l'ho qua alla mia destra

dario fgx sei sulla strada buona...magari ti faccio un riassunto per capire meglio.

In origine era la legge di Dulong e Petit che era basata su un modello puramente classico...i risultati da lei predetti (cioè che la capacità termica dei soldi fosse costante e pari a 3NKB) ritornavano molto bene a temperatura ambiente. Però man mano che negli esperimenti si scendeva a temperature più basse si osservò che la capacità termica scendeva anche essa, in particolare con una potenza T^3 negli isolanti (quindi considerando solo la capacità termica del reticolo), che è il caso che interessa a te perchè poi nei conduttori devi anche considerare il gas di elettroni e il caso si complica (per precisare nei conduttori la capacità termica scende come T).

Perchè a basse temperature il modello di Dulong e Petit non funziona ?
La risposta non è affatto semplice e si deve alla intuizione di Einstein, migliorata poi da Debye; Einstein ipotizzò che in un reticolo cristallino rigido le vibrazioni fossero quantizzat (si parla quindi, come ti ha detto Torav di fononi o modi normali di vibrazione. Essi presenano lo stesso dualismo onda-particella che troviamo nella meccanica quantistica) e avessero tutte la stessa frequenza di oscillazione w=w° . Utilizzando questa ipotesi Einstein ottenne un primo risultato teorico, ovvero che la capacità termica scendeva con la temperatura, anche se ancora troppo lentamente rispetto ai dati sperimentali (Figura 3 del Capitolo 6 del Kittel se hai la versione italiana). Come ha detto Torav questa approssimazione viene talvolta usata per descrivere la parte ottica dello spettro fononico.

Debye migliora il modello di Einstein trattando i fononi come particelle in una scatola e quindi ipotizzando che le frequenze di oscillazione possibili non fossero solo una e alla fine di tutti i conti (che sono molto simili al calcolo di Plank per il corpo nero) ottine un andamento a basse temperature della capacità termica pari a T^3 (figura 14 del capitolo 6 del Kittel)...HURRA'

Chiaramente a temperatura ambiente il modello di Debye riproduce perffetamente il modello di Dulong e Petit

[Torav]

Originariamente inviato da Zontar

..cut..
nei conduttori devi anche considerare il gas di elettroni e il caso si complica (per precisare nei conduttori la capacità termica scende come T).
..cut..

trovo che tu abbia fatto un ottimo riassunto e sia tutto giusto...tranne questa frase
in verità nei conduttori la capacità termica va come T solo per temperature VERAMENTE basse, questo perchè ovviamente una cubica (Cv dato dal reticolo) è sempre maggiore di una una retta (Cv dato dagli elettroni) dopo una certa Tc. Quindi per temperature anche piuttosto basse (poche decine di Kelvin) vince sempre la capacità termina reticolare. E' solo vicino allo 0 che si nota il contributo elettronico.

[Zontar]

Originariamente inviato da Torav

trovo che tu abbia fatto un ottimo riassunto e sia tutto giusto...tranne questa frase
in verità nei conduttori la capacità termica va come T solo per temperature VERAMENTE basse, questo perchè ovviamente una cubica (Cv dato dal reticolo) è sempre maggiore di una una retta (Cv dato dagli elettroni) dopo una certa Tc. Quindi per temperature anche piuttosto basse (poche decine di Kelvin) vince sempre la capacità termina reticolare. E' solo vicino allo 0 che si nota il contributo elettronico.

Certo, precisazione più che lecita. Effettivamente su questo punto sono stato un pò superficiale e non ho specificato che la capacità termica nei conduttori scende come T solo a temerature vicino a 0 K, come invece hai chiarito tu, thanks

[dario fgx]

Originariamente inviato da Zontar

Il Kittel, quanti ricordi ce l'ho qua alla mia destra

dario fgx sei sulla strada buona...magari ti faccio un riassunto per capire meglio.

In origine era la legge di Dulong e Petit che era basata su un modello puramente classico...i risultati da lei predetti (cioè che la capacità termica dei soldi fosse costante e pari a 3NKB) ritornavano molto bene a temperatura ambiente. Però man mano che negli esperimenti si scendeva a temperature più basse si osservò che la capacità termica scendeva anche essa, in particolare con una potenza T^3 negli isolanti (quindi considerando solo la capacità termica del reticolo), che è il caso che interessa a te perchè poi nei conduttori devi anche considerare il gas di elettroni e il caso si complica (per precisare nei conduttori la capacità termica scende come T).

Perchè a basse temperature il modello di Dulong e Petit non funziona ?
La risposta non è affatto semplice e si deve alla intuizione di Einstein, migliorata poi da Debye; Einstein ipotizzò che in un reticolo cristallino rigido le vibrazioni fossero quantizzat (si parla quindi, come ti ha detto Torav di fononi o modi normali di vibrazione. Essi presenano lo stesso dualismo onda-particella che troviamo nella meccanica quantistica) e avessero tutte la stessa frequenza di oscillazione w=w° . Utilizzando questa ipotesi Einstein ottenne un primo risultato teorico, ovvero che la capacità termica scendeva con la temperatura, anche se ancora troppo lentamente rispetto ai dati sperimentali (Figura 3 del Capitolo 6 del Kittel se hai la versione italiana). Come ha detto Torav questa approssimazione viene talvolta usata per descrivere la parte ottica dello spettro fononico.

Debye migliora il modello di Einstein trattando i fononi come particelle in una scatola e quindi ipotizzando che le frequenze di oscillazione possibili non fossero solo una e alla fine di tutti i conti (che sono molto simili al calcolo di Plank per il corpo nero) ottine un andamento a basse temperature della capacità termica pari a T^3 (figura 14 del capitolo 6 del Kittel)...HURRA'

Chiaramente a temperatura ambiente il modello di Debye riproduce perffetamente il modello di Dulong e Petit

Ciao ragazzi come sempre siete grandi!
Allora avevo ben capito Einstain sbagliava nel dire che la frequenza fosse solo una (ad una data T) per tutti gli atomi.

Adesso devo fare anche la questione della dipendenza da T^3 e poi la conducibilità termica dovuta agli elettroni.

p.s.: io i calcoli li faccio sempre tutti, ho fatto pure quello per il corpo nero ma la trattazione del kittel se differenzia leggermente e per calcolare la densità degli stati ho seguito il procedimento proposto da quest'ultimo.

Adesso mi è tutto molto più chiaro, spero di non avere problemi con l'approssimazione per temperature basse, magari ci risentiamo con la questione degli elettroni.

Dario.

[dario fgx]

fatto a anche quella per T^3: ottimo il Kittel i ragionamenti sono spesso intuitivi (anche se io ho la verione in inglese) la spiegazione fatta con la sfera degli stati non fa veramente na piega, peccato che non si sia sforzato a spiegare perchè 3N sono i fononi pro mole possibili e se non lo avessitrovato casualmente su Q.P. probabilmente mi sarei cervellato parecchio.

[dario fgx]

Ragazzi un proposta:
Perchè non mettiamo su il thread ufficiale delle richieste d'aiuto in fisica?
Io potrei mettere a disposizione la mia limitatissima conoscenza e la mia disponibilità, ma unita alla vostra ed a quella di tanti altri potremmo dare un mano come sui thread di matematica e chimica!

Che ne pensate?